【突破易錯·沖刺滿分】2021-2022學年九年級數學上冊期末突破易錯挑戰滿分（北師大版）易錯02矩形的性質與判定【易錯1例題】矩形的性質1．（2020·全國）矩形具有的性質是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等C．一條對角線平分一組對角 D．面積等于兩條對角線乘積的一半【答案】B【分析】根據矩形的性質即可判斷；【詳解】根據矩形的對角線相等，可知選項B正確，

故選B．【點睛】考查矩形的性質、解題的關鍵是記住矩形的性質：①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．【易錯2例題】矩形的判定2．（2021·江蘇南通市·九年級二模）如圖，四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC【答案】D【分析】由題意易得GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，則有四邊形EGFH為平行四邊形，由矩形的性質可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后問題可求解．【詳解】解：∵E，F分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，若四邊形EGFH為矩形，則有∠GFH=90°，∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故選D．【點睛】本題主要考查矩形的性質與判定及三角形中位線，熟練掌握矩形的性質與判定及三角形中位線是解題的關鍵．【專題訓練】選擇題1．（2021·湖南八年級期中）已知矩形ABCD的周長為32，AB＝6，則BC等于（）A．10 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】根據矩形的性質得到AB＝CD，AD＝BC，根據2（AB＋BC）＝32，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵矩形ABCD的周長是32，∴2（AB＋BC）＝32，∴BC＝10．故選：A．【點睛】本題主要考查對矩形的性質的理解和掌握，能利用矩形的性質進行計算是解此題的關鍵．2．（2021·江蘇八年級期末）矩形具有而菱形不具有的性質是（）A．對邊相等 B．鄰邊垂直 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】B【分析】列舉矩形的性質和菱形的性質，根據性質求出即可．【詳解】解：矩形的性質是：矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線相等且平分，四個角都是直角，鄰邊垂直，菱形的性質是：菱形的四條邊都相等，對邊平行，對角線垂直且平分，每條對角線平分一組對角；矩形具有而菱形不具有的性質是鄰邊垂直．故選：B．【點睛】本題主要考查對矩形的性質，菱形的性質等知識點的理解和掌握，解題的關鍵是：能熟練地運用性質進行判斷．3．（2021·江蘇八年級期中）E、F、G、H分別是四邊形的邊、、、的中點，對角線、相交于點O，根據以下條件，不能證明四邊形是矩形的是（）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】先根據三角形中位線的性質證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用矩形的判定定理依次判斷各選項即可．【詳解】解：∵E、F、G、H分別是四邊形的邊、、、的中點，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF∥GH，同理：EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形∵，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故A選項不符合題意；∵，，∴，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故C選項不符合題意；∵，∴點B在線段AC的垂直平分線上，∵，∴點D在線段AC的垂直平分線上，∴∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故D選項不符合題意；若，無法證明四邊形EFGH是矩形，故B選項符合題意，故選：B．【點睛】此題考查矩形的判定定理，三角形中位線的性質定理，線段垂直平分線的判定，正確掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．4．（2021·重慶八年級期末）如圖，將一個矩形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合．折痕為EF．若AB＝8，BC＝16，則BE的長是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】根據翻折變換的性質可得AE=CE，設BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵矩形紙片ABCD折疊C點與A點重合，∴AE=CE，設BE=x，則AE=16-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16-x）2，解得x=6，即BE=6．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換的性質，主要利用了翻折前后對應線段相等，難點在于利用勾股定理列出方程．5．（專題16一次函數的實際應用-2020-2021學年八年級數學下學期期末專項復習（湘教版））如圖①，在矩形中，動點從點出發，沿著方向運動至點處停止．設點運動的路程為，的面積為，如果關于的函數圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（

）．A．當時， B．矩形的周長是C．當時， D．當時，【答案】D【分析】根據題意，得，；結合題意，根據與的關系計算，即可得到答案．【詳解】由圖象得，，選項，時，的面積，正確，不符合題意；選項B，矩形的周長為：，正確，不符合題意；選項C，時，點在上，的面積，正確，不符合題意；選項D，時，高，∴高，點在或上，則或，∴D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了矩形、函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握矩形、函數的性質，從而完成求解．二、填空題6．（2021·黑龍江九年級其他模擬）如圖，在△ABC中，D，E，F分別是AB，BC和AC邊的中點，請添加一個條件_________，使四邊形BEFD為矩形．（填一個即可）【答案】AB⊥BC【分析】證DF、EF都是△ABC的中位線，得DF∥BC，EF∥AB，則四邊形BEFD為平行四邊形，當AB⊥BC時，∠B＝90°，即可得出結論．【詳解】解：∵D，E，F分別是AB，BC和AC邊的中點，∴DF、EF都是△ABC的中位線，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四邊形BEFD為平行四邊形，當AB⊥BC時，∠B＝90°，∴平行四邊形BEFD為矩形，故答案為：AB⊥BC．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質以及三角形中位線定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形BEFD為平行四邊形是解題的關鍵．7．（2021·河北石家莊外國語學校八年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且OA=OB=OC=OD，則它是______形．若∠AOB=60°，則AB：AC=_______．【答案】矩1：2【分析】先證（SAS），可得，∠BAO=∠DCO，可證是平行四邊形，再證AC=BD，可證是等邊三角形，求出，利用30角所對直角邊等腰斜邊一半可得即可．【詳解】解：在△AOB和△COD中∵，∴（SAS），∴，∠BAO=∠DCO∴,∴是平行四邊形，∵，∴即AC=BD，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：矩；．【點睛】本題考查矩形判定與性質，三角形全等判定與性質，等邊三角形判定與性質，30°直角三角形性質，掌握矩形判定與性質，三角形全等判定與性質，等邊三角形判定與性質，30°直角三角形性質是解題關鍵．8．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，在中，，，，為斜邊上的一個動點，過點作于點，于點．則線段的最小值是______．【答案】【分析】連接CM，先證明四邊形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面積關系求出CM的最小值，即可得出結果．【詳解】解：連接CM，如圖所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四邊形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=6，∴AB=，當CM⊥AB時，CM最短，此時△ABC的面積=，∴CM的最小值=，∴線段DE的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，勾股定理，三角形的面積公式，求出CM的長是解題的關鍵．9．（2021·江蘇南京市·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，P為矩形ABCD的邊BC上任一點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝__．【答案】【分析】設對角線AC、BD相交于點O，連接PO，利用矩形ABCD可得AC＝13，進而可得S△BOC＝S△BOP+S△POC，求解可得PE+PF；【詳解】解：設對角線AC、BD相交于點O，連接PO，∵矩形ABCD的邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝13，∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB?PF+OC?PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故填：．【點睛】本題主要考查矩形的性質、面積公式及勾股定理，難點在熟練使用輔助線和矩形性質；10．（2021·揚州市梅嶺中學八年級期中）矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,點E是BC邊上一點,連接AE,把∠B沿AE折疊,使點B落在點B′處,當△CEB′為直角三角形時,BE的長為____________．【答案】3或1.5【分析】當△CEB′為直角三角形時,有兩種情況:當點B′落在矩形內部時,圖1所示．連結AC,先利用勾股定理計算出AC=5,根據折疊的性質得,而當△CEB′為直角三角形時,只能得到,所以點A?B′?C共線,即沿AE折疊,點B落在對角線AC上的點B′處,則EB=EB′,AB=AB′=3,可計算出CB′=2,設BE=x,則EB′=x,CE=4-x,然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x;當點B落在AD邊上時,圖2所示．此時四邊形ABEB′為正方形．【詳解】當△CEB′為直角三角形時,有兩種情況:當點B′落在矩形內部時,如圖1所示連結AC,在中,AB=3,BC=4,∴,∵∠B沿AE折疊,使點B落在點B′處,∴,當△CEB′為直角三角形時,只能得到,∴點A?B′?C共線,即沿AE折疊,點B落在對角線AC上的點B′處,∴EB=EB′,AB=AB′=3,∴CB′=5-3=2,設BE=x,則EB′=x,CE=4-x,在Rt△CEB′中,,∴,解得:,即;當點B落在AD邊上時,圖2所示,此時四邊形ABEB′為正方形,∴BE=AB=3,綜上所述:BE的長為3或1.5．【點睛】本題考查了折疊問題:折疊前后兩個圖形全等;矩形的性質以及勾股定理,解題的關鍵是要注意分類討論思想,避免漏解．三、解答題11．（2021·青海西寧市·八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE∥AC，AE∥BD，連接EO．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；（2）若CD＝6，求OE的長．【答案】（1）矩形，理由見解析；（2）6【分析】（1）結合題意，可得四邊形AEBO為平行四邊形；再根據菱形性質，推導得，即可得到答案；（2）根據（1）的結論，結合矩形性質，得；根據菱形性質，得，即可得到答案．【詳解】（1）∵BE∥AC，AE∥BD∴四邊形AEBO為平行四邊形∵菱形ABCD∴∴∴四邊形AEBO為矩形；（2）∵四邊形AEBO為矩形∴∵菱形ABCD∴∴．【點睛】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質，從而完成求解．12．（2021·重慶八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，，．（1）求證：四邊形OEFG是矩形（2）若，，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據菱形的性質得到，，得到，推出，求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；（2）根據三角形的中位線定理得到，根據勾股定理得到，于是可求BD的長．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是菱形，，，是AD的中點，，，，，，四邊形OEFG是平行四邊形，，，四邊形OEFG是矩形；（2）由（1）得：分別為的中點，，在中，，四邊形OEFG是矩形；，．【點睛】本題考查了矩形的判定，菱形的性質，勾股定理，三角形的中位線定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．13．（2021·江蘇八年級月考）如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長AO，BO到點C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數．【答案】（1）見解析；（2）120°．【分析】（1）先說明四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，進而得到AC=BD，即可說明四邊形ABCD是矩形；（2）如圖，連接OE與BD交于F，由直角三角形斜邊中線的性質可得EO=AO，即△AEO是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質和平行線的性質即可求出答案．【詳解】證：（1）∵OC＝AO，OD＝BO∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形；（2）如圖：連接OE與BD交于F∵四邊形AOBE是平行四邊形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質等知識點，靈活應用所學知識并正確添加輔助線成為解答本題的關鍵．14．（2021·北京八年級期末）如圖，在直角△中，點，，分別是邊，，的中點．（1）求證：四邊形為矩形；（2）若，，求出矩形的周長．【答案】（1）見解析；（2）矩形ADEF的周長為．【分析】（1）連接DE．根據三角形的中位線的性質即可得到結論；（2）根據矩形的性質得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接DE．∵E，F分別是邊AC，BC的中點，∴EF∥AB，EF＝AB，∵點D是邊AB的中點，∴AD＝AB．∴AD＝EF．∴四邊形ADFE為平行四邊形；由點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE＝BC．∵在直角△ABC中，點F是邊BC的中點，∴BC＝2AF，∴DE＝AF，∴四邊形ADFE為矩形；（2）解：∵四邊形ADFE為矩形，∴∠BAC＝∠FEC＝90°，∵AF＝2，∴BC＝4，CF＝2，∵∠C＝30°，∴AC＝2，CE＝，EF＝1，∴AE＝，∴矩形ADFE的周長＝2+2．【點睛】本題考查了矩形的性質和判定，三角形的中位線的性質，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定和性質是解題的關鍵．15．（2021·江蘇八年級月考）如圖，在菱形中，對角線，交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據菱形的性質得到AD∥BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；（2）由菱形的性質得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，AC=，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，