第二章

二次函數第4節二次函數的應用第3課時利用二次函數解決

實際中最值問題1課堂講解用二次函數表示實際問題

利用二次函數最值解實際問題2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升利用二次函數求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數式分別表示與所求幾何圖形相關

的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計算公式，并且用

函數表示這個面積；(4)根據函數的關系式及自變量的取值范圍求出其最值．1知識點用二次函數表示實際問題知1－講

根據實際問題列二次函數的關系式，一般要經歷以下

幾個步驟：(1)確定自變量與因變量代表的實際意義；(2)找到自變量與因變量之間的等量關系，根據等量關系

列出方程或等式．(3)將方程或等式整理成二次函數的一般形式．

例1如圖，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，AC與MN在同一直線上，開

始時點A與M重合，讓△ABC向右移動，最后點A與點N重合．問題：(1)試寫出重疊部分面積y(cm2)與線段MA的長度x(cm)之

間的函數關系式；(2)當MA＝1cm時，重疊部分的面積是多少？知1－講知1－講（來自《點撥》）(1)根據圖形及題意所述可得出重疊部分是等腰直角

三角形，從而根據MA的長度可得出y與x之間的函

數關系式；(2)將x＝1代入可得出重疊部分的面積．解：(1)由題意知，開始時A點與M點重合，讓△ABC向右

移動，兩圖形重疊部分為等腰直角三角形，

所以y＝

x2(0＜x≤10)；(2)當MA＝1cm時，重疊部分的面積是cm2.導引：總

結知1－講（來自《點撥》）

此題主要考查的是求動態幾何圖形中面積的函數關系式，判斷出重疊部分是等腰直角三角形比較關鍵．在確定實際問題中的函數關系式時，通常根據題目中的等量關系列出恰當的函數關系式．但要特別注意自變量的取值范圍．1在一幅長60cm，寬40cm的矩形油畫的四周鑲一條

金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要

使整幅掛圖的面積是

ycm2，設金色紙邊的寬度為xcm，那么y關于x的函數表達式是(

)A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)知1－練（來自《典中點》）2心理學家發現：學生對概念的接受能力y與提出概念

的時間x(min)之間是二次函數關系，當提出概念13min時，學生對概念的接受能力最大，為59.9；當提

出概念30min時，學生對概念的接受能力就剩下31，

則y與x滿足的二次函數表達式為(

)A．y＝－(x－13)2＋59.9B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43知1－練（來自《典中點》）2知識點利用二次函數的最值解實際問題知2－導

服裝廠生產某品牌的T恤衫成本是每件10元.根據市場調查，以單價13元批發給經銷商，經銷商愿意經銷5000件，并且表示單價每降價0.1元，愿意多經銷500件.

請你幫助分析，廠家批發單價是多少時可以獲利最多？知2－講1．利用二次函數解決實際生活中的利潤問題，一般運

用“總利潤＝每件商品所獲利潤×銷售件數”或“總利

潤＝總售價－總成本”建立利潤與銷售單價之間的二

次函數關系式，求其圖象的頂點坐標，獲取最值．

拓展：

現實生活中的許多最值問題都可通過建立二次函數的

模型進行解決．2．易錯警示：實際問題中的最大利潤未必是頂點的縱

坐標，即頂點的橫坐標不在自變量的取值范圍內時，

要根據函數的性質去確定最大值．知2－講

例2某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時，

每天都客滿.經市場調查發現，如果每間客房的日

租金增加10元，那么客房每天出租數會減少6間．

不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高

到多少元時，客房日租金的總收入最高？最高總

收入是多少？（來自《教材》）知2－講設每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數會減少6x間.設客房日租金總收入為

y元，則

y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x<20.當x=2時，y最大=19

440.這時每間客房的日租金為160+10×2=180(元).因此，每間客房的日租金提高到180元時，客房總收人最高，最高收入為19440元.（來自《教材》）解：知2－講例3〈沈陽〉一玩具廠去年生產某種玩具，成本為10元/件，

出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當

增加成本來提高產品的檔次，以拓展市場，若今年這種玩

具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年這種玩

具每件的出廠價比去年每件的出廠價相應提高0.5x倍，則

預計今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(0＜x≤1)．(1)用含x的代數式表示：今年生產的這種玩具每件的成本

為___元，今年生產的這種玩具每件的出廠價為____元；(2)求今年這種玩具每件的利潤y(元)與x之間的函數關系式；(3)設今年這種玩具的年銷售利潤為W萬元，求當x為何值

時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是多少

萬元？知2－講

由題意知今年這種玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x)

倍，每件的出廠價是去年每件的出廠價的(1＋0.5x)

倍，今年的年銷售量是去年年銷售量的(1＋x)倍．解：(1)(10＋7x)；(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，

即y與x的函數關系式為y＝2－x.(3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，∵0＜x≤1，∴當x＝0.5時，W有最大值．W最大值＝4.5.

答：當x＝0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷

售利潤為4.5萬元．（來自《點撥》）導引：總

結知2－講（來自《點撥》）

本題利用建模思想求解，由今年與去年這種玩具的成本價、出廠價、銷售量的倍數關系可以得到今年這種玩具的成本價、出廠價、銷售量的表達式，再由“總利潤＝每件商品所獲利潤×銷售件數”可得二次函數的表達式，進而求出其最大值．1某種品牌的服裝進價為每件150元，當售價為每件210元

時，每天可賣出20件，現需降價處理，且經市場調查：

每件服裝每降價2元，每天可多賣出1件．在確保盈利的

前提下，若設每件服裝降價x元，每天售出服裝的利潤為y元，則y與x的函數表達式為(

)A．y＝－

x2＋10x＋1200(0＜x＜60)B．y＝－

x2－10x＋1250(0＜x＜60)C．y＝－

x2＋10x＋1250(0＜x＜60)D．y＝－

x2＋10x＋1250(x≤60)知2－練（來自《典中點》）2某旅行社在五一期間接團去外地旅游，經計算，收益y(元)與旅行團人數x(人)滿足表達式y＝－x2＋100x＋28400，要使收益最大，則此旅行團應有(

)A．30人

B．40人

C．50人

D．55人知2－練（來自《典中點》）3(2016·咸寧)某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星

期可賣300件，為了促銷，該網店決定降價銷售．市場

調查反映：每降價1元，每星期可多賣30件．已知該款

童裝每件成本價40元，設該款童裝每件售價x元，每星

期的銷售量為y件．(1)求y與x之間的函數表達式．(2)當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，

最大利潤是多少元？