江西省萍鄉市2025屆數學高二上期末監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.92．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關系是（）A.內含 B.相交C.外切 D.外離3．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉化為維生素，現從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數為 D.品種的中位數為4．若復數的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.5．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為A. B.C. D.6．如圖，在長方體中，是線段上一點，且，若，則（）A. B.C. D.7．在等差數列中，為數列的前項和，，，則數列的公差為（）A. B.C.4 D.8．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.109．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.510．已知等差數列的前項和為，若，則（）A B.C. D.11．設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A. B.C. D.12．在等差數列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數據的中位數為，乙組數據的平均數為，則的值為__________．甲組乙組14．直線被圓截得的弦長為_______15．點到拋物線上的點的距離的最小值為________.16．從雙曲線上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值18．（12分）已知為等差數列，前n項和為，數列是首項為1的等比數列，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）已知等差數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）求的最大值及相應的的值.20．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，如圖，過點任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點，，分別為，的中點.（1）求的值；（2）求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；（3）設直線交拋物線于，兩點，試求的最小值.21．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.22．（10分）拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（1）若，求直線AB的斜率；（2）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用等差數列的求和公式及等差數列的性質求解.【詳解】解：由題得.故選：B2、B【解析】將兩圓方程化為標準方程形式，計算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關系，故選：B3、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數、中位數、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數據波動比品種的數據波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數為與，故C錯誤；品種的數據的中位數為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數據的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數、中位數、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎4、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復數的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A5、C【解析】根據題先求出閱讀過西游記人數，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為90-80+60=70，則其與該校學生人數之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數據處理和數學運算素養．采取去重法，利用轉化與化歸思想解題6、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關于、、的表達式，進而可求得的值.【詳解】連接、，因，因為是線段上一點，且，則，因此，因此，.故選：A.7、A【解析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A8、A【解析】根據關于平面對稱的點的規律：橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變為它的相反數，即可求出點關于平面的對稱點的坐標，再利用向量的坐標運算求.【詳解】解：由題意，關于平面對稱的點橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變為它的相反數，從而有點關于對稱的點的坐標為（2，?1，-3）.故選：A【點睛】本題以空間直角坐標系為載體，考查點關于面的對稱，考查數量積的坐標運算，屬于基礎題9、A【解析】根據不等式組，作出可行域，數形結合即可求z的最小值.【詳解】根據不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時，z取最小值.故選：A.10、B【解析】利用等差數列的性質可求得的值，再結合等差數列求和公式以及等差中項的性質可求得的值.【詳解】由等差數列的性質可得，則，故.故選：B.11、D【解析】根據的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數，且在上存在正數，使得在上為增函數，在為減函數，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數圖象的識別，此類問題應根據原函數的單調性來考慮導函數的符號與零點情況，本題屬于基礎題.12、A【解析】直接由等差中項得到結果.詳解】由得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據中位數、平均數的定義，結合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數據的中位數為，所以有，又因為乙組數據的平均數為，所以有，所以，故答案為：14、【解析】求出圓心到直線的距離，結合半徑，利用勾股定理可得答案.【詳解】的圓心坐標為，，圓心到直線的距離，則直線被圓截得的弦長為：故答案為：15、【解析】設出拋物線上點的坐標，利用兩點間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設拋物線上的點坐標，則，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：16、.【解析】根據題意，設，進而根據中點坐標公式及點P已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設，則，則，即，因為，則，即的軌跡方程為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理法即證【小問1詳解】由題意可知在雙曲線C中，，，，解得所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】證法一：由題可知，設直線，，，由，得，則，，∴，，；當直線的斜率不存在時，，此時.綜上，為定值證法二：設直線PQ方程為，，，聯立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，，，，由雙曲線方程可得，，，，∵，∴，，證法三：設直線PQ方程為，，，聯立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，∴，，由雙曲線方程可得，，則，所以，，，∴為定值18、（1）的通項公式為，的通項公式為；（2）.【解析】（1）用基本量表示題干中的量，聯立求解即可；（2）由，，用乘公比錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.①，由得.②，聯立①②解得，所以.故的通項公式為，的通項公式為.（2）設數列的前n項和為，由，得.，，上述兩式相減，得，所以，即.19、（1）（2）當或時，有最大值是20【解析】（1）用等差數列的通項公式即可.（2）用等差數列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數列中，∵,∴，解得，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴當或時，有最大值是2020、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點坐標，從而可知拋物線的焦點坐標，進而可得的值；（2）首先設出直線的方程，聯立直線與拋物線的方程，得到，坐標，令，可得直線過點，再證明當，，，三點共線即可；（3）設出的直線方程，聯立直線與拋物線的方程，利用韋達定理找出根的關系，再利用兩點間的距離公式求出最小值即可.【小問1詳解】橢圓的焦點坐標為，由于拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，故，即，；小問2詳解】由（1）知，拋物線的方程為，設，，，，由題意，直線的斜率存在且設直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點坐標為，由，設直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點坐標為，令得，此時，故直線過點，當時，，所以，，，三點共線，所以直線過定點.【小問3詳解】設，由題意直線的斜率存在，設直線的方程為，代入可得，則，，，故，當即直線垂直軸時，取得最小值.21、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據集合關系求解.詳解：(1),.則(2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且.由，得，解得.經檢驗，當時，成立，故實數的取值范圍是.點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關系是解題關鍵，屬于基礎題.22、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，依題意F（1,0），設直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB