2025屆河南省舞鋼市第二高級高一上數學期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，，的零點分別，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.2．下列函數中，既是偶函數，又在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.3．圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的半徑為（）A.1 B.C.2 D.44．已知集合，則（）A B.C. D.5．點A，B，C，D在同一個球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為A. B.C. D.6．若方程表示圓，則實數的取值范圍是A. B.C. D.7．函數的零點所在區間是（）A. B.C. D.8．利用二分法求方程的近似解，可以取得一個區間A. B.C. D.9．已知集合，若，則（）A.-1 B.0C.2 D.310．已知扇形周長為，圓心角為，則扇形面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．集合，用列舉法可以表示為_________12．如果實數滿足條件，那么的最大值為__________13．若直線與圓相切，則__________14．如圖，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________15．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標系.已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉一周，到水面的距離為0.8m.規定：盛水筒對應的點從水中浮現（時的位置）時開始計算時間，且設盛水筒從點運動到點時所經過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負數），則關于的函數關系式為___________，在水輪轉動的任意一圈內，點距水面的高度不低于1.6m的時長為___________s.16．已知圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關系是__．(請填寫：相切、相交、相離)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．化簡下列各式：（1）；（2）.18．已知函數．（1）求f（x）的定義域及單調區間；（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時x的值；（3）設函數，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實數a的取值范圍．19．拋擲兩顆骰子，計算：（1）事件“兩顆骰子點數相同”的概率；（2）事件“點數之和小于7”概率；（3）事件“點數之和等于或大于11”的概率.20．為了印刷服務上一個新臺階，學校打印社花費5萬元購進了一套先進印刷設備，該設備每年的管理費是0.45萬元，使用年時，總的維修費用為萬元，問：（1）設年平均費用為y萬元，寫出y關于x的表達式；（年平均費用=）（2）這套設備最多使用多少年報廢合適？（即使用多少年的年平均費用最少）21．在①，，②，，兩個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線中，并求解該問題.已知函數___________（填序號即可）.（1）求函數的解析式及定義域；（2）解不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】判斷出三個函數的單調性，可求出，，并判斷，進而可得到答案【詳解】因為在上遞增，當時，，所以；因為在上遞增，當時，恒成立，故的零點小于0，即；因為在上遞增，當時，，故，故．故選：A．2、D【解析】依次判斷4個選項的單調性及奇偶性即可.【詳解】對于A，在區間上單調遞增，錯誤；對于B，，由得，單調遞增，錯誤；對于C，當時，沒有意義，錯誤；對于D，為偶函數，且在時，單調遞減，正確.故選：D.3、C【解析】將圓的方程化為標準方程即可得圓的半徑.【詳解】由圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0化為標準方程有：，所以圓的半徑為2.故選：C【點睛】本題考查圓的一般方程與標準方程的互化，并由此得出圓的半徑大小，屬于基礎題.4、D【解析】利用元素與集合的關系判斷即可.【詳解】由集合，即集合是所有的偶數構成的集合.所以，，，故選：D5、D【解析】根據題意，畫出示意圖，結合三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點D的位置；然后利用勾股定理及球中的線段關系即可求得球的半徑，進而求得球的面積【詳解】根據題意，畫出示意圖如下圖所示因為，所以三角形ABC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點處，設該小圓的圓心為Q因為三角形ABC的面積是定值，所以當四面體ABCD體積取得最大值時，高取得最大值即當DQ⊥平面ABC時體積最大所以所以設球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D【點睛】本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據題意，正確畫出圖形并判斷點的位置，屬于難題6、A【解析】由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A考點：圓的一般方程7、B【解析】判斷函數的單調性，根據函數零點存在性定理即可判斷.【詳解】函數的定義域為，且函數在上單調遞減；在上單調遞減，所以函數為定義在上的連續減函數，又當時，，當時，，兩函數值異號，所以函數的零點所在區間是，故選：B.8、D【解析】根據零點存在定理判斷【詳解】設，則函數單調遞增由于，，∴在上有零點故選：D.【點睛】本題考查方程解與函數零點問題．掌握零點存在定理是解題關鍵9、C【解析】根據元素與集合的關系列方程求解即可.【詳解】因為，所以或，而無實數解，所以.故選：C10、B【解析】周長為則，代入扇形弧長公式解得，代入扇形面積公式即可得解.【詳解】由題意知，代入方程解得，所以故選：B【點睛】本題考查扇形的弧長、面積公式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】根據集合元素屬性特征進行求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，所以，集合故答案為：12、1【解析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可【詳解】先根據約束條件畫出可行域，當直線過點時，z最大是1，故答案為1【點睛】本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題13、【解析】由直線與圓相切可得圓心到直線距離等與半徑，進而列式得出答案【詳解】由題意得，，解得【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于一般題14、2【解析】證明平面得到，故與以為直徑的圓相切，計算半徑得到答案.詳解】PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，故平面，平面，故，在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，即與以為直徑的圓相切，，故間的距離為半徑，即為1，故.故答案為：215、①.②.10【解析】根據給定信息，求出以Ox為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標即可列出函數關系，再解不等式作答.【詳解】依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，從點經s運動到點所轉過的角為，因此，以Ox為始邊，OP為終邊的角為，點P的縱坐標為，于是得點距離水面的高度，由得：，而，即，解得，對于k的每個取值，，所以關于的函數關系式為，水輪轉動的任意一圈內，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.故答案為：；10【點睛】關鍵點睛：涉及三角函數實際應用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應的角是關鍵，特別注意，始邊是x軸非負半軸.16、相交【解析】求得的圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小，即可得出結論.【詳解】圓的圓心為、半徑為，圓心到直線的距離為，小于半徑，所以直線和圓相交，故答案為相交.【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題.解答直線與圓的位置關系的題型，常見思路有兩個：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關系；二是直線方程與圓的方程聯立，考慮運用判別式來解答.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0（2）1【解析】（1）由誘導公式化簡計算；（2）由誘導公式化簡即可得解【小問1詳解】；【小問2詳解】18、（1）定義域為（﹣1，3）；f（x）的單調增區間為（﹣1，1]，f（x）的單調減區間為[1，3）；（2）當x＝1時，函數f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．【解析】（1）利用對數的真數大于零即可求得定義域，根據復合函數的單調性“同增異減”即可求得單調區間；（2）根據函數的單調性即可求解；（3）將f（x）≤g（x）轉化為x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，結合基本不等式即可求解.【詳解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定義域為（﹣1，3），令t＝2x＋3﹣x2，則，∵為增函數，x∈（﹣1，1]時，t＝2x＋3﹣x2為增函數；x∈[1，3）時，t＝2x＋3﹣x2為減函數；故f（x）的單調增區間為（﹣1，1]；f（x）的單調減區間為[1，3）（2）由（1）知當x＝1時，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此時函數f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，則2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，當x∈（0，3）時，x＋≥2，則﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣219、（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據所有的基本事件的個數為，而所得點數相同的情況有種，從而求得事件“兩顆骰子點數相同”的概率；（2）根據所有的基本事件的個數，求所求的“點數之和小于”的基本事件的個數，最后利用概率計算公式求解即可；（3）根據所有的基本事件的個數，求所求的“點數之和等于或大于”的基本事件的個數，最后利用概率計算公式求解即可試題解析：拋擲兩顆骰子，總的事件有個.（1）記“兩顆骰子點數相同”為事件，則事件有6個基本事件，∴（2）記“點數之和小于7”事件，則事件有15個基本事件，∴（3）記“點數之和等于或大于11”為事件，則事件有3個基本事件，∴.考點：古典概型.20、（1）（2）最多使用10年報廢【解析】（1）根據題意，即可求得年平均費用y關于x的表達式；（2）由，結合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，設備每年的管理費是0.45萬元，使用年時，總的維修費用為萬元，所以關于的表達式為.【小問2詳解】解：因為，所以，當且僅當時取等號，即時，函數有最小值，即這套設備最多使用10年報廢.21、（1）條件選