本章測評(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.在極坐標系中有如下三個結論：①點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程；②tanθ＝1與θ＝eq\f(π,4)表示同一條曲線；③ρ＝3與ρ＝－3表示同一條曲線.在這三個結論中正確的是()A.①③ B.①C.②③ D.③答案：D解析：點P在曲線C上要求點P的極坐標中至少有一個滿足C的極坐標方程；tanθ＝1能表示θ＝eq\f(π,4)和θ＝eq\f(5,4)π兩條射線；ρ＝3和ρ＝－3都表示以極點為圓心，以3為半徑的圓，∴只有③成立.2.已知點M的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(π,3)))，下列所給出的四個坐標中不能表示點M的坐標的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(2π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(5π,3)))答案：A3.已知點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))，則點P的極坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))答案：C解析：因為點P(1，－eq\r(3))在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為eq\f(5π,3)，所以點P的一個極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))，排除A、B選項，－eq\f(4π,3)＋2π＝eq\f(2π,3)，所以極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))所表示的點在第二象限.故選C.4.極坐標ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示的曲線是()A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.圓答案：D解析：法一：常見的是將方程化為直角坐標方程，可以判斷曲線形狀，由于ρ不恒等于0，方程兩邊同乘ρ，得ρ2＝ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\f(\r(2),2)ρ(cosθ＋sinθ)，在以極點為原點，以極軸為x軸正半軸的直角坐標系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，因此有x2＋y2＝eq\f(\r(2),2)(x＋y)，故方程ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示圓.法二：極坐標方程ρ＝2acosθ表示圓，而eq\f(π,4)－θ與極軸的旋轉有關，它只影響圓心的位置，而不改變曲線的形狀，故方程ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示圓.5.在極坐標系中，與圓ρ＝4sinθ相切的一條直線方程為()A.ρsinθ＝2B.ρcosθ＝2C.ρcosθ＝4D.ρcosθ＝－4答案：B解析：如圖所示，⊙C的極坐標方程為ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，l和圓相切，l交極軸于B(2，0)，點P(ρ，θ)為l上任意一點，則有cosθ＝eq\f(|OB|,|OP|)＝eq\f(2,ρ)，得ρcosθ＝2.6.圓ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圓心坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))答案：A解析：可化為直角坐標方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1或化為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，這是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圓的方程.7.極坐標方程ρ＝cosθ與ρcosθ＝eq\f(1,2)的圖形是()答案：B解析：ρ＝cosθ兩邊同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ化為直角坐標方程為x2＋y2－x＝0表示圓，ρcosθ＝eq\f(1,2)表示過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))與極軸垂直的直線.8.化極坐標方程ρ2cosθ－ρ＝0為直角坐標方程為()A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝1答案：C解析：ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝eq\r(x2＋y2)＝0，或ρcosθ＝x＝1，即x2＋y2＝0或x＝1.9.極坐標方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲線為()A.一條射線和一個圓 B.兩條直線C.一條直線和一個圓 D.一個圓答案：C解析：∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴cosθ＝0，或ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，則θ＝kπ＋eq\f(π,2)或x2＋y2＝4y.10.已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝cosωx(ω>0)，f2(x)的圖象可以看做是把f1(x)的圖象在其所在的坐標系中的橫坐標壓縮到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標不變)而得到的，則ω為()A.eq\f(1,2)B.2C.3D.eq\f(1,3)答案：C解析：本題直接考查變換規律：函數y＝cosωx，x∈R(其中ω>0，ω≠1)的圖象，可以看做把余弦曲線上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)而得到.因此應選C.11.圓ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ的圓心坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(4π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(5π,3)))答案：A解析：化為直角坐標方程后求得圓心的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5,2)\r(3)))，然后再化為極坐標即可.12.圓ρ＝r與圓ρ＝－2rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(r>0)的公共弦所在直線的方程為()A.2ρ(sinθ＋cosθ)＝r B.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝r D.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝－r答案：D解析：圓ρ＝r的直角坐標方程為x2＋y2＝r2，①圓ρ＝－2rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,4)＋cosθsin\f(π,4)))＝－eq\r(2)r(sinθ＋cosθ).兩邊同乘以ρ得ρ2＝－eq\r(2)r(ρsinθ＋ρcosθ).∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋eq\r(2)rx＋eq\r(2)ry＝0.②①－②整理得eq\r(2)(x＋y)＝－r，即為兩圓公共弦所在直線的直角坐標方程.再將直線eq\r(2)(x＋y)＝－r化為極坐標方程為eq\r(2)ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)13.在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離是________.答案：1解析：將點的極坐標、直線的極坐標方程化為直角坐標、普通方程，利用點到直線的距離公式求解.點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化為直角坐標為(eq\r(3)，1)，直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0，點(eq\r(3)，1)到直線eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0的距離為eq\f(|\f(1,2)×\r(3)－\f(\r(3),2)×1＋1|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)))＝1.14.在極坐標系中，曲線C1與C2的方程分別為2ρcos2θ＝sinθ與ρcosθ＝1，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1與C2交點的直角坐標為________.答案：(1，2)解析：先化為普通方程再求解.曲線C1普通方程2x2＝y；曲線C2普通方程x＝1.聯立曲線C1與曲線C2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＝y，,x＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))因此兩曲線的交點坐標為(1，2).15.已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θ<eq\f(π,2))，則曲線C1與C2交點的極坐標為________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3，,ρ＝4cosθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ<\f(π,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ＝2\r(3)，,θ＝\f(π,6)，))即兩曲線的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6))).16.球坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，\f(π,3)))對應點的直角坐標為________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\r(3)))解析：直接代入互化公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ，))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，,z＝\r(3).))三、解答題(本大題共6小題，共74分)17.(12分)在同一平面直角坐標系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換.解：設變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))代入第二個方程，得2λx－μy＝4與x－2y＝2比較，將x－2y＝2變成2x－4y＝4，比較系數得λ＝1，μ＝4.∴伸縮變換公式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y.))即直線x－2y＝2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4.18.(12分)在直角坐標系中，已知三點P(2eq\r(3)，2)，Q(4，－4)，R(6，0).(1)將P、Q、R三點的直角坐標化為極坐標；(2)求△PQR的面積.解：(1)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，－\f(π,4)))，R(6，0).(2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ＝eq\f(1,2)×4×6×sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)×4eq\r(2)×6×sineq\f(π,4)－eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝14－4eq\r(3).19.(12分)建立適當的球坐標系，表示棱長為1的正方體的頂點.解：以正方體的一個頂點為極點，相鄰的兩條棱所在的射線分別為Ox軸和Oz軸.建立如圖所示的球坐標系.則有O(0，0，0)，A(1，eq\f(π,2)，0)，B(eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\f(π,4))，C(1，eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，O(1，0，0)，E(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)，F(eq\r(3)，arccoseq\f(\r(3),3)，eq\f(π,4))，G(eq\r(2)，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)).20.(12分)在平面直角坐標系中，已知點A(3，0)，點P是圓x2＋y2＝1上的一個動點，且∠AOP的平分線交PA于點Q，如圖所示，求Q點的軌跡的極坐標方程.解：以O點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設Q(ρ，θ)，P(1，2θ).如圖所示.∵S△OQA＋S△OQP＝S△OAP，∴eq\f(1,2)·3ρsinθ＋eq\f(1,2)ρsinθ＝eq\f(1,2)·3·1·sin2θ.∴ρ＝eq\f(3,2)cosθ.21.(12分)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設C