第二十一章一元二次方程易錯必考68題（10個考點）專練易錯必考題一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全國·九年級專題練習）若關于x的一元二次方程的常數項是6，則一次項是（）A． B． C．x D．12．（2023春·八年級課時練習）將一元二次方程化成的形式則．3．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知關于y的一元二次方程，求出它各項的系數，并指出參數m的取值范圍．易錯必考題二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林長春·八年級?？计谀┤绻P于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（

）A． B．2021 C． D．20255．（2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考期末）兩個關于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常數，且，如果是方程的一個根，那么下列各數中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．16．（2023春·浙江金華·八年級統考期末）已知m為方程的根，那么的值為．7．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎?，是非零實數，關于的一元二次方程，，，有公共解，則代數式的值為．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知x是一元二次方程的實數根，求代數式的值．9．（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數；(2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．易錯必考題三、換元法解一元二次方程10．（2023秋·全國·九年級專題練習）若整數，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對 B．6對 C．8對 D．無數對11．（2023春·全國·八年級專題練習）用換元法解方程時，如果設，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如果關于的方程的解是，，那么關于的方程的解是．13．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知方程的根為，，則方程的根是．14．（2022秋·全國·九年級專題練習）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為；(2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個整體，設，那么原方程可化為①，解得．當，時，，∴．∴；當時，，∴．∴．故原方程的解為，，，．解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到了降次的目的，體現了的數學思想；(2)請利用以上知識解方程：；(3)請利用以上知識解方程：．易錯必考題四、配方法的應用16．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y考期末）用配方法解方程，若配方后結果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．917．（2023秋·全國·九年級專題練習）關于x的一元二次方程新定義：若關于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202318．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）實數x和y滿足，則．19．（2023秋·全國·九年級專題練習）設為整數，且，方程有兩個不相等的整數根，則的值是．20．（2023春·安徽池州·八年級統考期中）【閱讀材料】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：．

②求的最小值．解：原式

解：原式

．

，

，

即的最小值為2．請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：_______________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．21．（2023春·浙江寧波·八年級統考期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用例如：已知可取任何實數，試求二次三項式的最小值．解：；無論取何實數，都有，，即的最小值為．【嘗試應用】（1）請直接寫出的最小值______；【拓展應用】（2）試說明：無論取何實數，二次根式都有意義；【創新應用】（3）如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．易錯必考題五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習）若關于的一元二次方程的一個根是0，則的值是（

）A．或1 B． C． D．23．（2023秋·全國·九年級專題練習）對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或24．（2022秋·全國·九年級專題練習）閱讀下列解方程的過程，并解決相關問題．解：將方程左邊分解因式，得，…第一步方程兩邊都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左邊分解因式的方法是，解方程的過程從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是；②請直接寫出方程的根為．25．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：且，，那么的值等于．26．（2022春·湖南長沙·九年級統考期末）已知關于的一元二次方程有實數根．(1)求的取值范圍；(2)如果是符合條件的最大整數，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．27．（2023春·江蘇揚州·八年級統考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為，，且為整數，求整數m所有可能的值．易錯必考題六、根據一元二次方程根的情況求參數28．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（

）A． B． C． D．1029．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且30．（2023·遼寧阜新·校聯考一模）若關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且31．（2023春·廣東廣州·九年級統考開學考試）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，且a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且32．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學?？奸_學考試）已知關于的一元二次方程有實根，則的取值范圍是．33．（2023春·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）已知關于的一元一次方程與一元二次方程有一個公共解，若關于的一元二次方程有兩個相等的實數解，則的值為．34．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是．35．（2023·遼寧撫順·統考三模）若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則k的最大整數值是．36．（2022秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習）已知關于的方程．(1)有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；(2)有兩個相等的實數根，求m的值，并求出此時方程的根；(3)有實根，求m的最小整數值．37．（2023春·山東煙臺·八年級統考期中）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在的值，使為非負整數，且方程的兩根均為有理數？若存在，請求出滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．38．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）已知關于的方程．(1)求證：無論取任何實數，方程總有實數根；(2)若等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求此時的值和這個等腰三角形的周長．39．（2023秋·九年級課時練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實數根；(2)若此方程有兩個根，請用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個方程的根為整數根，試求出正整數k的值；易錯必考題七、一元二次方程根與系數的關系40．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學考試）已知關于的一元二次方程的兩個實數根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．841．（2023秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）若a，b是方程的兩根，則（）A．2024 B．2023 C．2022 D．202142．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知是方程的兩根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．43．（2023春·安徽六安·八年級統考期中）已知，是關于的一元二次方程的兩個實數根，且滿足，則的值為(

)A．或1 B．或3 C． D．344．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學?？奸_學考試）已知，是方程的兩實數根，則．45．（2023秋·陜西西安·九年級?？奸_學考試）已知方程的兩根分別為，則．46．（2023·四川成都·?？既＃┮阎顷P于的一元二次方程的兩個實數根，且．則的值為．47．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知、，滿足等式：，則．48．（2023秋·湖南長沙·九年級長沙市南雅中學?？奸_學考試）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩實根為，且，求m的值．49．（2023春·浙江杭州·八年級校考階段練習）關于x的一元二次方程有兩個不相等實數根，．(1)求實數k的取值范圍；(2)若方程兩實數根，滿足，求k的值；(3)已知方程的一個根為，求代數式的值．50．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學考試）已知關于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根；(2)設方程的兩個實數根為，請解答下列問題：①若，，求的取值范圍；②請判斷的值能否等于，若能，請求出此時的值；若不能說明理由．51．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第六十九中學校?？奸_學考試）閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程的兩個實數根，和系數，，，有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為，，求的值．解：，是一元二次方程的兩個實數根，，，則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程的兩個實數根為，，則________，________．(2)類比：已知一元二次方程的兩個實數根為，，求的值．易錯必考題八、一元二次方程與幾何動點問題52．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒53．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，矩形中，，，動點E從A出發，以的速度沿向B運動，動點F從C出發，以的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則的長為時點E的運動時間是（

）A． B． C．或 D．54．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動點由點出發沿方向向點勻速移動，速度為，動點由點出發沿方向向點勻速移動，速度為．動點，同時從，兩點出發，當的面積為時，動點，的運動時間為．55．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點P從A點出發，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）；（2）如果P、Q兩點同時出發，問：經過秒后的面積等于．56．（2023春·云南昆明·八年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿對角線方向運動．已知P，Q兩點同時出發，當點Q到達點A時，P，Q兩點同時停止運動，連接．設運動時間為t秒．

(1)______，______．(2)當t為何值時，的面積為．(3)是否存在某一時刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請說明理由．57．（2022秋·廣西桂林·九年級桂林市第一中學統考期中）在長方形中，，，點從點開始沿邊向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿向終點以的速度移動，如果，分別從，同時出發，當點運動到點時，兩點停止運動．設運動時間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數式表示）；(2)當為何值時，的長度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時的值，若不存在，請說明理由．易錯必考題九、一元二次方程中的營銷問題58．（2022秋·山西臨汾·九年級統考期末）品山西風味，享三晉美食，就在司徒小鎮，十一假期某特色雜糧面店為擴大銷售，增加盈利，計劃降價銷售，該雜糧面店的成本價為每碗4元，若每碗賣18元，平均每天將銷售200碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售20碗，為維護城市形象，店家現規定每碗售價不得超過15元，若每天盈利2800元，則每碗售價應為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元59．（2023春·八年級課時練習）某網店銷售運動鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網店決定適當降價促銷，經調查得知，每雙運動鞋每降價1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場，則每雙運動鞋應降價（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元60．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學考試）《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規定，駕駛人和搭載人應當規范佩戴安全頭盔，同時，針對不規范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標準．某商店以每件元的價格購進一批安全頭盔，經市場調研發現，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價（元/件）滿足一次函數，物價部門規定每件頭盔的利潤不能超過進價的．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價應為元．61．（2023秋·全國·九年級專題練習）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為．62．（2023春·安徽池州·八年級統考期中）威寧火腿是貴州的傳統特產，距今已有600多年的歷史，早就聞名海內外．某火腿經銷商統計了某款威寧火腿4月份到6月份的銷售量，該款火腿4月份銷售量為，6月份銷售量為，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該款火腿銷售量的月增長率；(2)若該款火腿的進價為120元，經在市場中測算，當售價為160元時，月銷售量為，若在此基礎上售價每上漲0.5元，則月銷售量將減少，為使月銷售利潤達到9800元，則該款火腿的實際售價應定為多少？（利潤=售價-進價）63．（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）端午節前夕，某超市從廠家分兩次購進蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進貨時，兩種粽子的進價不變．第一次購進蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費用為4800元；第二次購進蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費用為3600元．(1)求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進價各是多少元？(2)當蛋黃粽子銷售價為每袋70元時；每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對蛋黃粽子進行降價銷售．經市場調研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當蛋黃粽子每袋的銷售價為多少元時，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤為220元？易錯必考題十、一元二次方程中的新定義問題64．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谥校τ诖鷶凳健?，定義新運算，則下列說法正確的個數為（

）①若，則或1；②若，則的值為3或；③若方程的解為、，則的值為；④若關于的方程有兩個不相等的實數解，則．A．1 B．2 C．3 D．465．（2023·山東淄博·?？级＃┒x表示不超過實數x的最大整數，如，，．函數的圖像（部分）如圖所示，則方程有（

）個解．

A．4 B．3 C．2 D．166．（2023·廣東·二模）定義新運算“※”：對于實數，，，，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，如：．若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是．67．（2023秋·全國·九年級專題練習）【閱讀材料】配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為，所以5是“完美數”．(1)【解決問題】數11“完美數”（填“是”或“不是”）；數53“完美數”（填“是”或“不是”）；(2)【探究問題】已知，則；(3)【拓展提升】已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的k值，并說明理由．68．（2022秋·八年級單元測試）對于m，n，定義：若，則稱m與n是關于1的“對稱數”．(1)填空：7與______是關于1的“對稱數”；與______是關于1的“對稱數”；(2)已知，其中a，b均為常數，且無論x取何值，A與B都是關于1的“對稱數”，求a，b的值；(3)若，且C與D是關于1的“對稱數”，求滿足條件的x的值．

第二十一章一元二次方程易錯必考68題（10個考點）專練易錯必考題一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全國·九年級專題練習）若關于x的一元二次方程的常數項是6，則一次項是（）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根據一元二次方程定義可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得結果．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的常數項是6，∴，，解得：，把代入原方程可得，∴一次項是，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次項，是一次項，是常數項．2．（2023春·八年級課時練習）將一元二次方程化成的形式則．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【詳解】解：將一元二次方程化成一般形式之后，變為，故，，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知關于y的一元二次方程，求出它各項的系數，并指出參數m的取值范圍．【答案】二次項系數是：，一次項系數是：，常數項是：；參數m的取值范圍是【分析】先將原方程化為一般式，再回答各項系數，根據“二次項系數不為零”可以求m的取值范圍．【詳解】解：將原方程整理為一般形式，得：，由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件，即．可知它的各項系數分別是二次項系數是：，一次項系數是：，常數項是：．參數m的取值范圍是．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式和系數、二次項系數不為零，掌握化一般式的方法是解題的關鍵．注意：在含參數的方程中，要認定哪個字母表示未知數，哪個字母是參數，才能正確處理有關的問題．易錯必考題二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林長春·八年級校考期末）如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（

）A． B．2021 C． D．2025【答案】D【分析】根據一元二次方程的一個解是，得到即，代入計算即可．【詳解】∵一元二次方程的一個解是，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握定義是解題的關鍵．5．（2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考期末）兩個關于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常數，且，如果是方程的一個根，那么下列各數中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】利用方程根的定義去驗證判斷即可．【詳解】∵，，，∴∴，∴，，∴，，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，即，∴，∴是方程的一個根，即時方程的一個根．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義即使得方程兩邊相等的未知數的值，正確理解定義是解題的關鍵．6．（2023春·浙江金華·八年級統考期末）已知m為方程的根，那么的值為．【答案】【分析】先根據一元二次方程解的定義得到，再用m表示得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m為方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握整體代入的方法是解題關鍵．7．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎?，，是非零實數，關于的一元二次方程，，，有公共解，則代數式的值為．【答案】或【分析】設公共解為，根據一元二次方程根的定義得到，，，三式相加可得：或，分別代入所求式可解答．【詳解】解：設公共解為，則，，，三式相加得，即，因為，所以或，當時，，原式；當時，，，，，原式，綜上，代數式的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，理解方程解的定義是解題的關鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知x是一元二次方程的實數根，求代數式的值．【答案】【分析】利用一元二次方程的解可得出，將其代入的化簡結果中即可求出答案．【詳解】解：∵x是一元二次方程的實數根，∴．，∴代數式的值為．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、分式的化簡等知識，熟練掌握一元二次方程的解的定義和分式的運算法則是解題的關鍵．9．（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數；(2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．【答案】(1)(2)【分析】（1）設所求方程的根為，則，將代入已知方程，化簡即可得到答案；（2）設所求方程的根為，則，將其代入已知方程，然后化為一般形式即可得到答案．【詳解】（1）解：設所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，化簡得，，這個一元二次方程為：；（2）解：設所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，去分母得，，若，則，于是方程有一根為0，不符合題意，，所求方程為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．易錯必考題三、換元法解一元二次方程10．（2023秋·全國·九年級專題練習）若整數，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對 B．6對 C．8對 D．無數對【答案】C【分析】先化簡可得，設，則；然后求得a的值，最后列舉出符合題意的，的整數值即可解答．【詳解】解：由，設，則，∴，即，解得：或（舍棄），∴．∴滿足條件的，的整數值有：，，，，，，，，共8對．故選C．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知識點，掌握二元一次方程的解是解答本題的關鍵．11．（2023春·全國·八年級專題練習）用換元法解方程時，如果設，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原方程中的換成，再移項即可．【詳解】解：根據題意，得，即；故選：D．【點睛】本題考查換元法解一元二次方程，換元法就是把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，實行等量代換．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如果關于的方程的解是，，那么關于的方程的解是．【答案】，，【分析】根據關于x的方程的解是，，令關于y的方程中，即可得到，解這個方程組即可得到答案．【詳解】解：∵,∴,關于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關于y的方程中是解決問題的關鍵．13．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知方程的根為，，則方程的根是．【答案】，【分析】設，可得，根據的根為，，可得或，即可得到答案；【詳解】解：設，可得，∵的根為，，∴或，解得：，，故答案為，；【點睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關鍵是設，得到，結合方程的根為，．14．（2022秋·全國·九年級專題練習）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為；(2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．【答案】(1)(2)【分析】（1）設所求方程的根為，則，所以，代入原方程即可得；（2）設所求方程的根為，則，于是，代入方程整理即可得．【詳解】（1）解：設所求方程的根為，則，所以，把代入方程，得：，故答案為：；（2）解：設所求方程的根為，則，于是，把代入方程，得，去分母，得，若，有，于是，方程有一個根為，不合題意，∴，故所求方程為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解，解題的關鍵是理解方程的解的定義和解題的方法．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個整體，設，那么原方程可化為①，解得．當，時，，∴．∴；當時，，∴．∴．故原方程的解為，，，．解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到了降次的目的，體現了的數學思想；(2)請利用以上知識解方程：；(3)請利用以上知識解方程：．【答案】(1)換元；轉化(2)(3)【分析】（1）利用換元法達到了降次的目的，體現了轉化的數學思想；（2）利用換元法解方程即可；（3）利用換元法解方程即可．【詳解】（1）解：利用了換元法，體現了轉化思想；故答案為：換元，轉化；（2）設，原方程可變為，則，∴或，∴，當時，，解得，當時，，解得，∴原方程的解為；（3）設，原方程可變為，解得，∵，∴，解得．【點睛】本題考查解一元二次方程．解題的關鍵是理解并掌握換元法解方程．易錯必考題四、配方法的應用16．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y考期末）用配方法解方程，若配方后結果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法將方程配成，然后求出n的值即可．【詳解】∵，∴，

∴，即，

．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關鍵．17．（2023秋·全國·九年級專題練習）關于x的一元二次方程新定義：若關于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而利用非負數的性質確定出代數式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數式能取的最大值是2020．故選：A．【點睛】此題考查了配方法的應用，非負數的性質，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．18．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）實數x和y滿足，則．【答案】【分析】將已知等式左邊第三項拆項后，重新結合利用完全平方公式變形后，利用兩非負數之和為0，得到兩非負數分別為0，求出x與y的值，代入所求式子中計算，即可求出值．【詳解】解：∵，∴且，解得：，，則，故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．19．（2023秋·全國·九年級專題練習）設為整數，且，方程有兩個不相等的整數根，則的值是．【答案】【分析】將方程化為，根據為整數，且方程有兩個不相等的整數根即可求解．【詳解】解：，，，，，，為整數，且方程有兩個不相等的整數根，當時，符合題意，解得：；故答案：．【點睛】本題考查了一元二次方程的配方法，求參數的整數問題，掌握方法是解題的關鍵．20．（2023春·安徽池州·八年級統考期中）【閱讀材料】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：．

②求的最小值．解：原式

解：原式

．

，

，

即的最小值為2．請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：_______________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．【答案】(1)4(2)(3)2【分析】（1）根據常數項等于一次項系數的一半的平方進行配方即可；（2）將32化成，前三項配成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解即可；（3）將式子進行配方，再利用平方的非負性即可求解．【詳解】（1）解：∵，故答案為：4；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴的最小值為2．【點睛】本題考查配方法的應用、因式分解的應用，根據完全平方式進行配方和平方的非負性是解題的關鍵．21．（2023春·浙江寧波·八年級統考期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用例如：已知可取任何實數，試求二次三項式的最小值．解：；無論取何實數，都有，，即的最小值為．【嘗試應用】（1）請直接寫出的最小值______；【拓展應用】（2）試說明：無論取何實數，二次根式都有意義；【創新應用】（3）如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）利用配方法把變形為，然后根據非負數的性質可確定代數式的最小值；（2）利用配方法得到，則可判斷，然后根據二次根式有意義的條件可判斷無論取何實數，二次根式都有意義；（3）利用三角形面積公式得到四邊形的面積，由于，則四邊形的面積，利用配方法得到四邊形的面積，然后根據非負數的性質解決問題．【詳解】解：（1），無論取何實數，都有，，即的最小值為；故答案為：；（2），，，無論取何實數，二次根式都有意義；（3），四邊形的面積，，，四邊形的面積，當，四邊形的面積最大，最大值為．【點睛】本題考查了配方法的應用：利用配方法把二次式變形為一個完全平方式和常數的和，然后利用非負數的性質確定代數式的最值．易錯必考題五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年級校考階段練習）若關于的一元二次方程的一個根是0，則的值是（

）A．或1 B． C． D．【答案】B【分析】根據一元二次方程的解的定義，把代入得，再解關于的方程，然后利用一元二次方程的定義確定的值．【詳解】解：把代入，得，解得或，而，所以的值為．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全國·九年級專題練習）對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根據題意進行分類討論，當時，可得，求出x的值即可；當時，可得求出x的值即可．【詳解】解：當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），，綜上：x的值是5或，故選：B．【點睛】本題主要考查了新定義下的運算和解一元二次方程，解題的關鍵是正確理解題目所給新定義的運算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．24．（2022秋·全國·九年級專題練習）閱讀下列解方程的過程，并解決相關問題．解：將方程左邊分解因式，得，…第一步方程兩邊都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左邊分解因式的方法是，解方程的過程從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是；②請直接寫出方程的根為．【答案】公式法二可能為0，【分析】①根據公式法因式分解、等式的基本性質判斷即可；②利用因式分解法求解即可．【詳解】解：①第一步方程左邊分解因式的方法是公式法，解方程的過程從第二步開始出現錯誤，錯誤的原因是：可能為0，故答案為：公式法，二，可能為0；②∵，∴，∴，則，∴或，解得，，故答案為：，．【點睛】本題考查因式分解，解一元二次方程．運用平方差公式進行因式分解是解題的關鍵．25．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：且，，那么的值等于．【答案】或2【分析】先把已知條件化為，再利用因式分解法得到或，然后把或分別代入中計算即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴或，當時，即；當時，即，∴的值等于或2．故答案為：或2．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．26．（2022春·湖南長沙·九年級統考期末）已知關于的一元二次方程有實數根．(1)求的取值范圍；(2)如果是符合條件的最大整數，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）一元二次方程有實數根，則，由此即可求解；（2）根據（1）中的取值范圍求出的值，由此可求出方程的解，把的值代入一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：，解得，∴的取值范圍．（2）解：由（1）可知，，∴的最大整數是，∴方程可化為，解得，∵一元二次方程與方程有一個相同的根，∴當時，，解得；當時，，解得，又，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程的知識，掌握一元一次方程的定義，有實根的計算方法，解一元二次方程的方法的知識是解題的關鍵．27．（2023春·江蘇揚州·八年級統考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為，，且為整數，求整數m所有可能的值．【答案】(1)見解析(2)或或0或2【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出，進而可證出方程有兩個不相等的實數根；（2）解方程求出方程的兩根為，，得出，然后利用有理數的整除性確定的整數值．【詳解】（1）解：證明：，無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2），即，解得：或．一元二次方程的兩根為，，，，，如果為整數，則或或0或2，整數的所有可能的值為或或0或2．【點睛】本題考查了根的判別式、解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△時，方程有兩個不相等的實數根”；（2）利用解方程求出的整數值．易錯必考題六、根據一元二次方程根的情況求參數28．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（

）A． B． C． D．10【答案】D【分析】根據一元二次方程有兩個相等的實數根，運用根的判別式進行解答即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程，有兩個不相等的實數根，∴，∴，∴或，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知關于的一元二次方程，若，則原方程有兩個不相等的實數根；若，則原方程有兩個相等的實數根；若，則原方程沒有實數根．29．（2023春·山東泰安·八年級統考期末）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且然后解兩個不等式得到它們的公共部分即可；【詳解】解：根據題意得且，解得且，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據題意得出關于的不等式是解此題的關鍵30．（2023·遼寧阜新·校聯考一模）若關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】根據一元二次方程根的判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：當時，，∴，當時，原方程是一元一次方程，有實數根，∴故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．31．（2023春·廣東廣州·九年級統考開學考試）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，且a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】由所給方程是一元二次方程可知，由方程沒有實數根可知，再解不等組，找出交集即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程沒有實數根，，，，，a滿足，由得，由得，，，故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式、解不等式組，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根的判別式，即時，方程沒有實數根；時，方程有兩個相等的實數根；時，方程有兩個不等的實數根．32．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學校考開學考試）已知關于的一元二次方程有實根，則的取值范圍是．【答案】且．【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且△，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：當時，方程是一元二次方程，則△有實數根，解得且．故答案為且．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義和根與△有如下關系：當△時，方程有兩個不相等的實數根；當△時，方程有兩個相等的實數根；當△時，方程無實數根．33．（2023春·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）已知關于的一元一次方程與一元二次方程有一個公共解，若關于的一元二次方程有兩個相等的實數解，則的值為．【答案】【分析】先解方程得，再把代入方程得，接著根據方程有兩個相等的實數解，得到，然后通過解方程組求出、，從而得到的值．【詳解】解：解方程得，關于的一元一次方程與一元二次方程有一個公共解，為方程的解，，關于的一元二次方程有兩個相等的實數解，，把代入得，解得，當時，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解與根的判別式關系：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．34．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】根據一元二次方程的定義結合根的判別式即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出結論．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：且．故答案為：且．【點睛】本題考查一元二次方程的定義、根的判別式以及解一元一次不等式組，根據一元二次方程的定義結合根的判別式列出關于的一元一次不等式組是解題的關鍵．35．（2023·遼寧撫順·統考三模）若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則k的最大整數值是．【答案】【分析】根據方程有兩個不相等的實數根，得到，確定符合題意的整數解即可．【詳解】∵x的方程有兩個不相等的實數根，∴，∴，∵k是整數，∴k的最大整數值是，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程滿足的條件，解不等式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．36．（2022秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習）已知關于的方程．(1)有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；(2)有兩個相等的實數根，求m的值，并求出此時方程的根；(3)有實根，求m的最小整數值．【答案】(1)且(2)，(3)0【分析】（1）分兩種情況討論：當時，變成；當時，是一元二次方程，根據方程根的情況可得，求解即可；（2）當時，變成；當時，是一元二次方程，根據方程根的情況可得，求解即可；（3）當時，變成；當時，是一元二次方程，根據方程根的情況可得，求解即可．【詳解】（1）解：，移項合并同類項得：，當時，是一元二次方程，由題意得：，解得：；當時，變成，只有一個實數根，不符合題意；∴m的取值范圍是且；（2）解：當時，變成，只有一個實數根，不符合題意；當時，是一元二次方程，由題意得：，解得：，把代入得：，整理得：，解得：；（3）解：當時，變成，有一個實數根，符合題意，當時，是一元二次方程，由題意得：，解得：，∴m的最小整數值是0；【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，掌握與一元二次方程根的情況是解題的關鍵．37．（2023春·山東煙臺·八年級統考期中）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在的值，使為非負整數，且方程的兩根均為有理數？若存在，請求出滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)且(2)2【分析】（1）根據一元二次方程的定義以及根的判別式，建立關于的不等式組，求得的取值范圍．（2）根據（1）中所求的取值范圍，得出使為非負整數的值，代入中，進而求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，且，∴，解得：且;（2）解：∵且，∴，．當時，，此時方程的兩根均為無理數，不符合題意舍去；當時，，此時方程的兩根均為有理數，符合題意；故滿足條件的的值為．【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：①＞方程有兩個不相等的實數根；②方程有兩個相等的實數根；③＜方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．38．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）已知關于的方程．(1)求證：無論取任何實數，方程總有實數根；(2)若等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求此時的值和這個等腰三角形的周長．【答案】(1)詳見解析(2)，周長：【分析】（1）分情況討論：，化為一元一次方程，求解；，化為一元二次方程，運用根的判別式處理；（2）對等腰三角形分情況討論，分別求解，運用三角形三邊關系定理判斷取舍．【詳解】（1）解：當時，方程化為，解得：，方程有解；當時，，，，無論取任何實數，方程總有實數根；綜上，無論取任何實數，方程總有實數根；（2）解：解方程得，，①當腰長為4，則∴，周長②當底邊為4，則，∴．，，不符合題意．故，周長為9【點睛】本題一元二次方程根的判別式，一元二次方程的求解；注意分情況討論是解題的關鍵．39．（2023秋·九年級課時練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實數根；(2)若此方程有兩個根，請用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個方程的根為整數根，試求出正整數k的值；【答案】(1)證明見解析(2)，(3)或【分析】（1）分和兩種情況考慮：當時，方程為一元一次方程，有實數根；當時，根的判別式，由此可得出方程有實數根．綜上即可證出結論；（2）由方程有兩個根，可得出，利用求根公式求出、的值，（3）由和為整數以及k為正整數，即可求出k的值．【詳解】（1）證明：當，即時，原方程為，解得：；當，即時，，∴方程有實數根．綜上可知：無論k取何值，此方程總有實數根；（2）∵方程有兩個整數根，∴，，且（3）由（2）可得，∵整數，k為正整數．∴或．【點睛】本題考查了根的判別式以及利用公式法解方程，解題的關鍵是：（1）分和兩種情況考慮；（2）找出，．易錯必考題七、一元二次方程根與系數的關系40．（2023秋·福建泉州·九年級?？奸_學考試）已知關于的一元二次方程的兩個實數根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用一元二次方程根與系數的關系及整理即可求解．【詳解】解：由題意得：，，則：，即：，解得：，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握根與系數的是解題的關鍵．41．（2023秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）若a，b是方程的兩根，則（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】D【分析】由解的定義，得，由根與系數關系得，對代數式變形，代入求解．【詳解】解：由題意，，，∴．∴．故選：D.【點睛】本題考查方程解的定義，一元二次方程根與系數關系，掌握根與系數關系定理是解題的關鍵．42．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知是方程的兩根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據是方程的兩根，得出，，，然后對代數式變形，最后代入進行計算即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數的關系以及整式的變形，根據需要對整式靈活變形成為解答本題的關鍵．43．（2023春·安徽六安·八年級統考期中）已知，是關于的一元二次方程的兩個實數根，且滿足，則的值為(

)A．或1 B．或3 C． D．3【答案】C【分析】先根據根的情況得出判別式為非負數，求出的范圍，再根據一元二次方程根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，代入，然后解方程求出的值，再結合的范圍求解即可．【詳解】解：∵，是關于的一元二次方程的兩個實數根∴，∴，由題可知，，代入，得，化簡為，，，，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系和跟的判別式，熟練運用根與系數的關系和根的判別式是解題的關鍵．44．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學?？奸_學考試）已知，是方程的兩實數根，則．【答案】4092529【分析】先根據一元二次方程根的定義得到，則可變形為，再根據根與系數的關系得到，，然后利用整體代入的方法計算代數式的值．【詳解】解：∵m是方程的實數根，∴，∴，∴，∵m，n是方程的兩實數根，∴，∴．故答案為:4092529．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，，．45．（2023秋·陜西西安·九年級?？奸_學考試）已知方程的兩根分別為，則．【答案】15【分析】由題意知，，，則，根據，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：15．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，代數式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．46．（2023·四川成都·?？既＃┮阎?，是關于的一元二次方程的兩個實數根，且．則的值為．【答案】【分析】根據根與系數的關系即可求解．【詳解】解：∵，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查一元二次方程根與系數的關系：，解題的關鍵是熟知根與系數的關系且能靈活應用．47．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知、，滿足等式：，則．【答案】【分析】根據題意可得出，為以為未知數的一元二次方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求解．【詳解】解：∵∴，∴∵滿足∴，為以為未知數的一元二次方程的兩根，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，，得出，為以為未知數的一元二次方程的兩根是解題的關鍵．48．（2023秋·湖南長沙·九年級長沙市南雅中學?？奸_學考試）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩實根為，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）只要證明△>0恒成立即可；（2）由題意可得，進行變形后代入即可求解.【詳解】（1）證明：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數根；（2）解：∵，方程的兩實根為，，，即，解得：，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的存在條件的應用，屬于基礎試題.49．（2023春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習）關于x的一元二次方程有兩個不相等實數根，．(1)求實數k的取值范圍；(2)若方程兩實數根，滿足，求k的值；(3)已知方程的一個根為，求代數式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據有兩個不相等實數根可知，得出k的取值范圍；（2）由根與系數的關系，得，，結合即可求解；（3）將代入原方程，化簡整理可得，利用整體代入法求解即可．【詳解】（1）解：∵原方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：；（2）由根與系數的關系，得，．∵，∴，解得：或，又∵，∴；（3）∵方程的一個根為，∴，整理可得：，【點睛】本題主要考查的是一元二次方程中根的判別式、根與系數的關系的應用，方程的解的定義，熟練掌握其基礎知識是解題的關鍵．50．（2023秋·福建泉州·九年級校考開學考試）已知關于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根；(2)設方程的兩個實數根為，請解答下列問題：①若，，求的取值范圍；②請判斷的值能否等于，若能，請求出此時的值；若不能說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②不能，見解析【分析】先計算根的判別式的值得到，然后根據根的判別式的意義得到結論；根據根與系數的關系得，則，然后解不等式即可；由于，，所以，由于時，有最小值，從而可判斷的值不能為．【詳解】（1）證明：，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：根據根與系數的關系得，，，，解得，即的范圍為；的值不能為．理由如下：根據根與系數的關系得，，，時，有最小值，的值不能為．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．也考查了根與系數的關系．51．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第六十九中學校校考開學考試）閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程的兩個實數根，和系數，，，有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為，，求的值．解：，是一元二次方程的兩個實數根，，，則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程的兩個實數根為，，則________，________．(2)類比：已知一元二次方程的兩個實數根為，，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用根與系數的關系，即可得出及的值；（2）利用根與系數的關系，即可得出，，再利用完全平方公式將變形為，代入值進行計算即可．【詳解】（1）解：一元二次方程的兩個實數根為，，，，故答案為：，；（2）解：一元二次方程的兩個實數根為，，，，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，通過完全平方公式變形進行計算，熟練掌握關于x的一元二次方程的兩個實數根，和系數，，，有如下關系：，，是解題的關鍵．易錯必考題八、一元二次方程與幾何動點問題52．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】當運動時間為t秒時，，，根據的面積等于，可得出關于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：當運動時間為t秒時，，，根據題意得：，即，整理得：，解得：，，當時，，不符合題意，舍去，∴．∴運動時間為1秒．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．53．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，矩形中，，，動點E從A出發，以的速度沿向B運動，動點F從C出發，以的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則的長為時點E的運動時間是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】過E作于點M，當運動時間為秒時，，利用勾股定理解，可得關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論．【詳解】解：如圖所示，過E作于點M，由題意知，當運動時間為秒時，，，，，根據勾股定理得：，即，整理得：，解得：，，的長為時點E的運動時間是或，故選C．【點睛】本題考查勾股定理以及解一元二次方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．本題作答方法不唯一，也可以通過分類討論求解．54．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動點由點出發沿方向向點勻速移動，速度為，動點由點出發沿方向向點勻速移動，速度為．動點，同時從，兩點出發，當的面積為時，動點，的運動時間為．【答案】【分析】設，的運動時間為，可得，用表示出的面積，并令其等于，即可解出的值，即動點，的運動時間．【詳解】解：設動點，的運動時間為，且，則，．，，又的面積為，，解得，（舍去）．故動點，的運動時間為．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，準確地設出未知量，并通過解方程求解是解決本題的常見方法．55．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點P從A點出發，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）；（2）如果P、Q兩點同時出發，問：經過秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據含30度角的直角三角形的性質得出，再根據勾股定理即可得出答案；（2）過點Q作于點E，則，當運動時間為t秒時，，，，，根據的面積等于，即可得出關于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點Q作于點E，則，如圖所示，當運動時間為t秒時，，，，，依題意得：．當時，，解得：，；當時，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經過1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，勾股定理，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．56．（2023春·云南昆明·八年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿對角線方向運動．已知P，Q兩點同時出發，當點Q到達點A時，P，Q兩點同時停止運動，連接．設運動時間為t秒．

(1)______，______．(2)當t為何值時，的面積為．(3)是否存在某一時刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)3；6(2)當t為1或2時，的面積為(3)存在；當，使是以為底邊的等腰三角形【分析】（1）根據矩形的性質和含角的直角三角形的性質解答即可；（2）過點Q作于點H，，，，根據直角三角形的性質和三角形的面積公式解答即可；（3）根據是以為底邊的等腰三角形，得，再列方程解答即可．【詳解】（1）解：在矩形中，，，∴，，∵，即，解得：，負值舍去，∴，故答案為：3；6．（2）解：過點Q作于點H，如圖所示：

，，則，在中，，∴，∵的面積為，∴，解得：，，均符合題意，答：當t為1或2時，的面積為．（3）解：存在，理由如下：∵是以為底邊的等腰三角形，∴，即，解得：，符合題意，答：當，使是以為底邊的等腰三角形．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，勾股定理，等腰三角形，一元二次方程的解法等知識，解題的關鍵是學會用數形結合的思想思考問題，屬于中考壓軸題．57．（2022秋·廣西桂林·九年級桂林市第一中學統考期中）在長方形中，，，點從點開始沿邊向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿向終點以的速度移動，如果，分別從，同時出發，當點運動到點時，兩點停止運動．設運動時間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數式表示）；(2)當為何值時，的長度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)，理由見解析【分析】（1）根據點從點開始沿邊向終點以的速度移動，，可以求得；（2）用含的代數式分別表示和的值，運用勾股定理求得為據此求出值；（3）根據題干信息使得五邊形的面積等于的值存在，利用長方形的面積減去的面積即可，則的面積為，由此求得值．【詳解】（1）解：點從點開始沿邊向終點以的速度移動，，故為故答案為：．（2）由題意得：，解得：，；當秒或秒時，的長度等于；（3）存在秒，能夠使得五邊形的面積等于．理由如下：長方形的面積是：，使得五邊形的面積等于，則的面積為，，解得：不合題意舍去，．即當秒時，使得五邊形的面積等于．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，以及勾股定理的應用，利用含t的代數式表示各自線段的關系，根據題干數量關系即可確立等量關系式是解題的關鍵．易錯必考題九、一元二次方程中的營銷問題58．（2022秋·山西臨汾·九年級統考期末）品山西風味，享三晉美食，就在司徒小鎮，十一假期某特色雜糧面店為擴大銷售，增加盈利，計劃降價銷售，該雜糧面店的成本價為每碗4元，若每碗賣18元，平均每天將銷售200碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售20碗，為維護城市形象，店家現規定每碗售價不得超過15元，若每天盈利2800元，則每碗售價應為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元【答案】B【分析】可設每碗售價定為x元時，店家才能實現每天利潤2800元，根據利潤的等量關系列出方程求解即可．【詳解】解：設每碗售價定為x元時，店家才能實現每天利潤2800元，依題意有，解得，∵每碗售價不得超過15元，∴．∴當每碗售價定為14元時，店家才能實現每天利潤2800元．故選：B【點睛】題目主要考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．59．（2023春·八年級課時練習）某網店銷售運動鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網店決定適當降價促銷，經調查得知，每雙運動鞋每降價1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場，則每雙運動鞋應降價（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元【答案】B【分析】先設每雙鞋應降價x元，根據平均每天售出的雙數×每件盈利=每天銷售利潤，再列出方程，求出x的值，再根據盡可能讓利顧客，把不合題意的根舍去即可求出答案；【詳解】解：設每雙鞋應降價x元，根據題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10，∵盡可能讓利顧客，∴x=20．答：每雙鞋應降價20元；故選B【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，掌握“平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤”是解題的關鍵．60．（2023秋·福建泉州·九年級校考開學考試）《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規定，駕駛人和搭載人應當規范佩戴安全頭盔，同時，針對不規范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標準．某商店以每件元的價格購進一批安全頭盔，經市場調研發現，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價（元/件）滿足一次函數，物價部門規定每件頭盔的利潤不能超過進價的．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價應為元．【答案】【分析】根據題意，列方程表示每周利潤，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得，即，解得，，，∵每件頭盔的利潤不能超過進價的，∴每件頭盔的售價不能超過元，所以舍去，所以售價應為100元，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的營銷問題，理解題意列出方程是解題的關鍵．61．（2023秋·全國·九年級專題練習）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為．【答案】【分析】由售價及銷售間的關系，可得出降價后每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，利用超市每天售出此種粽子的利潤每袋的銷售利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得：每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，∴超市每天售出此種粽子的利潤．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．62．（2023春·安徽池州·八年級統考期中）威寧火腿是貴州的傳統特產，距今已有600多年的歷史，早就聞名海內外．某火腿經銷商統計了某款威寧火腿4月份到6月份的銷售量，該款火腿4月份銷售量為，6月份銷售量為，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該款火腿銷售量的月增長率；(2)若該款火腿的進價為120元，經在市場中測算，當售價為160元時，月銷售量為，若在此基礎上售價每上漲0.5元，則月銷售量將減少，為使月銷售利潤達到9800元，則該款火腿的實際售價應定為多少？（利潤=售價-進價）【答案】(1)(2)應定價為每千克190元【分析】（1）設該款火腿銷售量的月增長率為x，根據該款火腿4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）該款火腿的實際售價為y元，根據月銷售利潤=每千克火腿的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結論．【詳解】（1）設該款火腿銷售量的月增長率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該款火腿銷售量的月增長率為．（2）設該款火腿的實際售價為y元，依題意，得：，整理，得：，解得：，答：該款火腿的實際售價應定為190元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．63．（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）端午節前夕，某超市從廠