高中數學精編資源3/3《直線及其方程》教學設計課時4直線的兩點式方程與一般式方程必備知識學科能力學科素養高考考向直線的傾斜角與斜率學習理解能力觀察記憶概括理解說明論證應用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創新能力綜合問題解決猜想探究發現創新數學抽象直觀想象數學運算邏輯推理【考查內容】1.掌握確定直線位置的幾何要素2.掌握直線方程的五種形式3.通過直線的方程研究兩條直線的位置關系,交點坐標和點到直線的距離【考查題型】填空題,選擇題,解答題直線的方程數學抽象直觀想象數學運算邏輯推理數學建模兩條直線的位置關系數學抽象直觀想象數學運算邏輯推理數學建模點到直線的距離數學抽象直觀想象數學運算邏輯推理數學建模一、本節內容分析“直線及其方程”作為高中平面解析幾何的第二節,既是對初中所學“一次函數”的延展,又是后續學習“圓及其方程”“曲線與方程”的基石,它起著承上啟下的作用.在用有序實數對表示點之后,直線作為平面中最簡單的圖形,它的坐標化既是自然延續,又是圓與圓錐曲線坐標化的前提,這體現了教材編排的系統性,以及由易到難、由淺入深的編排特點.而坐標法作為連接“形”與“數”的橋梁,作為平面解析幾何的基本思想,集中地體現了數形結合的數學思想,這種思想貫穿于平面解析幾何始末.本節包含的核心知識和體現的核心素養如下:核心知識1.直線的傾斜角與斜率2.直線的方程3.兩條直線的位置關系4.點到直線的距離直觀想象數學抽象邏輯推理數學運算數學建模核心素養二、學情整體分析從認知水平和能力方面,高中二年級學生具有較強的觀察、分析、概括能力,有著較豐富的學習經驗及活動經驗,形成了自發地參與意識和合作意識,可以很好地理解直線的傾斜角、斜率、直線的方程、直線的平行與垂直、兩條直線的交點及距離公式等知識.學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設計】1.直線的傾斜角與斜率2.直線的方向向量與法向量3.直線的點斜式方程與斜截式方程4.直線的兩點式方程與一般式方程5.兩條直線的相交、平行與重合6.兩條直線的垂直7.點到直線的距離公式【教學目標設計】1.通過“回顧與梳理”理解傾斜角等基本概念,掌握距離公式等主要知識.2.通過知識的再現與延展理解知識間的內在聯系,形成系統的知識結構.3.體會數形結合思想,初步形成主動在“數”與“形”之間進行轉化的意識.【教學策略設計】高中數學的課堂,一定要讓學生成為課堂教學的主體,首先讓學生參與到知識的生成過程中來,引導學生進行深入的剖析,積累活動經驗和方法,教師可以適當提問,創設情境,設計問題鏈,層層遞進,引發學生有方向的思考,體會其中所包含的數學思想,讓獲取知識的途徑變成雙向性、主動性,增強學生對研學的積極性、嚴謹性.通過揭示數學知識的本質,讓學生養成求實、說理、批判、質疑等理性思維的習慣和鍥而不舍追求真理的精神.數學好玩,數學好學,數學有用.要讓學生體會發現和創造的快樂,就要讓學生真切看到通過自己思考和發現所形成的知識,激發學生探究新知識的興趣,充分發揮學生思維的多樣性和創造性.【教學方法建議】情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________【教學重點難點】重點1.在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.4.根據確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函數的關系.5.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.6.探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.難點體會數形結合及分類討論思想在概念形成及公式推導中的作用.【教學材料準備】1.常規材料:直尺、多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學活動設計教學導入師:我們在初中學過“兩點確定一條直線”,現在請同學們求出經過與兩點的直線的方程.生:為了得到直線的方程,我們首先可以通過兩點得到的斜率,再根據直線的點斜式方程得到直線的方程為,即.【先學后教】先讓學生根據點斜式方程求出直線的方程,就容易想到求直線的方程的思路,在教學中放手讓學生自己推導,然后根據學生情況再加以引導和糾正.教學精講探究1直線的兩點式方程師:如果已知兩點,求經過這兩點的直線的方程,已知兩點確定的直線有哪幾種可能?生:可能是垂直于軸的直線,可能是垂直于軸的直線,還可能是與軸都不垂直的直線.師:每種情況下,直線方程怎么表示?生:當時,直線與軸垂直,所以直線方程為;當時,直線與軸垂直,直線方程為.對于與軸都不垂直的直線:當時,這時直線不與軸垂直,總存在斜率,因此可以化歸成點斜式來做,.師:能不能把式子化得更簡潔一些呢?生:當時,我們可以把方程改寫成.師:對于這種方程叫做直線的兩點式方程.顯然.【推測解釋能力】通過分析解決兩,點確定的直線有幾種可能的問題.鼓勵學生大膽嘗試、獨立思考,使學生親身體驗思維過程中的缺漏或成功,體驗知識的形成過程,有利于學生良好學習習慣的形成,為學生的終身學習打下堅實的基礎,提升推測解釋能力【要點知識】直線的兩點式方程當且時,過兩點的直線的方程可以寫成的形式這種形式的直線方程由直線上的兩點確定,稱為直線的兩點式方程.師:下面我們換種方式來推導:注意到是直線的一個方向向量,設為平面直角坐標系中一點,則在直線上的充要條件是與共線,即,這就是直線的方程.當且時,上式可以變形為,同樣可以得到直線的兩點式方程.【深度學習】利用直線的方向向量推導兩點式方程,避免了對斜率的討論,加深學生對兩點式方程的理解師:直線的兩點式方程可以表示平面內每一條直線嗎?生:只能用來描述和軸、軸都有交點的直線,垂直于軸、垂直于軸的直線都沒有兩點式方程.師:上面直線兩點式的建立過程中,我們是把除到左邊來的,能不能把除過來,寫成的形式?為什么?生:不能;和表示的不是同一圖形.【意義學習】直線的兩點式方程有它自身的優點,它體現了“兩點確定一條直線”這一樸素的數學理念,兩點式方程在結構上具有對稱美,也為學生以后學習直線的參數方程埋下伏筆.師:明確只要已知兩點滿足兩點式條件,就不需求斜率,直接由兩點式寫出方程.下面請看例題.【典型例題】利用兩點式求直線的方程、截距例1已知直線經過點,求直線的方程,并求直線的截距.【教師引導,學生獨立做題】生解:因為兩點的橫坐標不相等,而且縱坐標也不相等,所以直線的兩點式方程為,整理得,因此直線的截距為.【簡單問題解決能力】通過例1的分析和解決,學生加深對利用兩點式求解直線方程方法的理解,提升簡單問題解決能力,發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養.探究2直線的截距式方程師:如果已知直線分別在軸和軸上的截距,如何求直線的方程.【多媒體展示】探究直線的截距式方程例2已知直線在軸、軸上的截距分別為,且,求直線的方程.【教師引導學生從兩點式思考求解】生解:根據已知可得直線通過點,而且,因此直線的兩點式方程為,這一方程可以整理為.師:我們稱上面的式子為直線的截距式方程.【要點知識】直線的截距式方程通常稱為直線的截距式方程,需要特別注意的是,這只有直線在軸與在軸上的截距都存在且不為0時才成立.【以學定教】通過例2使學生學會用兩點式求直線方程,理解截距式源于兩點式,是兩點式的特殊情形師:截距式方程能描述平面內所有直線嗎?哪些直線描述不了?生:不能;截距不存在或截距為0.截距式方程不能表示垂直于兩坐標軸的直線和過原點的直線.師:兩點式能不能描述過原點的直線?生:可以.兩點式方程只是沒法表示平行于坐標軸的直線,其他的所有直線都可以用兩點式方程來表示.【推測解釋能力】直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距,通過推理了解直線截距式方程的形式特點及適用范圍.提升推測解釋能力.師:下面我們看一道直線方程的綜合應用例題.【典型例題】求直線的方程例3求過點,且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程.師解:當直線在兩坐標軸上截距都為0,即直線過原點時,∵直線過點,∴直線的斜率為,此時直線方程為;當直線在兩坐標軸上的截距相等且不為零時,設截距為,則直線的截距式方程為,即,∵直線過點,∴,解得,∴直線方程為.綜上,所求直線方程為和.師:在兩坐標軸上截距相等也包括直線在兩坐標軸上的截距為0.在求解類似的直線方程時要注意分類討論.【簡單問題解決能力】通過例3進行實踐探索,加深對截距式方程應用的理解和適用條件的區分,提升簡單問題解決能力.探究3直線的一般式方程師:寫出前面學過的直線方程的各種不同形式,并指出其局限性.【教師列出表格,師生互動共同填表】生:名稱幾何條件方程局限性點斜式點和斜率斜率存在的直線斜截式斜率軸上的截距斜率存在的直線兩點式不垂直于軸、軸的直線截距式在軸上的截距軸上的截距不垂直于軸、軸的直線,不過原點的直線過點與軸垂直的直線可表示成,過點與軸垂直的直線可表示成.【以學論教】通過復習回顧四種條件下的直線方程,體會不同直線方程的適用條件,及時提出問題,讓學生體會學習直線方程一般式的必要性師:上述四種形式的直線方程有何共同特征?能否整理成統一形式?生:這些方程都是關于的二元一次方程.師:上述四種直線方程的表示形式都有其局限性,是否存在一種更為完美的代數形式可以表示平面中的所有直線?我們猜測:直線和二元一次方程有著一定的關系.師:寫出下列直線方程.(1)過點,斜率為2的直線的方程;(2)過點,斜率為0的直線方程;(3)過點,斜率不存在的直線的方程.生:(1);(2;(3).師:以上方程是否都可以用表示?任意一條直線是否都可以用二元一次方程不同時為0來表示?生:(1);(2);(3).師:在平面直角坐標系中,每一條直線有斜率存在和不存在兩種情況,直線方程可分別寫為和兩種形式,它們又都可以變形為不同時為的形式,即直線不同時為0.由此我們可以得出什么結論?【觀察記憶能力】通過舊知識引出新問題,設置問題較細是為了讓學生接受新知識較為順暢,同時讓學生對新知識產生的必要性有一個全面的了解,同時提升觀察記憶能力.生:在平面直角坐標系中,任意一條直線都可以用二元一次方程不同時為0來表示.師:對于任意一個二元一次方程不同時為0能否表示一條直線?生:(1)當時,方程可變形為,它表示過點,斜率為的直線.(2)當時,因為不同時為0,所以,則有,即,這表示的是與軸垂直的直線.師:由此可知,每個二元一次方程不同時為0都表示一條直線.【說明論證能力】掌握一般式方程與其他形式之間的關系,熟知一般式方程中的系數與斜率、截距之間的公式化關系.在解決問題的過程中提升學生的說明論證能力.【要點知識】任意一個二元一次方程不同時為01.平面上任意一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示.2.關于的二元一次方程都表示一條直線.師:下面是直線的一般式方程.【要點知識】直線的一般式方程我們把關于的二元一次方程(不同時為零)稱為直線的一般式方程,簡稱一般式.師:直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比,有什么優點?生:直線的一般式方程能夠表示平面直角坐標系中的所有直線,而點斜式、斜截式、兩點式方程,都不能表示與軸垂直的直線.【深度學習】使學生對本節課有一個系統的認識,同時達到新舊知識的辨別和聯系.師:我們學習了直線方程的一般式,它與另外四種形式關系怎樣?是否可以互相轉化?下面我們先研究一下這道例題.【典型例題】求直線方程的不同形式例4已知直線經過點,斜率為,求直線的點斜式方程、一般式方程和截距式方程.【學生解答,教師點評】生解:經過點,斜率為的直線的點斜式方程為,化為一般式為,截距式方程為.【觀察記憶能力】例4涉及直線方程不同形式間的轉化,在討論直線的有關問題時,常常把直線的不同形式的方程化成同一形式的方程,借助方程之間的互相轉化,可以更方便、直觀地研究直線的性質提升學生觀察記憶能力師:下面看例5題.【典型例題】通過直線一般式求直線的斜率和截距例5已知直線的一般式方程為,求直線的斜率以及在軸和軸上的截距.生解:直線的一般式方程可以化為,所以直線的斜率為,在軸上的截距為2.在方程中令可得,因此在軸上的截距為?3.師:思考如下問題.(1)特殊形式如何化一般式?(2)一般式如何化特殊形式?(3)特殊形式如何互化?【簡單問題解決能力】通過例5進一步加深學生對直線方程的掌握和理解,從而提高學生簡單問題解決的能力.【學生思考后回答,教師補充總結】師:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定可以化為其他形式(如特殊位置的直線),由于取點的任意性,一般式化成點斜式、兩點式的形式各異,故一般式轉化成斜截式和截距式較常見;特殊形式的互化常以一般式為橋梁,但點斜式、兩點式、截距式均能直接化成一般式.各種形式互化的實質是方程的同解變形.【歸納總結】直線方程五種形式的互化【以學論教】理解直線的一般式方程的特點,能進行直線方程間轉化,發展學生的邏輯推理核心素養.師:對于直線的一般式方程通常有如下的說明.【要點知識】直線的一般式方程的結構特征1.一般按含項、含項、常數項順序排列.2.項的系數為正.3.的系數和常數項一般不出現分數.4.無特別說明時,最好將所求直線方程的結果寫成一般式.【概括理解能力】強化對直線一般式方程的認知和理解,使學生明確應用范圍和方程特征,提升概括理解能力.師:直線方程的一般形式也可以從中直接得到.而且,如果直線的一般式方程為,設為直線上一個固定的點,為直線上任意一點,則第二式減去第一式可得.若記,則上式說明與向量的內積為0,因此,即為直線的一個法向量.【猜想探究能力】推導直線的法向量和直線的一般式方程系數之間的關系,進一步引導學生得出直線的方向向量,及時回扣前面所學的知識點,幫助學生把知識建構成一個有機的整體.鍛煉猜想探究能力師:下面通過一道例題進行說明.【典型例題】例6已知直線經過點,而且是直線的一個法向量,求直線的一般式方程.生解:(方法一)設為平面直角坐標系中任意一點,則在直線上的充要條件是與垂直.又因為,所以,整理可得一般式方程為.(方法二)因為是直線的一個法向量,所以可以設的方程為,代入點,可求得,因此所求方程為.【簡單問題解決能力】例6的方法一是求軌跡方程的通法,方法二利用了法向量和直線一般式方程系數之間的關系,兩種方法展示的思路,都是以后求曲線方程的常用思路.提升簡單問題解決能力.師:通過本節課你學到了哪些知識和方法?【課堂小結】1.兩點式方程與截距式方程.2.直線方程的四種形式及其特點.3.一般式方程及其特點.4.思想方法:數形結合、分類討論的數學思想方法.【設計意圖】通過小組合作自我探究,以及例題和練習題的講解,深入理解直線方程幾種形式之間的內在聯系,加深對直線與方程關系的理解和把握教學評價直線方程的教學是在學生學習了直線的傾斜角和斜率公式之后推導的,本節課積極創造機會讓不同程度的學生發表自己的觀點,調動學生學習的積極性,提高知識的可接受程度,進而完成知識的轉化,有效地提高了教學實效.本節課從具體實例出發,通過感知、抽象其共同本質屬性,以學生為本,以相關問題為學習的起點,以問題為核心規劃學習內容,讓學生根據問題尋求解決方案,教師在此過程中是問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者,目的是提高學生學習的主動性,提高學生在教學過程中的參與程度,激發其求知欲,活躍其思維.【設計意圖】引導學生整理知識,使其體會知識的生成、發展、完善的過程,通過具體知識點的演練,讓學生在運用課程教學過程中所學到的學科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計算等)解決問題,從而達到數學抽象、直觀想象、數學運算、邏輯推理的核心素養目標要求1.已知直線傾斜角的范圍,則此直線的斜率的取值范圍是()A.B.C.D.點撥:根據直線的傾斜角和斜率的關系:,聯系三角函