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文檔簡介
4.2二項式系數的性質第五章2021內容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課前篇自主預習激趣誘思知識點撥一、楊輝三角(a+b)n展開式的二項式系數在當n取正整數時可以表示成如下形式:上面的二項式系數表稱為楊輝三角.名師點析從上面的表示形式可以直觀地看出:在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等;在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.微練習如圖是一個類似楊輝三角的遞推式,則第n行的首尾兩個數均為
.
答案
2n-1解析
由于每行第1個數1,3,5,7,9…成等差數列,由等差數列的知識可知,an=2n-1.二、二項式系數的性質
3.各二項式系數的和
名師點析求二項式系數的最大最小值時,一定要搞清楚n是奇數還是偶數.微練習1在(a+b)n的展開式中,第2項與第6項的二項式系數相等,則n=(
)
答案
A微練習2在(1+x)2n+1的展開式中,二項式系數最大的項是(
)A.第n項和第n+1項B.第n-1項和第n項C.第n+1項和第n+2項D.第n+2項和第n+3項答案
C課堂篇探究學習探究一與楊輝三角有關的問題例1如圖,在“楊輝三角”中,斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒形數列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,記其前n項和為Sn,求S19的值.反思感悟
解決與楊輝三角有關的問題的一般思路
變式訓練1如圖,在由二項式系數所構成的楊輝三角形中,第
行中從左至右第14個與第15個數的比為2∶3.
答案
34探究二求展開式中各項系數的和例2若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.(4)∵(3x-1)7展開式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8
256-(-8
128)+(-1)=16
383.反思感悟
“賦值法”是解決二項展開式中項的系數常用的方法,根據題目要求,靈活賦給字母不同值.一般地,要使展開式中項的關系變為系數的關系,令x=0可得常數項,令x=1可得所有項系數之和,令x=-1可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差.變式訓練2在二項式(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數之和;(2)各項系數之和;(3)所有奇數項系數之和.探究三二項式系數性質的綜合應用(1)系數的絕對值最大的項是第幾項?(2)求二項式系數最大的項;(3)求系數最大的項;(4)求系數最小的項.又0≤k≤8且k∈N,∴k=5或k=6.故系數的絕對值最大的項是第6項和第7項.(2)二項式系數最大的項為中間項,即第5項,反思感悟
(1)求二項式系數最大的項:(3)把系數最大項問題通過分析運算得到正確結論,體現了數學運算的核心素養.變式訓練3寫出(x-y)11的展開式中:(1)二項式系數最大的項;(2)項的系數絕對值最大的項;(3)項的系數最大的項和系數最小的項;(4)二項式系數的和;(5)各項系數的和.(3)由(2)知中間兩項系數絕對值相等,又∵第6項系數為負,第7項系數為正,素養形成易錯辨析——混淆系數最大和二項式系數最大而致錯典例在(1+2x)n的展開式中,最后三項的二項式系數和為56,則展開式中系數最大的項為第
項.
解得n=10或n=-11(舍去),所以展開式共11項,從而系數最大的項為第6項.錯因分析沒有將展開式中“系數最大”與“二項式系數最大”區別好.答案
8反思感悟
1.注意展開式中“系數最大”“二項式系數最大”以及“最大項”的區別.2.求展開式中各項的系數的最大值,在系數均為正的前提下,根據通項公式當堂檢測1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展開式中各項系數之和為(
)n+1n-1n+1-n+1-2答案
D解析
令x=1,則2+22+…+2n=2n+1-2.A.第6項 B.第3項C.第3項和第6項 D.第5項和第7項答案
D3.已知x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12·(x+2)12,則log2(a1+a3+…+a11)=
.
答案
7解析
令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.①令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,②①與②兩式左、右兩邊分別相減,得28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.4.(x2-x-2)3的展開式中x3的系數為
.
答案
11解析
(x2-x-2)3=[(x+1)(x-2)]3=(x+1)3(x-2)3,5.已知
展開式中二項式系數之和比(2x+xlgx)2n展開式中奇數項的二項式系數之和少112
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