第一篇數(shù)理邏輯一、數(shù)理邏輯（符號(hào)邏輯，現(xiàn)代邏輯）1.定義:用數(shù)學(xué)方法來研究人類推理過程的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.邏輯：客觀事物在主觀意識(shí)中的反映；邏輯學(xué)：研究思維形式及思維規(guī)律的科學(xué)，它分為辯證邏輯和形式邏輯；判斷：利用概念對(duì)事物是否具有某種屬性進(jìn)行肯定或否定的回答；推理：由一組前提推出某重結(jié)論。2．特點(diǎn)符號(hào)化，形式化即把邏輯所涉及的“概念、判斷、推理”用符號(hào)來表示，依據(jù)推理規(guī)則和公里體系，并基于符號(hào)串形式的演算來描述推理的一般規(guī)律。3．?dāng)?shù)理邏輯的研究方法將自然語言符號(hào)化形成數(shù)學(xué)語言；（符號(hào)語言、形式語言）根據(jù)公理系統(tǒng)及推理規(guī)則進(jìn)行邏輯推理。（數(shù)學(xué)演算）4.數(shù)理邏輯的應(yīng)用及其發(fā)展人工智能（語音識(shí)別、機(jī)器人）形式語義學(xué)第一章命題邏輯

§1.1、命題和聯(lián)結(jié)詞一、命題proposition1、命題引入為避免自然語言的不確定性及二義性，引入目標(biāo)語言和一些符號(hào)公式，用以表達(dá)語言中的判斷和推理，從而形成數(shù)理邏輯的形式符號(hào)體系，符號(hào)化的對(duì)象是目標(biāo)語言；目標(biāo)語言：即我們的研究對(duì)象，也就是要研究無二義性的語言的范圍，即具有明確是、非概念的陳述句，因?yàn)樗潜磉_(dá)判斷的。2、命題定義能判斷其含義為真或假的陳述句，具有唯一的真值稱為命題；一個(gè)命題具有唯一一個(gè)“值”，稱為真值，他僅有真或假（不可兼）兩種，記為true和false，簡(jiǎn)記為T/1和F/0。例1：亞洲比歐洲大。我正在說謊。（悖論，自相矛盾）生命是有限的，思想是無限的。起立！（非陳述句）你們聽到了嗎？（非陳述句）我在講課。別的星球上有生物。毛澤東姥姥去世那天，天空正在下雪。X=23、命題表示法命題標(biāo)識(shí)符：用大寫英文字母表示。P：我是中國(guó)人。Q：離散數(shù)學(xué)不好學(xué)。4、命題常量和變?cè)}常量：表示確定命題的命題標(biāo)識(shí)符；命題變?cè)褐槐硎救我饷}位置標(biāo)志的命題標(biāo)識(shí)符；因命題變?cè)n表示任意命題，無所謂真假值，所以它不是命題；指派：當(dāng)命題變?cè)狿用一特定命題取代時(shí)，P才能確定真值，稱為對(duì)P~；5、原子命題與復(fù)合命題原子命題atomic：不能再分解為更簡(jiǎn)單陳述語句的命題；復(fù)合命題compound：由聯(lián)結(jié)詞、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)和原子命題復(fù)合構(gòu)成的命題；二、常用邏輯聯(lián)結(jié)詞（5個(gè)）聯(lián)接詞的作用將原子命題聯(lián)接成復(fù)合命題；相當(dāng)于是對(duì)陳述句中的關(guān)聯(lián)詞的符號(hào)化處理。1、否定(┐)定義：設(shè)P為一命題，P的否定是一個(gè)新的命題，記為；若P為T，則為F，若P為F，則為T。與自然語言的關(guān)系：相當(dāng)于不、否、非等；┐P真值表如表1.1所示。注意：否定的意義僅是修改命題的內(nèi)容，沒有構(gòu)成復(fù)合命題，它是一元運(yùn)算。p┐p0110

表1.1┐P真值表2、合取（∧）定義：兩命題P、Q的合取是一復(fù)合命題，記為。當(dāng)且僅當(dāng)P、Q同時(shí)為T時(shí)，為T，其他情況為F。P∧Q真值表如表1.2所示。與自然語言的關(guān)系：相當(dāng)于與、并且、和等，常表示遞進(jìn)、并列、轉(zhuǎn)折這樣的關(guān)系，但新的復(fù)合命題不一定有意義，這是數(shù)理邏輯命題與自然語言的區(qū)別。

P

QP∧

Q000010100111

表1.2P∧Q真值表3.析取（∨）定義：兩命題P、Q的析取是一復(fù)合命題，記為。當(dāng)且僅當(dāng)P、Q同時(shí)為F時(shí)，為F，其他情況為T；與自然語言的關(guān)系：相當(dāng)于可兼或，但新的復(fù)合命題不一定有意義；p∨

q真值表如表1.4所示。p

qp∨

q000011101111表1.3P∨Q真值表注：自然語言中的“或”是具有二義性的。自然語言中“或”的含義可以是“可兼或”，也可以是“排斥或”，還可以是“大約數(shù)量”，但數(shù)理邏輯中的“或”即析取指的是“可兼或”例3：畢業(yè)后，去西藏或去新疆。（排斥或）張三是黨員或者是班長(zhǎng)。（可兼或）我做了20道或30道數(shù)學(xué)題。（大約數(shù)量）

4.蘊(yùn)涵（→）

設(shè)P、Q是任意兩個(gè)命題，復(fù)合命題“如果P，則Q”稱為P與Q的蘊(yùn)涵式，記作：P→Q。P稱為蘊(yùn)涵式的前件，Q稱為蘊(yùn)涵式的后件，→稱為蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞。→經(jīng)常表示自然語言的假設(shè)關(guān)系。P→Q的真值表如表1.4所示。P

QP→

Q001011100111表1.4P→Q真值表例4：如果我們?cè)僖淮魏鲆暼毡救撕兔绹?guó)人的野心，那么我們將不在有未來。如果摒棄了民族平等，那么我們將遭遇戰(zhàn)爭(zhēng)。張三（男）對(duì)李四說：我如果是女孩那么我肯定嫁給你。（永真）注：自然語言中“如果…那么…”這樣的語句，當(dāng)前件為假時(shí)，不管結(jié)論真假，整個(gè)語句的意義往往無法判斷，但條件命題中，當(dāng)前件為假時(shí)，條件命題為真，稱為“善意的推定”。p

q001010100111表1.5與自然語言的關(guān)系：用于表達(dá)一種充分必要條件，相當(dāng)于“當(dāng)且僅當(dāng)”；例5：萬物生長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)有陽(yáng)光普照。P:萬物生長(zhǎng);Q:有陽(yáng)光普照;三、語言的翻譯1、符號(hào)語言翻譯成自然語言例6：P：我愛祖國(guó)，Q：我愛人民，P∧Q：我不僅愛祖國(guó)并且也愛人民。例7：P：小王是班長(zhǎng)，Q：小王是三好學(xué)生，P∨Q：小王是班長(zhǎng)或三好學(xué)生。例8：P：好好學(xué)習(xí)，Q：考試及格，

P→Q:如果好好學(xué)習(xí)的話，那么考試肯定能及格。2、自然語言翻譯成符號(hào)語言注意：先找出原子命題，再確定聯(lián)結(jié)詞例9：“我愛祖國(guó)也愛人民”可以先分解為兩個(gè)原子命題；P：我愛祖國(guó)；Q：我愛人民。P∧Q例10：我們不能既唱歌又跳舞；P：我們唱歌；Q：我們跳舞。┐(P∧Q)例11：不是你沒寫信就是信在途中丟失了；P：你沒寫信；Q：信在途中丟失了。符號(hào)化見表1.6。注：在進(jìn)行自然語言符號(hào)化時(shí)，能準(zhǔn)確表達(dá)語意的聯(lián)結(jié)詞有時(shí)不易確定，可以利用真值表來幫助確定。PQ命題真值110101011000表1.6§1.2命題公式及其賦值

一、命題公式（合式公式）1、定義：命題公式（合式公式），即由命題變?cè)兔}聯(lián)結(jié)詞按照特定的構(gòu)造規(guī)則形成的串，稱為命題公式，其中的命題變?cè)Q為命題公式的分量；單個(gè)命題變?cè)旧硎且粋€(gè)合式公式；如果A和B是合式公式，則A∧B,A∨B,A→B,都是合式公式；當(dāng)且僅當(dāng)能夠有限次地應(yīng)用（1）,（2）,（3）所得到的包含命題變?cè)⒙?lián)結(jié)詞和括號(hào)的符號(hào)串稱為合式公式。注意1、命題公式是沒有真假值的，僅當(dāng)在一個(gè)公式中命題變?cè)么_定的命題代入時(shí)，才得到一個(gè)命題。這個(gè)命題的真值，依賴于變換變?cè)哪切┟}的真值；2、為了簡(jiǎn)化合式公式的書寫，作了兩點(diǎn)約定，其一是最外層括號(hào)可以省略，其二是合式公式中的聯(lián)結(jié)詞運(yùn)算符優(yōu)先次序?yàn)椋憨础摹拧?、命題公式正確書寫：括號(hào)配對(duì)，相鄰的兩個(gè)命題變?cè)g有二元聯(lián)結(jié)詞，二元聯(lián)結(jié)詞之間應(yīng)該有命題變?cè)?/p>

二、真值表truthtable1、命題公式的賦值（解釋）：設(shè)命題公式A(p1,p2…pn),其中p1,p2…pn為A中的命題變?cè)op1,p2…pn各指派一個(gè)真值，稱對(duì)A的一次賦值（解釋）。如果指定的某組賦值使A的真值為1，則稱這組值為A的成真賦值，否則稱這組值為A的成假賦值。2、定義：在命題公式A(p1,p2…pn)中，對(duì)于分量（命題變?cè)┲概烧嬷档母鞣N可能組合，就確定了這個(gè)命題公式的各種真值情況，將其匯列成表，就是命題公式的真值表；命題公式中變?cè)嬷抵概山M合數(shù)目決定于變?cè)至康膫€(gè)數(shù)，一般說，n個(gè)命題變?cè)M成的命題公式共有2n種真值組合情況。例1P→Q┐P∨QPQP→Q┐P∨Q1111100001110011例2(┐P∨Q)∧(┐Q∨P)

(P∧Q)∨(┐P∨┐Q)PQ11111100000100000111(┐P∨Q)∧(┐Q∨P)

(P∧Q)∨(┐P∨┐Q)例3：(P∧Q)→P;┐(

P→(P∨Q))4、應(yīng)用(1)等價(jià)式的證明，兩個(gè)命題公式等價(jià)iff對(duì)于分量的任一組真值指派對(duì)應(yīng)的命題公式真值都相等。(2)命題公式類型的判斷1）重言式（永真式）：在命題公式A(p1,p2…pn)中，對(duì)命題公式A的所有命題變?cè)x值（2n次賦值），命題公式的真值都為1，則稱公式為重言式。2）矛盾式（永假式）：在命題公式A(p1,p2…pn)中，對(duì)命題公式A的所有變?cè)x值（2n次賦值），命題公式的真值都為0，則稱公式為矛盾式。3）如果A(p1,p2…pn)不是矛盾式，則A稱可滿足式。⑶主范式的求取，推理證明等。§1.3、基本等值式（等價(jià)式）一、等價(jià)式logicaleguivalence1、WffA和WffB等價(jià)定義給定兩個(gè)命題公式A和B，設(shè)p1,p2…pn為所有出現(xiàn)在A、B中的原子變?cè)艚o定p1,p2…pn任一組真值指派，A、B的真值都相同，則稱A、B等價(jià)或邏輯相等記作。2、基本等價(jià)式(P15)3、等價(jià)式的證明1）真值表法若要證明命題公式A、B等價(jià)，先分別列出A、B的真值表，若A、B命題公式對(duì)應(yīng)的真值表中的所有真值指派真值均相同，即可證明。PQP→Q┐P∨Q11111000011100012）推導(dǎo)法利用基本等值式，可以對(duì)命題公式中的某些子公式用與其等價(jià)的命題公式進(jìn)行等價(jià)代換，進(jìn)而對(duì)原公式進(jìn)行變換，最終使兩命題公式變換為相同的命題公式。例1

P→(Q→R)Q→(P→R)左式P→（┐Q∨R）┐P∨(┐Q∨R)(┐P∨┐Q)∨R

(┐Q∨┐P)∨R

┐Q∨(┐P∨R)Q→(P→R)

例2P→(Q→R)(P∧Q)→R左式P→（┐Q∨R）┐P∨(┐Q∨R)(┐P∨┐Q)∨R┐(P∧Q)∨R

(P∧Q)→

R練習(xí)(P∨Q)→R(P→

R)∧(Q→

R)（PQ）（P∧Q)∨(┐P∧┐Q)4、命題公式化簡(jiǎn)

例3((P→Q)(┐Q→┐P))∧R((P→Q)(P→Q))∧RT∧RR練習(xí)(P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)(p→(P∨Q))∨(P→R)§1.4析取范式與合取范式

一、析取范式1、析取范式iffA(A1∨

A2∨

…∨An），其中A1，

A2，

…，An都是由A中出現(xiàn)的命題變?cè)豢杉婊蚱浞穸ㄓ伞穆?lián)結(jié)詞組成的合取式。2、析取范式求法(P31)1）將命題公式中聯(lián)結(jié)詞轉(zhuǎn)換成┐∧∨。2）利用德摩根律把┐直接移入到每個(gè)命題變?cè)啊?）利用分配律或結(jié)合律將公式轉(zhuǎn)換成析取范式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)。例1

(┐P∧R)∨┐(P→Q)(P∧

┐R)∨┐(┐P∨

Q)(P∧

┐R)∨

(P∧

┐Q)例2┐(P→R)∧(P∨┐Q)┐(┐P∨

R)∧(P∨┐Q)

(P∧┐R)∧(P∨┐Q)((P∧┐R)∧P)∨((P∧┐R)∧┐Q)

(P∧┐R)∨(P∧┐Q∧┐R)

二、合取范式1、合取范式iffA(A1∧

A2∧

…∧An），其中A1，

A2，

…，An都是由A中出現(xiàn)的命題變?cè)豢杉婊蚱浞穸ㄓ伞怕?lián)結(jié)詞組成析取式。2、合取范式求法(P31)1）將命題公式中聯(lián)結(jié)詞轉(zhuǎn)換成┐∧∨。2）利用德摩根律把┐直接移入每個(gè)命題變?cè)啊?）利用分配律或結(jié)合律將公式轉(zhuǎn)換成合取范式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)。注：合取范式求法和析取范式求法相同。例3

(┐P→R)∨

(P∧┐Q)

(P∨R)∨(P∧┐Q)

(P∨R)∨(P∧┐Q)((P∨R)∨P)∧((P∨R)∨┐Q)

(P∨R

∨P)∧(P∨R∨┐Q)

(P∨R)∧(P∨┐Q∨R)

三、主析取范式1、相關(guān)概念1）小項(xiàng)（布爾合取）設(shè)命題公式為A(p1,p2…pn)，n個(gè)命題變?cè)豢杉婊蚱浞穸ǎ⒂珊先÷?lián)結(jié)詞組成的符號(hào)串，即：每個(gè)命題變?cè)荒芘c其否定同時(shí)出現(xiàn)，但必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。2）小項(xiàng)（布爾合取）與合取式區(qū)別。3）小項(xiàng)性質(zhì)：所有小項(xiàng)的吸取為永真，任意不同兩個(gè)小項(xiàng)的合取為永假。4）編碼表示:m111P∧Q∧Rm101P∧┐Q∧R2主析取范式定義iffA(A1∨

A2∨

…∨An），其中A1,

A2,

…,An是小項(xiàng)（布爾合取）。求法

●真值表例4┐(P→R)∧(P∨┐Q)PQR(P→R)┐(P→R)(P∨┐Q)┐(P→R)∧(P∨┐Q)11110101100111101101010001110111000010100000110100001010主析取范式(P∧Q∧

┐R)∨(P∧

┐Q∧

┐R)2)推導(dǎo)法：先求析取范式，然后利用等價(jià)補(bǔ)項(xiàng)法求主析取范式，最后化簡(jiǎn)。如上例┐(P→R)∧(P∨┐Q)┐(┐P∨

R)∧(P∨┐Q)

(P∧┐R)∧(P∨┐Q)((P∧┐R)∧P)∨((P∧┐R)∧┐Q)

(P∧┐R)∨(P∧┐R∧┐Q）((P∧┐R)∧(Q∨┐Q))∨(P∧┐Q∧┐R）((P∧┐R)∧Q)∨((P∧┐R)∧┐Q))∨(P∧┐Q∧┐R）

(P∧┐R∧Q)∨(P∧┐R∧┐Q)∨(P∧┐Q∧┐R）

(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧┐R)m110∨m100

∑4,6

四、主合取范式1、相關(guān)概念1）大項(xiàng)（布爾析取）：設(shè)A(p1，p2，…pn)，n個(gè)命題變?cè)推浞穸ú豢杉妫伞穆?lián)結(jié)詞組成的符號(hào)串，即：每個(gè)命題變?cè)荒芘c其否定同時(shí)出現(xiàn)，但必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。2）大項(xiàng)（布爾析取）與析取式區(qū)別。大項(xiàng)性質(zhì)：所有大項(xiàng)的合取是永假，任意不同兩個(gè)大項(xiàng)析取是永真。4）編碼表示：M000=P∨Q∨R,M010=P∨┐Q∨R。2、主合取范式1）定義

iffA(A1∧

A2∧

…∧An）,其中A1,

A2…,An是大項(xiàng)（布爾析取）。2）求法●真值表

上例┐(P→R)∧(P∨┐Q)PQR(P→R)┐(P→R)(P∨┐Q)┐(P→R)∧(P∨┐Q)11110101100111101101010001110111000010100000110100001010主合取范式：

(┐P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(P∧

┐Q∧

┐R)∧(P∧

┐Q∧R)∧(P∧Q∧┐R)∧(P∧Q∧R)●推導(dǎo)法上例┐(P→R)∧(P∨┐Q)(P∧┐R)∧(P

∨┐Q)P∧┐R∧(P∨┐Q)(P∨(Q∧

┐Q))∧(┐R∨(P∧

┐P))∧((P∨┐Q)∨

(R∧

┐R))

(P∨Q)∧(P∨

┐Q)∧(P∨┐R)∧(┐P∨┐R)∧(P∨┐Q

∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨┐R)∧(┐P∨

┐Q∨┐R)∧

(┐P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)M000∧M001∧M111∧M101∧M010∧M011

∏0,1,2,3,5,7五、編碼轉(zhuǎn)換法設(shè)命題公式為：A(p1，p2，…pn)，其主合取范式編碼集合為H1,主析取范式編碼集合為H2,則H1∪H2＝{0,1,…2n-1}=H,H1∩H2＝φ

,H1H,H2H,H1和H2為集合H的一個(gè)劃分。練習(xí)(P∧Q)∨┐(P→R)

(P→Q)→(P∧┐R)

(P→(Q∧R)∧(┐P→(┐Q∧┐R)§1.5、命題推理一、命題推理定義定義A→B為重言式iff,其中A是前提，B是A的有效結(jié)論，或B可由A邏輯的推出。對(duì)重言式定義推廣，令，則稱B是一組前提的有效結(jié)論，或B可由邏輯的推出，記作：。二、命題演算的公理化方法命題演算的公理化方法就是建立一個(gè)抽象更高概括性更強(qiáng)的形式化推理系統(tǒng)。1)字符表：命題變?cè)⒊Ｓ玫?個(gè)聯(lián)結(jié)詞、括號(hào)和，。2)命題公式3)利用(1)基本等價(jià)式和蘊(yùn)含式(P47):附加規(guī)則、化簡(jiǎn)規(guī)則、假言推理、假言三段論、合取規(guī)則;(2)推理規(guī)則：P規(guī)則，T規(guī)則。§1.6、自然語言推理系統(tǒng)一、命題推理的方法 1、真值表法:A→B為重言式iff,寫出A→B的真值表，根據(jù)→的特殊性，有兩種判斷情況：A=1則B=1;B=0則A=0。例1：P→R,P∧QR∧QPQRP∧QP→RR∧Q1111111101001010101000000110110100100010100000102、證明法1)直接證明：利用PT規(guī)則和已知的等值式蘊(yùn)含式，直接由前提推出結(jié)論。例2P→R,P∧QR∧Q(1)P∧QP(2)PT(1)(2)(3)P→RP(4)RT(2)(3)(4)(5)QT(1)(5)(6)

R∧QT(4)(5)(6)練習(xí)

P→QS∨RS→┐QR→┐Q┐P2)反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定當(dāng)做一個(gè)附加前提，最后推出矛盾。

例3P→Q,S∨R,S→┐Q,R→┐Q,┐P

(1)P

P(附加)(2)P→QP

(3)QT(1)(2)(3)(4)S→┐QP(5)Q→┐ST(4)(5)(6)┐ST

(3)(5)(6)(7)S∨RP(8)┐S→RT(7)(8)(9)RT(6)(8)(9)(10)R→┐QP(11)┐Q

T

(9)(10)(11)(12)Q∧┐QT

(3)(11)(12)練習(xí)P∨QP→RQ→S

┐S→R3)CP規(guī)則：僅限于結(jié)論中含有（可以轉(zhuǎn)換成）條件聯(lián)結(jié)詞，條件的前項(xiàng)當(dāng)作一個(gè)附加前提題，最后推出條件的后項(xiàng)。例4P∨Q,P→R,Q→S,┐S→R(1)┐SP(附加前提)(2)Q→S

P(3)┐S→┐QT(2)(3)(4)┐QT(1)(3)(4)(5)P∨QP(6)┐Q→PT(5)(6)(7)PT(4)(6)(7)(8)P→RP(9)RT(7)(8)(9)練習(xí)A→(B→C),┐D∨A,BD→C用CP規(guī)則和直接證明方法P

→(Q

∨R)，┐S→┐Q,P∧┐SR用直接證明和反正法應(yīng)用應(yīng)用1一家航空公司，為了保證安全，用計(jì)算機(jī)復(fù)核飛行計(jì)劃。每臺(tái)計(jì)算機(jī)能給出飛行計(jì)劃正確或有誤得回答。由于計(jì)算機(jī)也可能發(fā)生故障，因此采用三臺(tái)計(jì)算機(jī)同時(shí)復(fù)核。由所給答案，再根據(jù)“少數(shù)服從多數(shù)”的原則作出判斷，試將結(jié)果用命題公式表示。解設(shè)C1,C2和C3分別表示三臺(tái)計(jì)算機(jī)的答案。S表示判斷結(jié)果，根據(jù)題意寫出真值表。C1C2C3S11111101101110000111010000000000

S

(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧┐C3)∨(C1∧┐C2∧C3)∨(┐C1∧C2

∧C3)應(yīng)用2如果我上街了，我一定去新華書店。我沒上街，所以我沒去新華書店。推理是否正確。應(yīng)用3一個(gè)公安人員審查一件盜竊案，根據(jù)如下查得的事實(shí)判斷真正的作案人。張三或李四盜竊了筆記本電腦；若張三做案，則作案時(shí)間不會(huì)是午夜之前；若是李四證詞是真的，則午夜時(shí)屋里有燈光；若李四證詞是假，則作案時(shí)間發(fā)生在午夜之前；午夜時(shí)午里燈滅了。結(jié)論李四第二章謂詞邏輯

§2.1、謂詞與客體一謂詞引入命題邏輯不足：解決不了牛頓三段論問題。例所有人都會(huì)死的，牛頓是人，所以牛頓會(huì)死的。P:人都要死的，Q:牛頓是人，R:牛頓會(huì)死的。P∧QR命題推理分析：無法揭示命題內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和屬性；無法表達(dá)命題之間的邏輯關(guān)系和特征。因此需要功能更強(qiáng)的邏輯語言。二、謂詞與客體1、謂詞邏輯：由命題定義（反映判斷的陳述句）將命題分解成主語和謂語兩部分。2、客體（主語）1）客體變?cè)河眯懽帜竫,y等表示。2)客體常元：用小寫字母a,b等表示。3）客體域：客體變?cè)娜≈捣秶?、謂詞(謂語)用P（）表示。1)一元謂詞：P(x)描述客體的性質(zhì)。例：張三是大學(xué)生。P(a)，a=張三2)多元謂詞：P(x,y)描述客體之間的關(guān)系。張三和李四是同學(xué)。P(a,b)，a=張三，b=李四4、命題函數(shù)：簡(jiǎn)單命題函數(shù)和復(fù)合命題函數(shù)。命題函數(shù)不是命題，只有客體變?cè)√囟ㄖ禃r(shí)才能是命題。三、量詞1、全稱量詞（）1）（）表示客體域內(nèi)所有的客體。（）P(x)2）意義：3）特性謂詞當(dāng)客體域用謂詞表示時(shí)則稱特性謂詞，在全稱量詞里特性謂詞以條件前項(xiàng)引入。例1：所有計(jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生都是大學(xué)生。M(x)：計(jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生，P(x)：x是大學(xué)生。()(M(x)→P(x))設(shè)客體域?yàn)橛?jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生，則翻譯為：()P(x)例2：所有人都會(huì)死的。M(x)：x是人，P(x)：x會(huì)死的。()(M(x)→P(x))設(shè)客體域是人，x會(huì)死的。（）P(x)：

2、存在量詞()1)()表示客體域內(nèi)部分客體。()P(x)2)3)特性謂詞以引入。例3：有些計(jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生喜歡唱歌。M(x)：計(jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生，P(x)：x喜歡唱歌。

設(shè)客體域?yàn)橛?jì)算機(jī)學(xué)院的學(xué)生。()P(x)例4：有些人不怕死。M(x)：x是人，P(x)：x不怕死。設(shè)客體域?yàn)槿耍瑒t翻譯為：()P(x)

3、量詞的作用域(轄域)1）指導(dǎo)變?cè)?作用變?cè)毫吭~后面緊跟的變?cè)?）約束變?cè)c自由變?cè)?）約束變?cè)拿?guī)則對(duì)于約束變?cè)梢該Q名，其更改的變?cè)Q范圍是量詞中的指導(dǎo)變?cè)霸摿吭~作用域中所出現(xiàn)的該變?cè)诠降钠溆嗖糠植蛔儭Q名時(shí)不能引起新的重名。4）自由變?cè)胍?guī)則對(duì)于謂詞公式中的自由變?cè)梢宰龃耄霑r(shí)需對(duì)公式中出現(xiàn)該自由變?cè)拿恳惶庍M(jìn)行。用以代入的變?cè)c原公式中所有變?cè)拿Q不能相同。例5

2.2、謂詞公式與翻譯一、謂詞翻譯1、公式翻譯成自然語言2、自然語言符號(hào)化1)確定謂詞（一元，二元）；2）選擇量詞，注意量詞順序不能隨意顛倒；3）若客體域以特性謂詞形式給出，注意特性謂詞引入方式；4）由于謂詞刻畫程度不一樣，翻譯結(jié)果不唯一。例1：所有人都會(huì)犯錯(cuò)誤。M(x)：x是人，P(x)：x犯錯(cuò)誤例2：并不是所有人都會(huì)犯錯(cuò)誤。M(x)：x是人，P(x)：x犯錯(cuò)誤。例3：有些人會(huì)犯錯(cuò)誤。M(x)：x是人，P(x)：x犯錯(cuò)誤。例4：沒有人會(huì)犯錯(cuò)誤。M(x)：x是人，P(x)：x犯錯(cuò)誤。例5：有些人不犯錯(cuò)誤。M(x)：x是人，P(x)：x犯錯(cuò)誤。例6：所有人都不會(huì)犯錯(cuò)誤。總結(jié)：例4和例6不僅語義等價(jià)而且公式也等價(jià)。例2和例5不僅語義等價(jià)而且公式也等價(jià)。例7：有些女孩比所有男孩都聰明。M(x)：x是女孩，P(x)：x是男孩，R(x，y):x比y聰明。

例8：所有學(xué)生都喜歡某些明星。M(x)：x是學(xué)生，P(x)：x是明星，R(x，y):x喜歡y。例9：存在唯一一個(gè)自然數(shù)x,滿足x+5=7N(x):x是自然數(shù),P(x):x+5=7,G(x,y):x=y設(shè)客體域?yàn)镹練習(xí)自然語言符號(hào)化所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，某些有理數(shù)是整數(shù)，因此某些實(shí)數(shù)是整數(shù)。任何人如果喜歡步行，他就不喜歡乘汽車，每一個(gè)人或者喜歡乘汽車或者喜歡騎自行車。有的人不愛騎自行車，因而有的人不愛步行。每個(gè)大學(xué)生不是文科生就是理工科學(xué)生，有的大學(xué)生是優(yōu)等生，小張不是理工科學(xué)生，因而如果小張是大學(xué)生，他就是文科學(xué)生。有的兔子比所有烏龜跑得快。并不是所有的兔子都比烏龜跑得快。§2.3謂詞公式與解釋一、謂詞的合式公式（合式公式）⑴原子公式（n元謂詞公式）是合式公式；⑵若A是謂詞公式，則┐A也是合式公式；⑶若A、B是謂詞公式，則A∧B,A∨B,A→B,AB也是合式公式；⑷若A是謂詞公式，則A,A也是合式公式;(5)只有經(jīng)過有限次地應(yīng)用規(guī)則(1)、(2)、(3)和(4)所得到的公式是合式公式。以后簡(jiǎn)稱謂詞公式。二、謂詞公式解釋1、基本概念封閉公式謂詞公式中不含自由變?cè)?jiǎn)稱閉式。對(duì)謂詞公式變項(xiàng)用確定謂詞代替（等值代換）即對(duì)謂詞公式解釋。謂詞公式類型：永真式（重言式），永假式（矛盾式），可滿足式2、謂詞公式解釋非空個(gè)體域D；D中一部分特定元素(用來解釋個(gè)體常項(xiàng))；D上一些特定函數(shù)(用來解釋出現(xiàn)的函數(shù)變項(xiàng))；D上一些特定謂詞(用來解釋謂詞變項(xiàng))。例1D={2,3};a=2;f(2)=3,f(3)=2;F(2)=0,F(3)=1G(2,3)=G(3,2)=1,G(2,2)=G(3,3)=0(1)(F(x)∨G(x,a))(F(3)∨G(3,2))∧(F(2)∨G(2,2))(1∨1)∧(0∨0)1∧00(2)(F(f(x))∧G(x,f(x)))(F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧