山西省晉中市祁縣二中2025屆高二上數學期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數，滿足，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.82．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數有（）A.1 B.2C.3 D.43．如下圖，邊長為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為14．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.05．在正方體中中，，若點P在側面（不含邊界）內運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續播放5個廣告，其中3個不同的商業廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種7．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.8．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.149．已知數列是公差為等差數列，，則（）A.1 B.3C.6 D.910．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.11．已知隨機變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.7612．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個同時滿足下列條件①②的圓C的一般方程______①圓心在第一象限；②圓C與圓相交的弦的方程為14．等軸（實軸長與虛軸長相等）雙曲線的離心率_______15．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____16．命題“若，則”的逆否命題為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求的極值；（2）設函數，，，求證：.18．（12分）有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產生危害．現從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數據統計如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數據的眾數，并估計這批魚該項數據的80%分位數；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有8個完全相同的小孔聯通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率19．（12分）已知數列是公差不為0的等差數列，數列是公比為2的等比數列，是，的等比中項，，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；22．（10分）已知點，.（1）求以為直徑的圓的方程；（2）若直線被圓截得的弦長為，求值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】作出不等式組的可行域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合的思想求解即可.【詳解】畫出約束條件的平面區域，如下圖所示：目標函數可以化為，函數可以看成由函數平移得到，當直線經過點時，直線的截距最小，則，故選：2、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉化為求圓與圓的公切線條數，判斷兩圓的位置關系，從而得公切線條數.【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數即為圓與圓的公切線條數，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數轉化為圓與圓的公切線條數，從而根據圓與圓的位置關系判斷出公切線條數.3、D【解析】建立空間直角坐標系，進而根據空間向量的坐標運算判斷A,B,C；對D，算出平面MON的法向量，進而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則.對A，，則，則A正確；對B，，則，則B正確；對C，，則C正確；對D，設平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選：D.4、C【解析】根據題意，求得平面的一個法向量，結合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.5、A【解析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側面（不含邊界）內運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A6、C【解析】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，再將另一奧運廣告插入3個商業廣告之間，最后對三個商業廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，有種，另一奧運廣告插入3個商業廣告之間，有種；再考慮3個商業廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.7、C【解析】設出雙曲線方程，根據題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.8、A【解析】由等差數列的性質可知，再代入等差數列的前項和公式求解.【詳解】數列{an}是等差數列，，那么，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列的性質和前項和，屬于基礎題型.9、D【解析】結合等差數列的通項公式求得.【詳解】設公差，.故選：D10、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數值求三角函數值，考查根據三角函數的恒等變換求值，基礎題.11、A【解析】根據給定條件利用正態分布的對稱性計算作答.【詳解】因隨機變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A12、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】設所求圓為，由圓心在第一象限可判斷出，只需取特殊值，即可得到答案.【詳解】可設所求圓為，即只需，解得：，不妨取，則圓的方程為：.故答案為：（答案不唯一）14、【解析】由題意可知，，由，化簡可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.15、【解析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再根據點斜式可求出結果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.16、若，則【解析】否定原命題條件和結論，并將條件與結論互換，即可寫出逆否命題.【詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），無極大值（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，判斷函數的單調性，進而確定極值點，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構造函數，利用導數判斷其單調性，求其最值，進而證明結論.【小問1詳解】當時，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無極大值.；【小問2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.18、（1）眾數為0.82，8％分位數約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據題中表格數據即可求得答案；（2）①兩條魚有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據互斥事件的概率結合相互獨立事件的概率計算求得答案；②先求出這兩條魚由同一個小孔進入B水池的概率，然后根據對立事件的概率計算方法，求得答案.【小問1詳解】由題意知，數據的眾數為0.82，估計這批魚該項數據的80％分位數約為【小問2詳解】①記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為②記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，…依次類推，而兩魚的游動獨立，∴，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，則C與對立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即19、（1）（2）【解析】（1）根據是，的等比中項，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：因為是，的等比中項，且，，所以，解得，，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.20、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.21、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點F，利用等體積法求點A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點F，因為，所以分別為的中點.記點到平面PCF為d，直線AB與平面PCE所成角為，則.易知，，，，因為平面ABCD，所以，所以因為，所以由得：即，得所以22.22、(1).(2)或【解析】（