新教材高中數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊第八章成對數據的統計分析知識點8.1成對數據的統計相關性8.1.1變量的相關關系1．相關關系兩個變量間的關系有函數關系，相關關系和不相關關系兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．2．正相關、負相關從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這個兩個變量負相關．3．線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線性相關．一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．8.1.2樣本相關系數1．相關系數r的計算注意：相關系數是研究變量之間線性相關程度的量變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).2．相關系數r的性質(1)當r>0時，稱成對樣本數據正相關；當r<0時，成對樣本數據負相關；當r＝0時，成對樣本數據間沒有線性相關關系．(2)樣本相關系數r的取值范圍為[－1，1]．當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．3．樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系r＝eq\f(1,n)x′·y′＝eq\f(1,n)|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq\r(n)，θ為向量x′和向量y′的夾角)．8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型1．一元線性回歸模型我們稱eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E（e）＝0，D（e）＝σ2))為Y關于x的一元線性回歸模型，其中Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與bx＋a之間的隨機誤差．2．線性回歸方程與最小二乘法回歸直線方程過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，是回歸直線方程最常用的一個特征我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關于x的線性回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線．這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計(leastsquaresestimate)，其中8.2.2非線性回歸模型及其應用1．殘差的概念對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差．殘差是隨機誤差的估計結果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析．2．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內，帶狀區域越窄，則說明擬合效果越好．(2)殘差平方和法殘差平方和eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．(3)利用R2刻畫回歸效果決定系數R2是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預報變量的能力．R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．8.3列聯表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯表1．分類變量這里所說的變量和值不一定是具體的數值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為分類變量，分類變量的取值可以用實數表示．2．2×2列聯表在實踐中，由于保存原始數據的成本較高，人們經常按研究問題的需要，將數據分類統計，并做成表格加以保存，我們將這類數據統計表稱為2×2列聯表，2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d3.等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征，依據頻率穩定于概率的原理，我們可以推斷結果．8.3.2獨立性檢驗1.臨界值χ2統計量也可以用來作相關性的度量．χ2越小說明變量之間越獨立，χ2越大說明變量之間越相關χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標準．2．獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規則是：當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2＜xα時，我們沒有充分證據推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence)．下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.