2025屆石家莊第二中學高一數學第一學期期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則（）A. B.C. D.2．已知奇函數fx在R上是增函數，若a=-flog215，b=fA.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<b3．下列全稱量詞命題與存在量詞命題中：①設A、B為兩個集合，若，則對任意，都有；②設A、B為兩個集合，若，則存在，使得；③是無理數，是有理數；④是無理數，是無理數.其中真命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.44．已知正數、滿足，則的最小值為A. B.C. D.5．已知圓：與圓：，則兩圓的公切線條數為A.1條 B.2條C.3條 D.4條6．土地沙漠化的治理，對中國乃至世界來說都是一個難題，我國創造了治沙成功案例——毛烏素沙漠.某沙漠經過一段時間的治理，已有1000公頃植被，假設每年植被面積以20%的增長率呈指數增長，按這種規律發展下去，則植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為（）（參考數據：取）A.6 B.7C.8 D.97．某公司位員工的月工資（單位：元）為，，…，，其均值和方差分別為和，若從下月起每位員工的月工資增加元，則這位員工下月工資的均值和方差分別為A.， B.，C， D.，8．復利是一種計算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.某同學有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為2.25%；若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶，年利率可達4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息()元.（參考數據：）A.176 B.100C.77 D.889．關于的不等式的解集為，且，則（）A.3 B.C.2 D.10．已知直線是函數圖象的一條對稱軸，的最小正周期不小于，則的一個單調遞增區間為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一組數據，，…，的平均數，方差，則另外一組數據，，…，的平均數為______，方差為______12．16/17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數.后來天才數學家歐拉發現了對數與指數的關系，即.現在已知，，則__________.13．若函數（其中）在區間上不單調，則的取值范圍為__________.14．若則函數的最小值為________15．若是冪函數且在單調遞增，則實數_______.16．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，則球O的半徑為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道總長度(即的周長)表示為的函數，并求出定義域；（2）問當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.（提示：.）18．設函數（）在處取最大值（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分別是角的對邊．已知，，，求的值19．如圖所示，設矩形的周長為cm，把沿折疊，折過去后交于點，設cm，cm（1）建立變量與之間的函數關系式，并寫出函數的定義域;（2）求的最大面積以及此時的的值20．已知角，且.（1）求的值；（2）求的值.21．2020年12月26日，我國首座跨海公鐵兩用橋、世界最長跨海峽公鐵兩用大橋——平潭海峽公鐵兩用大橋全面通車.這是中國第一座真正意義上的公鐵兩用跨海大橋，是連接福州城區和平潭綜合實驗區的快速通道，遠期規劃可延長到，對促進兩岸經貿合作和文化交流等具有重要意義.在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數.當橋上的車流密度達到輛/千米時，將造成堵塞，此時車流速度為；當車流密度不超過輛/千米時，車流速度為千米/時，研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數.（1）當時，求函數的表達式；（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時）可以達到最大？并求出最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據任意角三角函數的概念可得出，然后利用誘導公式求解.【詳解】因為角以為始邊，且終邊與單位圓交于點，所以，則.故選：A.【點睛】當以為始邊，已知角終邊上一點的坐標為時，則，.2、C【解析】由題意：a=f-且：log2據此：log2結合函數的單調性有：flog即a>b>c,c<b<a.本題選擇C選項.【考點】指數、對數、函數的單調性【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數式、對數式的比較大小要結合指數函數、對數函數，借助指數函數和對數函數的圖象，利用函數的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數的奇偶性和單調性數形結合不僅能比較大小，還可以解不等式.3、B【解析】對于命題①②，利用全稱量詞命題與存在量詞命題的定義結合集合包含與不包含的意義直接判斷；對于命題③④，舉特例說明判斷作答.【詳解】對于①，因集合A、B滿足，則由集合包含關系的定義知，對任意，都有，①是真命題；對于②，因集合A、B滿足，則由集合不包含關系的定義知，存在，使得，②是真命題；對于③，顯然是無理數，也是無理數，則③是假命題；對于④，顯然是無理數，卻是有理數，則④是假命題.所以①②是真命題.故選：B4、B【解析】由得，再將代數式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值【詳解】，所以，，則，所以，，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，對代數式進行合理配湊，是解決本題的關鍵，屬于中等題5、D【解析】求出兩圓的圓心與半徑，利用圓心距判斷兩圓外離，公切線有4條【詳解】圓C1：x2+y2﹣2x＝0化為標準形式是（x﹣1）2+y2＝1，圓心是C1（1，0），半徑是r1＝1；圓C2：x2+y2﹣4y+3＝0化為標準形式是x2+（y﹣2）2＝1，圓心是C2（0，2），半徑是r2＝1；則|C1C2|r1+r2，∴兩圓外離，公切線有4條故選D【點睛】本題考查了兩圓的一般方程與位置關系應用問題，是基礎題6、C【解析】根據題意列出不等式，利用對數換底公式，計算出結果.【詳解】經過年后，植被面積為公頃，由，得.因為，所以，又因為，故植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為8.故選：C7、D【解析】均值為;方差為,故選D.考點：數據樣本的均值與方差.8、B【解析】由題意，某同學有壓歲錢1000元，分別計算存入銀行和放入微信零錢通或者支付寶的余額寶所得利息，即可得到答案【詳解】由題意，某同學有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為2.25%，若在銀行存放5年，可得金額為元，即利息為元，若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶時，利率可達4.01%，若存放5年，可得金額為元，即利息為元，所以將這1000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息元，故選B【點睛】本題主要考查了等比數列的實際應用問題，其中解答中認真審題，準確理解題意，合理利用等比數列的通項公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題9、A【解析】根據一元二次不等式與解集之間的關系可得、，結合計算即可.【詳解】由不等式的解集為，得，不等式對應的一元二次方程為，方程的解為，由韋達定理，得，，因為，所以，即，整理，得.故選：A10、B【解析】由周期得出的范圍，再由對稱軸方程求得值，然后由正弦函數性質確定單調性【詳解】根據題意，，所以，，，所以，，故，所以.令，，得，.令，得的一個單調遞增區間為.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.11②.54【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】解：由題意，數據，，…，的平均數為，方差為故答案：11，54.12、2【解析】先根據要求將指數式轉為對數式，作乘積運算時注意使用換底公式去計算.【詳解】∵，∴，∴故答案為2【點睛】底數不同的兩個對數式進行運算時，有時可以利用換底公式：將其轉化為同底數的對數式進行運算.13、【解析】化簡f(x)，結合正弦函數單調性即可求ω取值范圍.【詳解】，x∈，①ω＞0時，ωx∈，f(x)在不單調，則，則；②ω＜0時，ωx∈，f(x)在不單調，則，則；綜上，ω的取值范圍是.故答案為：.14、1【解析】結合圖象可得答案.【詳解】如圖，函數在同一坐標系中，且，所以在時有最小值，即.故答案為：1.15、2【解析】由冪函數可得，解得或2，檢驗函數單調性求解即可.【詳解】為冪函數，所以，解得或2.當時，，在不單調遞增，舍去；當時，，在單調遞增成立.故答案為.【點睛】本題主要考查了冪函數的定義及單調性，屬于基礎題.16、【解析】根據直角三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊，結合球的對稱性、勾股定理、直三棱柱的幾何性質進行求解即可.【詳解】因為，所以三角形是以為斜邊的直角三角形，因此三角形的外接圓的直徑為，圓心為.因為，所以，在直三棱柱中，側面是矩形且它的中心即為球心O，球的直徑是的長，則，所以球的半徑為故答案為：【點睛】本題考查了直三棱柱外接球問題，考查了直觀想象能力和數學運算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），定義域為.（2）當或時所鋪設的管道最短，為米.【解析】（1）如圖，因為都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可變形為，令后，則有，其中，故取的最大值米.【詳解】（1）.由于，，所以，故.管道的總長度，定義域為.(2).設，則，由于，所以.因為在內單調遞減，于是當時，取的最大值米.（此時或）.答：當或時所鋪設的管道最短，為米.【點睛】在三角變換中，注意之間有關系，如，，三者中知道其中一個，必定可以求出另外兩個.18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意得，根據在處取最大值得，即，故．（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，故，所以，由正弦定理得，所以，故可得試題解析：（Ⅰ），因為在時取最大值，所以，故又，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知因為，所以，又為的內角，所以由正弦定理得，由題意得為銳角，所以.所以19、（1），定義域（2），的最大面積為【解析】（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，（2）設，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡后利用基本不等式可求得結果【小問1詳解】因為，，矩形ABCD的周長為20cm，所以，因為，所以，解得．所以，定義域為【小問2詳解】因為ABCD是矩形，所以有，因為是沿折起所得，所以有，，因此有，，所以≌，因此，設．而ABCD是矩形，所以，因此在直角三角形ADP中，有，所以，化簡得，當且僅當時取等號，即時，的最大面積為20、（1）（2）【解析】（1）依題意可得，再根據同角三角函數的基本關系將弦化切，即可得到的方程，解得