2025屆北京市師范大學附屬中學高一上數學期末監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一個球的內接正方體的表面積為54，則球的表面積為（）A. B.C. D.2．所有與角的終邊相同的角可以表示為，其中角（）A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角C.一定是正角 D.可以是任意角3．為了得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有的點A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度4．下列函數中，表示同一個函數的是A.與B.與C.與D.與5．若，，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．已知函數，則的（）A.最小正周期，最大值為 B.最小正周期為，最大值為C.最小正周期為，最大值為 D.最小正周期為，最大值為7．已知函數，則，則A. B.C.2 D.8．已知，大小關系正確的是A. B.C. D.9．已知為鈍角，且，則（）A. B.C. D.10．若，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.a，b大小不確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知指數函數的解析式為，則函數的零點為_________12．在中,邊上的中垂線分別交于點若,則_______13．設，，則______14．若函數滿足：對任意實數，有且，當時，，則時，________15．設函數的圖象為，則下列結論中正確的是__________（寫出所有正確結論的編號）.①圖象關于直線對稱；②圖象關于點對稱；③函數在區間內是增函數；④把函數的圖象上點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變）可以得到圖象.16．已知函數的圖象如圖所示，則函數的解析式為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.若函數的圖象關于點對稱，且當時，.（1）求的值；（2）設函數.(i)證明函數的圖象關于點對稱；(ii)若對任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.18．已知函數（）用五點法作出在一個周期上的簡圖．（按答題卡上所給位置作答）（）求在時的值域19．已知函數當時，判斷在上的單調性并用定義證明；若對任意，不等式恒成立，求實數m的取值范圍20．函數的部分圖象如圖：（1）求解析式；（2）求函數的單調增區間.21．設函數且是奇函數求常數k值；若，試判斷函數的單調性，并加以證明；若已知，且函數在區間上的最小值為，求實數m的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】球的內接正方體的對角線就是球的直徑，正方體的棱長為a，球的半徑為r，則，求出正方體棱長，再求球半徑即可【詳解】解：設正方體的棱長為a，球的半徑為r，則，所以又因所以所以故選：A【點睛】考查球內接正方體棱長和球半徑的關系以及球表面積的求法，基礎題.2、D【解析】由終邊相同的角的表示的結論的適用范圍可得正確選項.【詳解】因為結論與角的終邊相同的角可以表示為適用于任意角，所以D正確，故選：D.3、B【解析】根據誘導公式將函數變為正弦函數，再減去得到.【詳解】函數又故將函數圖像上的點向右平移個單位得到故答案為：B.【點睛】本題考查的是三角函數的平移問題，首先保證三角函數同名，不是同名通過誘導公式化為同名，在平移中符合左加右減的原則，在寫解析式時保證要將x的系數提出來，針對x本身進行加減和伸縮.4、D【解析】對于A，B，C三個選項中函數定義域不同，只有D中定義域和對應法則完全相同的函數，才是同一函數，即可得到所求結論【詳解】對于A，的定義域為R，的定義域為，定義域不同，故不為同一函數；對于B，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故不為同一函數；對于C，定義域為，的定義域為R，定義域不同，故不為同一函數；對于D，與定義域和對應法則完全相同，故選D.【點睛】本題考查同一函數的判斷，注意運用只有定義域和對應法則完全相同的函數，才是同一函數，考查判斷和運算能力，屬于基礎題5、D【解析】根據同角三角函數關系式,化簡,結合三角函數在各象限的符號,即可判斷的終邊所在的象限.【詳解】根據同角三角函數關系式而所以故的終邊在第四象限故選:D【點睛】本題考查了根據三角函數符號判斷角所在的象限,屬于基礎題.6、B【解析】利用輔助角公式化簡得到，求出最小正周期和最大值.【詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選：B7、B【解析】因為，所以，故選B.8、C【解析】利用“”分段法比較出三者的大小關系.【詳解】由于，，，即，故選C.【點睛】本小題主要考查指數式、對數式比較大小，屬于基礎題.9、C【解析】先求出，再利用和角的余弦公式計算求解.【詳解】∵為鈍角，且，∴，∴故選：C【點睛】本題主要考查同角的平方關系，考查和角的余弦公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、B【解析】根據作差比較法可得解.【詳解】解：因為，所以故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】解方程可得【詳解】由得，故答案為：112、4【解析】設，則，，又，即，故答案為.13、【解析】由，根據兩角差的正切公式可解得【詳解】，故答案為【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎知識的考查14、【解析】由，可知.所以函數是周期為4的周期函數.，時，..對任意實數，有，可知函數關于點(1,0)中心對稱,所以，又.所以.綜上可知，時，.故答案為.點睛：抽象函數的周期性：（1）若，則函數周期為T；（2）若，則函數周期為（3）若，則函數的周期為；（4）若，則函數的周期為.15、①③【解析】圖象關于直線對稱；所以①對；圖象關于點對稱；所以②錯；，所以函數在區間內是增函數；所以③對；因為把函數的圖象上點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變）可以得到，所以④錯；填①③.16、【解析】根據最大值得，再由圖像得周期，從而得，根據時，取得最大值，利用整體法代入列式求解，再結合的取值范圍可得.【詳解】根據圖像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因為，所以，故函數的解析式為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）(i)證明見解析；(ii).【解析】(1)根據題意∵為奇函數，∴，令x＝1即可求出；(2)(i)驗證為奇函數即可；(ii))求出在區間上的值域為A，記在區間上的值域為，則.由此問題轉化為討論f(x)的值域B，分，，三種情況討論即可.【小問1詳解】∵為奇函數，∴，得，則令，得.【小問2詳解】(i)，∵為奇函數，∴為奇函數，∴函數的圖象關于點對稱.(ii)在區間上單調遞增，∴在區間上的值域為，記在區間上的值域為，由對，總，使得成立知，①當時，上單調遞增，由對稱性知，在上單調遞增，∴在上單調遞增，只需即可，得，∴滿足題意；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，由對稱性知，在上單調遞增，在上單調遞減，∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，∴或，當時，，，∴滿足題意；③當時，在上單調遞減，由對稱性知，在上單調遞減，∴在上單調遞減，只需即可，得，∴滿足題意.綜上所述，的取值范圍為.18、(1)見解析；（2）值域為.【解析】分析：(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數化為，利用，，，，描點作圖即可；（）當時，，可得，，從而可得結果.詳解：（），，，，五點作圖法的五點：，，，，（）當時，，∴，此時，，即，，此時，，即，∴在時的值域為點睛：以三角恒等變換為手段，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.19、（1）見解析；（2）【解析】當時，在上單調遞增，利用定義法能進行證明；令，由，得，利用分離參數思想得，恒成立，求出最值即能求出實數的取值范圍【詳解】當時，在上單調遞增證明如下：在上任取，，∵，，∴，∴當時，在上單調遞增∵令，由，得，∵不等式恒成立，即在內恒成立，即，∴，恒成立，又∵當時，，可得∴實數的取值范圍是【點睛】本題考查函數的單調性及證明，考查實數的取值范圍的求法，考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數可轉化為或恒成立，即或即可，利用單調性求出或即得解，是中檔題20、（1）（2）【解析】（1）由函數的最大值和最小值求A；由周期解得.由，解得：.即可求得解析式；（2）直接利用復合函數單調性“同增異減”列不等式，即可求得單增區間.小問1詳解】由函數的最大值為2.最小值-2.可得A=2；由從到為函數的一個周期，可得：，解得：.所以由在減區間上，且，解得：.所以.【小問2詳解】要求函數的單增區間，只需,解得：，所以函數的單調增區間為21、（1）；（2）在上為單調增函數；（3）【解析】（1）根據奇函數的定義，恒成立，可得值，也可用奇函數的必要條件求出值，然后用奇函數定義檢驗；（2）判斷單調性，一般由單調性定義，設，判斷的正負