專題24.5圓（滿分100）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022·重慶忠縣·九年級期中）如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，則∠BOD的度數是（）A．50° B．60° C．80° D．100°2．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點（0，3）B．點（2，3）C．點（5，1）D．點（6，1）3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在⊙О中，點C在弦AB上移動，連接OC,過點C作CD⊥OC交⊙О于點D．若AB=2,則CD的最大值是（

）A．4 B．2 C．2 D．14．（2022·浙江麗水·模擬預測）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（）A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm5．（2022·江蘇·九年級）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC=3,∠ABC的平分線交AC于點D，CD=1，則⊙O的直徑為（

）A．3 B．23 C．1 6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則S1A．5π2 B．3π C．5π D．7．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，等邊△ABC中，AB=3，點D，點E分別是邊BC，CA上的動點，且BD=CE，連接AD、BE交于點F，當點D從點B運動到點C時，則點F的運動路徑的長度為（

）A．33π B．233π 8．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在⊙O中，點C在優弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經過AB的中點D．若⊙O的半徑為5，AB=4，則BC的長是（）A．23 B．32 C．539．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長是（

）A．1277 B．1077 C．10．（2022·江蘇無錫·九年級期中）我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據定義：①等邊三角形一定是奇異三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，則a：b：c＝1：3：2；③如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓ADB的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE＝AD，CB＝CE．則△ACE是奇異三角形；④在③的條件下，當△ACE是直角三角形時，∠AOC＝120°，其中，說法正確的有（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022·全國·九年級課時練習）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為____mm．12．（2022·全國·九年級課時練習）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與13．（2022·山東菏澤·九年級期中）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，PD的延長線與BC的延長線交于點E．已知AB=2，則圖中陰影部分的面積為___________．14．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，已知D是⊙O上一動點，連接AD、CD，若圓的半徑r＝2，則以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積為_____．15．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AD上一點，且AE=2，F為BC邊上的動點，以為EF直徑作⊙O，當⊙O與矩形的邊相切時，BF的長為______．評卷人得分三．解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（6分）（2022·全國·九年級課時練習）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知AB,C是弦AB（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段AC的垂直平分線DE，分別交AB于點D,AC于點E，連接AD,CD；②以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F（F,A兩點不重合），連接DF,BD,BF．（2）直接寫出引理的結論：線段BC,BF的數量關系．17．（6分）（2022·江西上饒·九年級期末）如圖，⊙O的直徑AB的長為2，點C在圓周上，∠CAB=30°．點D是圓上一動點，DE∥AB交CA的延長線于點E，連接CD，交AB于點F．(1)如圖1，當DE與⊙O相切時，求∠CFB的度數；(2)如圖2，當點F是CD的中點時，求△CDE的面積．18．（6分）（2022·全國·九年級專題練習）如圖，AB是半圓O的直徑，點D是半圓O上一點，點C是AD的中點，CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC．（1）求證：GP＝GD；（2）求證：P是線段AQ的中點；（3）連接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半徑和CE的長．19．（6分）（2022·全國·九年級課時練習）對于平面直角坐標系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作dP,Q．已知點A?2,2，B2,2(1)d（點O，AB）＝；(2)⊙O半徑為r，若d⊙O,AB=0，直接寫出(3)⊙O半徑為r，若將點A繞點B逆時針旋轉α°0°<α<180°，得到點A①當α=30°時d⊙O,A'②對于取定的r值，若存在兩個α使d⊙O,A'20．（6分）（2022·四川德陽·九年級階段練習）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AD為直徑，過點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD=∠ECB；（2）若CE是⊙O的切線，∠CAD=30°，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當AB=2時，求AD，AC與CD圍成陰影部分的面積．21．（6分）（2022·全國·九年級專題練習）如圖，以AB為直徑的⊙O上有一動點C，⊙O的切線CD交AB的延長線于點D，過點B作BM∥OC交⊙O于點M，連接AM，OM，BC．(1)求證：AM∥CD(2)若OA=5，填空：①當AM＝時，四邊形OCBM為菱形；②連接MD，過點O作ON⊥MD于點N，若BD=52?5，則ON＝22．（6分）（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點，弦CD與弦EF交于點P，PB平分∠DPF，連DF交AB于點G．(1)求證：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝213，求OG的長．23．（6分）（2022·全國·九年級課時練習）問題提出：（1）如圖1，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為______．問題探究：（2）如圖2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=63，求△ABC問題解決：（3）如圖3，某校學生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬AB=20米，長BC=24米，為了能夠監控到禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發的觀測角∠AMB=45°．請你通過所學的知識進行分析，在墻面CD區域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．24．（7分）（2022·江蘇·蘇州中學九年級階段練習）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側），連接CD，AD．(1)如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數是；(2)如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在AC上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．專題24.5圓（滿分100）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022·重慶忠縣·九年級期中）如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，則∠BOD的度數是（）A．50° B．60° C．80° D．100°【思路點撥】首先圓上取一點A，連接AB，AD，根據圓的內接四邊形的性質，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數，再根據圓周角的性質，即可求得答案．【解題過程】解：在圓上取一點A，連接AB，AD，∵點A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故選D．2．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點（0，3） B．點（2，3）C．點（5，1） D．點（6，1）【思路點撥】根據垂徑定理的性質得出圓心所在位置，再根據切線的性質得出，∠OBD+∠EBF=90°時F點的位置即可。【解題過程】解：∵過格點A，B，C作一圓弧，∴三點組成的圓的圓心為：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°時，BF與圓相切，∴當△BOD≌△FBE時，EF=BD=2，F點的坐標為：（5，1），∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）．故選C．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在⊙О中，點C在弦AB上移動，連接OC,過點C作CD⊥OC交⊙О于點D．若AB=2,則CD的最大值是（

）A．4 B．2 C．2 D．1【思路點撥】連接OD，如圖，利用勾股定理得CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，再求出CD即可．【解題過程】解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=OD當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC最小，此時D.

B兩點重合，∴CD=CB=12AB=1即CD的最大值為1．故答案為：D．4．（2022·浙江麗水·模擬預測）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（）A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【思路點撥】先根據題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論．【解題過程】解：連接AC，AO，∵O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=當C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中,AC=AM故選：C.5．（2022·江蘇·九年級）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC=3,∠ABC的平分線交AC于點D，CD=1，則⊙O的直徑為（

）A．3 B．23 C．1 【思路點撥】過D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質和角平分線的性質得到DE=DC=1，再說明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3，最后根據勾股定理列式求出x，進而求得AB．【解題過程】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分線BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=A設BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2則（x+3）2=32+x2，解得x=3∴AB=3+3=23故填：23．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則S1A．5π2 B．3π C．5π D．【思路點撥】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點，然后利用全等三角形的判定和性質確定△ABC是等腰直角三角形，再根據直角三角形斜邊中線的性質得到S2=14A【解題過程】解：如圖所示，∵正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上，∴圓心O在線段EF,MN的中垂線的交點上，即在Rt△ABC斜邊AB的中點，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴OC=1∴∵O∴S∴S故選：C．7．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，等邊△ABC中，AB=3，點D，點E分別是邊BC，CA上的動點，且BD=CE，連接AD、BE交于點F，當點D從點B運動到點C時，則點F的運動路徑的長度為（

）A．33π B．233π 【思路點撥】如圖，作過A、B、F作⊙O，AFB為點F的軌跡，然后計算出AFB的長度即可．【解題過程】解：如圖：作過A、B、F作⊙O，過O作OG⊥AB∵等邊Δ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵BD=CE∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同側的圓周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB，OA=OB∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°，BG=12AB∴∠OBG=30°設OB=x，則OG=12∴x2?x22=322∴AFB的長度為120°故選B8．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在⊙O中，點C在優弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經過AB的中點D．若⊙O的半徑為5，AB=4，則BC的長是（）A．23 B．32 C．53【思路點撥】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，則AD=BD=12AB=2，于是根據勾股定理可計算出OD=1，再利用折疊的性質可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，則根據圓周角定理得到AC=CD【解題過程】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，∵D為AB的中點，∴OD⊥AB，∴AD=BD=12在Rt△OBD中，OD=52∵將弧BC沿BC折疊后剛好經過AB的中點D，∴弧AC和弧CD所在的圓為等圓，∴AC=∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四邊形ODEF為正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF=52∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=32，故選B．9．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長是（

）A．1277 B．1077 C．【思路點撥】連接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于點G，利用AB2?BG2=AC2?CG2，求出BG=307，進一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=6【解題過程】解：連接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于點G，如圖，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴AB2?BG2∴AG=A∴S△ABC設內切圓的半徑為r，則S△ABC=1∵△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，∴∠ODB=∠OEB=90°，又∵OD=OE，OB=OB，∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，∴BD=BE，同理，CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7，∴BD+BE+CE+CF=14，∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴BD=4，∴OB=B∵BE=BD，OE=OD，∴OB垂直平分DE，∴DH=EH，OB⊥DE，∵1∴HE=OE?BE∴DE=2EH=8故選：D．10．（2022·江蘇無錫·九年級期中）我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據定義：①等邊三角形一定是奇異三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，則a：b：c＝1：3：2；③如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓ADB的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE＝AD，CB＝CE．則△ACE是奇異三角形；④在③的條件下，當△ACE是直角三角形時，∠AOC＝120°，其中，說法正確的有（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【思路點撥】①設等邊三角形的邊長為a，代入檢驗即可；②在RtΔABC中，由勾股定理可得a2+b2=c2，因為RtΔABC是奇異三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b【解題過程】解：設等邊三角形的邊長為a，則a2∴等邊三角形一定是奇異三角形，故①正確；在RtΔABC中，∵c>b>a>0，∴2c2>若△ABC是奇異三角形，一定有2b∴2b∴b2=2a∵c2∴c=3∴a：故②錯誤；在RtΔABC中，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，在RtΔADB中，∵D是半圓ADB的中點，∴AD=∴AD=BD，

∴AB又∵CB=CE，AE=AD，∴AC∴ΔACE是奇異三角形，故③正確；由③可得ΔACE是奇異三角形，∴AC當ΔACE是直角三角形時，由②可得AC：AE：（Ⅰ）當AC：AC：CE=1：∵∠ACB=90∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．（Ⅱ）當AC：AC：CE=3∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度數為60°或120°，故④錯誤；故選：B．評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022·全國·九年級課時練習）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為____mm．【思路點撥】先根據鋼珠的直徑求出其半徑，再構造直角三角形，求出小圓孔的寬口AB的長度的一半，最后乘以2即為所求．【解題過程】解：連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，∵鋼珠的直徑是10mm，∴鋼珠的半徑是5mm．∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=3mm．在Rt△AOD中，∵AD=OA∴AB=2AD=2×4=8mm故答案為812．（2022·全國·九年級課時練習）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與【思路點撥】分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O同一側時，當兩條弦位于圓心O兩側時；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長度，即可得到答案．【解題過程】解：分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O一側時，如圖1所示，過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分別為CD、AB的中點，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=1在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根據勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根據勾股定理得：OE═4cm，則EF=OE?OF=4cm?3cm=1cm；當兩條弦位于圓心O兩側時，如圖2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．故答案為：7或1．13．（2022·山東菏澤·九年級期中）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，PD的延長線與BC的延長線交于點E．已知AB=2，則圖中陰影部分的面積為___________．【思路點撥】連接AC，OD，根據已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，根據切線的性質得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到PE=32【解題過程】解：連接AC，OD，∵四邊形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四邊形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=22，DE=2CD=22，∴AP=PD=AO=2，∴PE=32，∴圖中陰影部分的面積=故答案為：5-π．14．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，已知D是⊙O上一動點，連接AD、CD，若圓的半徑r＝2，則以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積為_____．【思路點撥】連接BO并延長交AC于E，交AC于D，根據垂徑定理得到點D到AC的距離最大，根據直角三角形的性質、三角形的面積公式計算，得到答案．【解題過程】解：連接BO并延長交AC于E，交AC于D，連接AD、CD，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∴AB=∴OE⊥AC，點D為AC的中點，此時點D到AC的距離最大，∴△ADC的面積最大，即以A、B、C、D為頂點的四邊形的面積最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝12由勾股定理得，AB＝BD2?A∴以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積＝12×2×23×2＝43故答案為：43．15．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AD上一點，且AE=2，F為BC邊上的動點，以為EF直徑作⊙O，當⊙O與矩形的邊相切時，BF的長為______．【思路點撥】⊙O與矩形的邊相切，但沒有具體說與哪個邊相切，所以該題有三種情況：第一種情況是圓與邊AD、BC相切，此時BF=AE；第二種情況是圓與邊AB相切，利用中位線定理以及勾股定理可求出BF的長；第三種是圓與邊CD相切，同樣利用中位線定理以及勾股定理求得BF．【解題過程】解：①當圓與邊AD、BC相切時，如圖1所示此時∠AEO=BFO=90°所以四邊形AEFB為矩形即BF=AE=2；②當圓與邊AB相切時，設圓的半徑為R，切點為H，圓與邊AD交于E、N兩點，與邊BC交于M、F兩點，連接EM、HO，如圖2所示此時OE=OF=OH=R，點O、H分別是EF、AB的中點∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，EM∵EM=AB=6，EF=2R∴62解得R=13將R=134代入BF=2∴BF=9③當圓與邊CD相切時，設圓的半徑為R，切點為H，圓與邊AD交E、D兩點，與邊BC交M、F兩點，如圖3所示此時OE=OF=OH=R∵AE=2∴ED=6∵點O、H分別是EF、CD的中點∴2OH=ED+FC即FC=2R-6∵BM=AE=2∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R∵EM=AB=6，EF=2R∴在Rt△EMF中EM即62解得R=15∵BF=BM+MF=2+(12?2R)=14?2R∴BF=13評卷人得分三．解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（2022·全國·九年級課時練習）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知AB,C是弦AB（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段AC的垂直平分線DE，分別交AB于點D,AC于點E，連接AD,CD；②以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F（F,A兩點不重合），連接DF,BD,BF．（2）直接寫出引理的結論：線段BC,BF的數量關系．【思路點撥】（1）①分別A,C為圓心，大于12AC為半徑畫弧，得到兩弧的交點，過兩弧的交點作直線（2）由作圖可得：DA=DC=DF,再證明∠DBC=∠DBF,∠DFB=∠DCB,再證明△DCB≌△DFB,從而可得結論．【解題過程】解：（1）作出線段AC的垂直平分線DE，連接AD,CD；

以D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F，連接DF,BD,BF，如圖示：（2）結論：BC=BF．理由如下：由作圖可得：DE是AC的垂直平分線，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD∴∠DBC=∠DBF,∵四邊形ABFD是圓的內接四邊形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.17．（2022·江西上饒·九年級期末）如圖，⊙O的直徑AB的長為2，點C在圓周上，∠CAB=30°．點D是圓上一動點，DE∥AB交CA的延長線于點E，連接CD，交AB于點F．(1)如圖1，當DE與⊙O相切時，求∠CFB的度數；(2)如圖2，當點F是CD的中點時，求△CDE的面積．【思路點撥】（1）由題意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度數；（2）連接OC，根據垂徑定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性質求出CD、DE即可．【解題過程】解：（1）如圖：連接OD∵DE與⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如圖：連接OC∵AB是直徑，點F是CD的中點∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝12OC＝12，CF＝3OF＝∴CD＝2CF＝3，AF＝OA+OF＝32∵AF∥AD，F點為CD的中點，∴DE⊥CD，AF為△CDE的中位線，∴DE＝2AF＝3，∴S△CED＝12×3×3＝18．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，AB是半圓O的直徑，點D是半圓O上一點，點C是AD的中點，CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC．（1）求證：GP＝GD；（2）求證：P是線段AQ的中點；（3）連接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半徑和CE的長．【思路點撥】（1）結合切線的性質以及已知得出∠GPD=∠GDP，進而得出答案；（2）利用圓周角定理得出PA，PC，PQ的數量關系進而得出答案；（3）直接利用勾股定理結合三角形面積得出答案．【解題過程】（1）證明：連接OD，則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD；（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB于E，∴∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，∴PC=PA，∵∠ACB=90°，∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，∴∠PCQ=∠CQA，∴PC=PQ，∴PA=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點；（3）連接CD，∵弧AC=弧CD，∴CD=AC，∵CD=2，∴AC=2，∵∠ACB=90°，∴AB=22+4故⊙O的半徑為5，∵CE×AB=AC×BC，∴25CE∴CE=4519．（2022·全國·九年級課時練習）對于平面直角坐標系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作dP,Q．已知點A?2,2，B2,2(1)d（點O，AB）＝；(2)⊙O半徑為r，若d⊙O,AB=0，直接寫出(3)⊙O半徑為r，若將點A繞點B逆時針旋轉α°0°<α<180°，得到點A①當α=30°時d⊙O,A'②對于取定的r值，若存在兩個α使d⊙O,A'【思路點撥】(1)理解題意后直接利用垂線段最短即可求解．(2)先理解當⊙O與線段有交點時，d⊙O,AB=0，利用⊙O與線段相切和⊙O經過(3)①先確定A'位于x軸上，再求出OA'的長即可求解；②先確定A'的軌跡，再利用存在兩個α使d(⊙【解題過程】（1）解：∵O點到AB的距離為2，∴d（點O，AB）＝2，故答案為2．（2）當⊙O與線段有交點時，d⊙O,AB∵OA=OB=2∴2≤r≤22（3）①如圖，作A'N⊥AB于點∴∠A由旋轉知BA∵∠ABA∴A'∴A'位于x軸上，BN=∴A'∴A'∵d⊙O,∴⊙O經過A'∴r=23②如圖所示，連接OB，∵對于取定的r值，若存在兩個α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O與以AH為直徑的半圓有兩個交點（A點和H點除外），此時有兩個界點值，分別是⊙O與該半圓內切時和⊙O經過A點時，由B2,2，得OB=當⊙O與該半圓內切時，r=4?22當⊙O經過A點時，r=22∴4?2220．（2022·四川德陽·九年級階段練習）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AD為直徑，過點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD=∠ECB；（2）若CE是⊙O的切線，∠CAD=30°，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當AB=2時，求AD，AC與CD圍成陰影部分的面積．【思路點撥】（1）利用圓內接四邊形的性質證得∠D=∠EBC，再利用圓周角的性質證得∠D+∠CAD=90°，即可證明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切線的性質得到OC⊥EC，從而證明OC∥AE，再證明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可證明四邊形ABCO是菱形；②先計算S△AOC=3【解題過程】解：（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠EBC+∠ABC=180°，∴∠D=∠EBC，∵AD為⊙O直徑，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=90°，∴∠OCE+∠E=180°，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形ABCO是菱形；②∵四邊形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，∴CD=12AD=2，AC=23過點C作CF⊥AD于點F，∴CF=3，∴S△AOC∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴S扇形OCD∴陰影部分的面積為3+21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，以AB為直徑的⊙O上有一動點C，⊙O的切線CD交AB的延長線于點D，過點B作BM∥OC交⊙O于點M，連接AM，OM，BC．(1)求證：AM∥CD(2)若OA=5，填空：①當AM＝時，四邊形OCBM為菱形；②連接MD，過點O作ON⊥MD于點N，若BD=52?5，則ON＝【思路點撥】(1)首先根據圓周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切線的性質可得∠DOC+∠CDO=90°，再根據平行線的性質即可證得∠MAB=∠CDO，據此即可證得結論；(2)①根據菱形性質可得OM=OA=MB=5，即可求得AB，再根據勾股定理即可求得；②首先可證得△ODC是等腰直角三角形，再根據勾股定理及三角形的面積，即可求解．【解題過程】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠DOC+∠CDO=90°，又∵BM∥∴∠ABM=∠DOC，∴∠MAB=∠CDO，∴AM∥（2）解：①若四邊形OCBM為菱形，則OM=OA=MB=5，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AMB=90°，∵OA=OB，∴AB=2OA=10，∴AM=當AM=53時，四邊形OCBM故答案為：53②如圖所示：∵BD=52?5，∴OD=OB+BD=5+52∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∵OC=OB=5，∴CD=O∴△ODC是等腰直角三角形，∴∠DOC=45°，又∵BM∥∴∠OBM=∠DOC=45°，∵OM=OB，∴∠OBM=∠OMB=45°，∴∠BOM=90°，△OBM是等腰直角三角形，在直角△ODM中，根據勾股定理可得MD=O根據△ODM的面積可得ON?DM=OM?OD，ON=OM?OD故答案為：5622．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點，弦CD與弦EF交于點P，PB平分∠DPF，連DF交AB于點G．(1)求證：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝213，求OG的長．【思路點撥】（1）過點O作OM⊥EF于點M，ON⊥CD于點N，連接OF、OD，利用HL證明Rt△OFM≌Rt△ODN，可得FM=DN，進而可得結論；（2）根據PE：PF=1：3，可以設PE=x，PF=3x，則EF=PE+PF=4x，利用含30度角的直角三角形可得OM=33x，OP=233x，然后證明Rt△OPM≌Rt△OPN，可得PM=PN，再證明△PDF是等邊三角形，可得DF=PF=3x，FG=12DF=【解題過程】（1）證明：如圖，過點O作OM⊥EF于點M，ON⊥CD于點N，連接OF、OD，則∠OMF=∠OND=90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM=ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，∵OF=ODOM=ON∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM=DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EF=2FM，CD=2DN，∴CD=EF；（2）解：∵PE：PF=1：3，∴設PE=x，PF=3x，∴EF=PE+PF=4x，∵OM⊥EF，∴EM=FM=12EF=2x∴PM=EM-PE=2x-x=x，

∵PB平分∠DPF，∠DPF=60°，∴∠FPB=DPB=12∠DPF∴OM=33x，OP=23在Rt△OPM和Rt△OPN中，OP=OPOM=ON∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴PM=PN，由（1）知：FM=DN，

∴PM+FM=PN+DN，∴PF=PD，∵∠DPF=60°，∴△PDF是等邊三角形，∵PB平分∠DPF，∴PB⊥DF，垂足為G，∴DF=PF=3x，FG=12DF=3x2∴PG=PF∴OG=PG-OP=33∵AB=213，∴OF=12AB=13在Rt△OFG中，根據勾股定理，得OG∴(5整理，得x2解得x=±3（負值舍去），∴x=3，∴OG=5323．（2022·全國·九年級課時練習）問題提出：（1）如圖1，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為______．問題探究：（2）如圖2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=63，求△ABC問題解決：（3）如圖3，某校學生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬AB=20米，長BC=24米，為了能夠監控到禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發的觀測角∠AMB=45°．請你通過所學的知識進行分析，在墻面CD區域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的長，即可求出面積；（2）作△ABC的外接圓⊙O，可知點A在BC上運動，當A'O⊥BC時，△ABC的面積最大，求出A'H的長，從而得出答案；（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，過O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性質求出OA，OG的長，則以O為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，從而⊙O上存在點M，滿足∠AMB=45°，此時滿足條件的有兩個點M，過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題．【解題過程】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴BD=1，∴AD=AB2?B∴△AB