第10講：拓展一：定義題（解答題）1．（2024·安徽蚌埠·統考模擬預測）對于無窮數列，我們稱（規定）為無窮數列的指數型母函數．無窮數列1，1，…，1，…的指數型母函數記為，它具有性質．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數單位）；(3)以函數為指數型母函數生成數列，．其中稱為伯努利數．證明：．且．2．（2024上·全國·高三校聯考競賽）設有兩個集合，如果對任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個的函數.設是的函數，是的函數，那么是的函數，稱為和的復合，記為.如果兩個的函數對任意，都有，則稱.(1)對，分別求一個，使得對全體恒成立；(2)設集合和的函數以及的函數.（i）對，構造的函數以及的函數，滿足；（ii）對，構造的函數以及的函數，滿足，并且說明如果存在其它的集合滿足存在的函數以及的函數，滿足，則存在唯一的的函數滿足.3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，恒成立，則稱是上的有界函數，其中稱為的上界．(1)若在上是以2為上界的有界函數，求的取值范圍；(2)已知，為正整數，是否存在整數，使得對，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．4．（2024上·安徽·高一校聯考期末）對于函數，為函數定義域，若存在正常數，使得對任意的，都有成立，我們稱函數為“同比不增函數”.(1)若函數是“同比不增函數”，求的取值范圍；(2)是否存在正常數，使得函數為“同比不增函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.5．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）中心對稱函數指的是圖形關于某個定點成中心對稱的函數，我們學過的奇函數便是一類特殊的中心對稱函數，它的對稱中心為坐標原點.類比奇函數的代數定義，我們可以定義中心對稱函數：設函數的定義域為，若對，都有，則稱函數為中心對稱函數，其中為函數的對稱中心.比如，函數就是中心對稱函數，其對稱中心為.(1)判斷是否為中心對稱函數（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；(2)若定義在上的函數為中心對稱函數，求的值；(3)判斷函數是否為中心對稱函數，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.6．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）已知函數．對任意，恰好存在個不同的實數，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數”，求實數的取值范圍.9．（2024上·廣東·高一統考期末）定義：函數若存在正常數，使得，為常數，對任意恒成；則稱函數為“代階函數”．(1)判斷下列函數是否為“代階函數”？并說明理由．①，②.(2)設函數為“代階函數”，其中是奇函數，是偶函數.若，求的值．10．（2024上·上海·高一上海市洋涇中學校考期末）對于定義在區間上的函數，若．(1)已知，，試寫出、的表達式；(2)設且，函數，，如果與恰好為同一函數，求的取值范圍；(3)若，存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”，已知函數，，試判斷是否為上的“階收縮函數”，如果是，求出對應的，如果不是，請說明理由．11．（2024上·廣東肇慶·高一統考期末）對于函數，若定義域內存在實數，滿足，則稱為“函數”.(1)已知函數，試判斷是否為“函數”，并說明理由；(2)已知函數為上的奇函數，函數，為其定義域上的“函數”，求實數的取值范圍.12．（2024上·北京順義·高一統考期末）對于定義域為I的函數，如果存在區間，使得在區間上是單調函數，且函數，的值域是，則稱區間是函數的一個“優美區間”.(1)判斷函數和函數是否存在“優美區間”?（直接寫出結論，不要求證明）(2)如果函數在R上存在“優美區間”，求實數a的取值范圍.第10講：拓展一：定義題（解答題）1．（2024·安徽蚌埠·統考模擬預測）對于無窮數列，我們稱（規定）為無窮數列的指數型母函數．無窮數列1，1，…，1，…的指數型母函數記為，它具有性質．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數單位）；(3)以函數為指數型母函數生成數列，．其中稱為伯努利數．證明：．且．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由，通過賦值即可證得；（2）根據的周期性，經過多次推理，由求和可以證得；（3）構造，可以推出，然后再可證得.【詳解】（1）令，則．由，令，則．因為，故．（2）證明：因為，，，，，所以（3）證明：令，則有，因此故且，即．【點睛】關鍵點點睛：主要考查了復數的周期性，考查推理論證能力，對學生思維要求比較高，綜合性很強.2．（2024上·全國·高三校聯考競賽）設有兩個集合，如果對任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個的函數.設是的函數，是的函數，那么是的函數，稱為和的復合，記為.如果兩個的函數對任意，都有，則稱.(1)對，分別求一個，使得對全體恒成立；(2)設集合和的函數以及的函數.（i）對，構造的函數以及的函數，滿足；（ii）對，構造的函數以及的函數，滿足，并且說明如果存在其它的集合滿足存在的函數以及的函數，滿足，則存在唯一的的函數滿足.【答案】(1)，(2)（i），；（ii），，說明見解析【分析】（1）利用對數函數性質結合題干條件求解；（2）（i）利用常函數求解；（ii）結合（i）再證明唯一性即可.【詳解】（1）因為，而，對全體恒成立；故對所有成立.（2）（i）考慮以及兩個函數，對任意，因為，所以.（ii）我們可以繼續使用（i）的構造，任意取，因為，所以，所以，則，因此存在滿足條件；如果符合題意，即，則，由定義得到；所以存在唯一的的函數滿足題意.【點睛】關鍵點點睛：充分利用題目定義的新函數證明唯一性是關鍵.3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，恒成立，則稱是上的有界函數，其中稱為的上界．(1)若在上是以2為上界的有界函數，求的取值范圍；(2)已知，為正整數，是否存在整數，使得對，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用上界的定義，換元令轉化函數式得，再結合與的單調性計算即可；（2）假設存在滿足題意，分離參數得，然后分類討論為奇數或偶數，結合的取值范圍計算即可.【詳解】（1）令，，則，由題意可得，在上恒成立，則在上恒成立，∴，即，易知在上單調遞減，則，根據對勾函數的性質可知：在上單調遞增，則，綜上：．（2）假設存在滿足題意，當為正偶數時，，即設，易知，則，，∴；當為正奇數時，，即同理設，易知，則，，∴；若存在，則且，即，∴，即，∴．4．（2024上·安徽·高一校聯考期末）對于函數，為函數定義域，若存在正常數，使得對任意的，都有成立，我們稱函數為“同比不增函數”.(1)若函數是“同比不增函數”，求的取值范圍；(2)是否存在正常數，使得函數為“同比不增函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，且【分析】（1）由恒成立，分離常數，結合三角函數的最值來求得的取值范圍.（2）結合的圖象以及圖象變換的知識求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數是“同比不增函數”，則恒成立，所以恒成立，所以，即，由于，所以.所以的取值范圍是.（2）存在，理由如下：，畫出的圖象如下圖所示，

的圖象是由的圖象向左平移個單位所得，由圖可知，當時，對任意的，都有成立，所以存在正常數，使得函數為“同比不增函數”，且.【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義的理解和應用，解題的關鍵在于利用題中的定義，將問題轉化為恒成立問題，本題第（2）問利用數形結合思想求解比較直觀簡單.5．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）中心對稱函數指的是圖形關于某個定點成中心對稱的函數，我們學過的奇函數便是一類特殊的中心對稱函數，它的對稱中心為坐標原點.類比奇函數的代數定義，我們可以定義中心對稱函數：設函數的定義域為，若對，都有，則稱函數為中心對稱函數，其中為函數的對稱中心.比如，函數就是中心對稱函數，其對稱中心為.(1)判斷是否為中心對稱函數（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；(2)若定義在上的函數為中心對稱函數，求的值；(3)判斷函數是否為中心對稱函數，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.【答案】(1)是中心對稱函數，對稱中心為(2)(3)是中心對稱函數，對稱中心為.【分析】（1）根據題意，由函數的解析式可得，即可得結論；（2）若定義在上的函數為中心對稱函數，其對稱中心的橫坐標必為，由可知，，即可得出的值；（3）根據題意，由函數的解析式可得，即可得結論．【詳解】（1）根據題意，的定義域為，，若對，都有，所以中心對稱函數，對稱中心為；（2）若定義在上的函數為中心對稱函數，明顯定義域僅關于點對稱，其對稱中心的橫坐標必為，則，因為為中心對稱函數，則為定值，則，即，所以關于點對稱.（3）函數的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點解方程得，所以函數的定義域為明顯定義域僅關于點對稱所以若函數的圖象是中心對稱圖形，則其對稱中心橫坐標必為設其對稱中心為點，則由題意可知有，令，可得，所以所以若函數為中心對稱圖形，其對稱中心必定為點下面論證函數的圖象關于點成中心對稱圖形：即只需證明，，得證.【點睛】結論點睛：函數的對稱性：（1）若，則函數關于中心對稱；（2）若，則函數關于對稱.6．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）已知函數．(1)求函數的定義域；(2)試判斷的單調性，并說明理由；(3)定義：若函數在區間上的值域為，則稱區間是函數的“完美區間”．若函數存在“完美區間”，求實數b的取值范圍．【答案】(1)(2)單調遞增，理由見解析(3)【分析】（1）由函數解析式直接求定義域；（2）法一：利用復合函數單調性判定；法二：定義法證明單調性；（3）由題意可知方程在上至少存在兩個不同的實數解，即在上至少存在兩個不同的實數解，所以與在上至少存在兩個不同的交點．再利用基本不等式求出函數的值域即可.【詳解】（1）要使函數的表達式有意義，須使，解得，所以函數的定義域是．（2）在上單調遞增．理由如下：法一：因為，又在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，在上為增函數，故在上單調遞增．法二：因為，對任意，，且，可知，則，又，可知，所以，即．故在上單調遞增，（3）由（2）可知在上單調遞增，設區間是函數的“完美區間”．則，．可知方程在上至少存在兩個不同的實數解，即在上至少存在兩個不同的實數解，所以與在上至少存在兩個不同的交點．令，則，所以，當且僅當時，取等號．又在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，；當時，．所以．故實數b的取值范圍為．【點睛】思路點睛：第三問由題意，可將問題轉化為方程在上至少存在兩個不同的實數解，即在上至少存在兩個不同的實數解，所以與在上至少存在兩個不同的交點．接下來利用換元法求出函數的值域即可.7．（2024·云南昆明·統考模擬預測）我們把（其中，）稱為一元n次多項式方程．代數基本定理：任何復系數一元次多項式方程（即，，，…，為實數）在復數集內至少有一個復數根；由此推得，任何復系數一元次多項式方程在復數集內有且僅有n個復數根（重根按重數計算）．那么我們由代數基本定理可知：任何復系數一元次多項式在復數集內一定可以分解因式，轉化為n個一元一次多項式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進一步可以推出：在實系數范圍內（即，，，…，為實數），方程的有實數根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數法可知，．(1)解方程：；(2)設，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點．求證：當時，．【答案】(1)，，(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）觀察得到是方程的一個根，從而設，對照系數得到，，，得到，求出方程的根；（2）（i）是方程的一個根，設，對照系數得到，，，從而得到答案；（ii）令，故是方程的最小正實根，由（i）知：，設，根據的開口方向，結合，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為t，結合得到，故，得到.【詳解】（1）觀察可知：是方程的一個根；所以，由待定系數法可知，，解得，，；所以，即或，則方程的根為，，．（2）（i）由可知，是方程的一個根；所以，即，對照系數得，，，，故，，；所以．（ii）令，即，點是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點，等價于是方程的最小正實根；由（i）知：是方程的一個正實根，且，設，由，，，可知為開口向上的二次函數；又因為，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為t；又，可得，所以；當時，，由二次函數單調性可知，即是方程的最小正實根．【點睛】方法點睛：三次函數是近兩年高考常考考點，需要對三次函數理解到位，求解三次函數的零點，常常需要先觀察函數，直接法得到其中一個零點，將三次函數轉化為二次函數，故常常利用二次函數的性質來研究三次函數的性質.8．（2024上·江蘇蘇州·高一校考期末）已知函數和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數”.(1)判斷是否為的“重覆蓋函數”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．(2)若為的“2重覆蓋函數”，求實數的取值范圍.【答案】(1)是，(2)【分析】（1）根據定義，結合單調性即可求解；（2）先求出的值域，然后將問題轉化為的圖象與直線有兩個交點的問題，然后對a進行分類討論可得；【詳解】（1）由定義可得，對任意，恰好存在個不同的實數，使得（其中），即，由，故當時，，此時不存在使成立，當時，，且在上單調遞增，故對于任意，都有唯一一個，使得，綜上所述，對于任意，都有唯一一個，使得，是的“重覆蓋函數”，且；（2）由可得，故，，即，存在2個不同的實數，使得，其中，由時，，故，即，故，故對任意，，，即對任意，都有2個實根，當時，，且在上遞增，故時，都有唯一確定的實根，故當時，亦有且有一個實根，當時，，且在上單調遞減，符合題意，當時，為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。當時，則需對稱軸，且，即，且，即，綜上，實數的取值范圍是.9．（2024上·廣東·高一統考期末）定義：函數若存在正常數，使得，為常數，對任意恒成；則稱函數為“代階函數”．(1)判斷下列函數是否為“代階函數”？并說明理由．①，②.(2)設函數為“代階函數”，其中是奇函數，是偶函數.若，求的值．【答案】(1)①是代階函數，②不是代階函數，理由見解析(2)【分析】（1）利用“代階函數”的定義判斷即可；（2）根據“代階函數”的定義，結合函數的奇偶性變形，得到，求解即可.【詳解】（1）①是代階函數，因為，此時，，所以為代階函數；②不是代階函數，因為，所以不是代階函數；（2）由已知存在常數滿足，即，令，則①，令，則②，因為是奇函數，是偶函數，所以，，，，①②，整理得，令，則，又因為，且，可得，所以，所以【點睛】方法點睛：新定義題型的特點：通過給定一個新的概念，根據題目提供的信息，結合所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的；遇到新定義的題目，要耐心讀題，分析新定義的特點和性質，按新定義的要求求解.10．（2024上·上海·高一上海市洋涇中學校考期末）對于定義在區間上的函數，若．(1)已知，，試寫出、的表達式；(2)設且，函數，，如果與恰好為同一函數，求的取值范圍；(3)若，存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”，已知函數，，試判斷是否為上的“階收縮函數”，如果是，求出對應的，如果不是，請說明理由．【答案】(1)、(2)(3)是，【分析】（1）根據函數、在上的單調性可得出、的表達式；（2）若與恰好為同一函數，只須在上是單調遞減，討論的取值由復合函數的單調性即可求解；（3）根據函數在上的值域，寫出、的解析式，再由求出的范圍得到答案．故是上的“階收縮函數”，且小正整數.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數新定義問題，解題的關鍵在于確定新函數的解析式，根據題意將其轉化為函數不等式成立的問題，再結合恒成立思想求解.11．（2024上·廣東肇慶·高一統考期末）對于函數，若定義域內存在實數，滿足，則稱為“函數”.(1)已知函數，試判斷是否為“函數”，并說明理由；(2)已知函數為上的奇函數，函數，為其定義域上的“函數”，求實數的取值范圍.【答案】(1)是“函數”，理由見解析(2)【分析】（1）直接由新定義判斷方程是否有解即可.（2）由題意得首先得，然后對分類討論，將問題轉換為方程有解求參數范圍即可.【詳解】（1）由題意，若函數在定義域內存在實數，滿足，可得，即.當時，上式成立，所以存在，滿