第09講函數模型及其應用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：幾類不同增長的函數模型 3高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型） 10高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、冪函數模型） 14高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題 20第一部分：基礎知識1、常見函數模型函數模型函數解析式一次函數模型(為常數，)反比例函數模型(為常數且)二次函數模型（均為常數，）指數函數模型（均為常數，，，）對數函數模型（為常數，）冪函數模型（為常數，）分段函數2、指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩介于指數函數與對數函數之間,相對平穩圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個，當時，有第二部分：高考真題回顧1．（多選）（2023·全國·統考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：幾類不同增長的函數模型典型例題例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校考階段練習）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習）有一組實驗數據如表：234561.402.565.311121.30則體現這組數據的最佳函數模型是A． B．C． D．例題3．（2023上·山西臨汾·高一統考期中）在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數據：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數模型較適合的是（

）A． B．C． D．例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學校考階段練習）假設某學習小組對家庭每月用水的收費提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費8元和損耗費c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按元進行付費；模型二：用函數模型（其中k，m，n為常數，且）來模擬說明每月支付費用y（元）關于月用水量的函數關系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費用y分別為9元，19元和31元.(1)寫出模型一中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數解析式；(2)寫出模型二中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數解析式，并分析說明學習小組提供的模型哪個更合理？練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一專題練習）今有一組實驗數據如下：現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·高一校聯考階段練習）今有一組實驗數據及對應散點圖如下所示，則體現這些數據關系的最佳函數模型是（

）10202941505870123.87.4111521.8A． B．C． D．3．（2023上·上海·高一上海市建平中學校考階段練習）近來，國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業、帶動創業，進而提升區域經濟發展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發現：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數關系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數據如下表所示10152025305055605550(1)給出以下四個函數模型：①；②；③；④.請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數的解析式及定義域(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.4．（2023上·四川宜賓·高一統考階段練習）2023年宜賓市新添城市名片“中國動力電池之都”，初步建成較為完整的配套協同動力電池產業布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產業鏈.新能源電動車主要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車?純電動汽車.有關部門在國道上對某型號純電動汽車進行測試，國道限速.經數次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數據如下表所示：01040600142044806720為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①；②；③.(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數表達式；(2)現有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量與速度的關系滿足（1）中的函數表達式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關系滿足.則當國道和高速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統考期末）2022年某開發區一家汽車生產企業計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調研，每輛車售價5萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.(1)求出2022年該企業生產新能源汽車的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（利潤銷售量-成本）(2)2022年產量為多少百輛時，該企業生產新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統考期末）心理學家根據高中生心理發展規律，對高中生的學習行為進行研究，發現學生學習的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間學生的興趣保持理想狀態，隨后學生的注意力開始分散.分析結果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：），滿足以下關系：(1)上課多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？(2)有一道數學難題，需要54的接受能力及的講授時間，老師能否及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完成這道難題？練透核心考點1．（2023下·河南·高一校聯考階段練習）中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據國際半導體產業協會(SEMI)的數據，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產線，建設該生產線的成本為300萬元，若該型芯片生產線在2024年產出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.(1)已知2024年該型芯片生產線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數解析式.(2)請你為該型芯片的生產線的產量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產線所獲利潤最大，并預測最大利潤.2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學校考期中）“智能”是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現在主干道上，車內沒有司機，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經測算，該路無人駕駛公交車載客量與發車時間間隔滿足：，其中.(1)求，并說明的實際意義；(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、冪函數模型）典型例題例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯考階段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規律：設物體的初始溫度是，經過后的溫度是，則，其中表示環境溫度，表示半衰期．該研究小組經過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1，參考數據，）（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數里面的1可以忽略不計．按照香農公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%例題3．（2023上·安徽六安·高一校考階段練習）一種放射性元素，最初質量為，按每年衰減．(1)寫出年后這種放射性元素質量與之間的函數關系式(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質的質量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，已知（，）.例題4．（2023上·全國·高一期末）“實施科教興國戰略,強化現代化建設人才支撐”是2022年10月16日習近平同志在中國共產黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產力、人才是第一資源、創新是第一動力,深入實施科教興國戰略、人才強國戰略、創新驅動發展戰略,開辟發展新領域新賽道,不斷塑造發展新動能新優勢.某科技企業通過加大科技研發投資,提高了企業的技術競爭力,也提高了收入.下列一組數據是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.x/年123456y/億元0.91.402.565.311121.30(1)給出以下兩個函數模型:①y=;②y=.試問:用哪個模型更適合模擬該企業的收入?(2)該企業大約在哪一年收入超過100億元?(參考數據:）練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環境，從而對入侵地的生態系統造成危害的現象，若某入侵物種的個體平均繁殖數量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數模型（為常數）來描述該物種累計繁殖數量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現有數據得出．據此估計該物種累計繁殖數量是初始累計繁殖數量的倍所需要的時間為（

）天．（結果保留一位小數．參考數據：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．192．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環境溫度，為常數，現有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現在.經測量室溫為，茶水降至大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待分鐘.（參考數據：.）高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題典型例題例題1．（2023上·福建莆田·高一統考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時間（單位：年）近似滿足關系式且.已知當時，；當時，，則據此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時，大約為（

）（參考數據：）A．50 B．52 C．54 D．56例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）天氣轉冷，某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據前期調研，獲得該產品的銷售量萬件與投入的促銷費用萬元滿足關系式（為常數），而如果不搞促銷活動，該產品的銷售量為4萬件.已知該產品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為元，設該產品的利潤為萬元.（注：利潤=銷售收入-投入成本-促銷費用）(1)求出的值，并將表示為的函數；(2)促銷費用為多少萬元時，該產品的利潤最大？此時最大利潤為多少？例題3．（2023·全國·高三專題練習）學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數關系，要求如下：（i）函數的圖象接近圖示；（ii）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現有以下三個函數模型供選擇：①；②；③.(1)請根據函數圖像性質你從中選擇一個合適的函數模型不需要說明理由；(2)根據你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數的解析式；(3)已知學校要求每天的分數不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結果保留整數）.練透核心考點1．（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學校考一模）中國5G技術領先世界，其數學原理之一便是著名的香農公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%2．（2023上·廣東·高一校聯考期末）某企業生產的一款新產品，在市場上經過一段時間的銷售后，得到銷售單價x（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的數據如下：元1234萬件321.51.2為了描述銷售單價與銷量的關系，現有以下三種模型供選擇：．(1)選擇你認為最合適的一種函數模型，并求出相應的函數解析式；(2)已知每生產一件該產品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關系為，不考慮其他因素，結合（1）中所選的函數模型，若要使生產的產品可以獲得利潤，問該產品的銷售單價應該高于多少元？3．（2023上·河南·高一校聯考期中）2023年9月23日，第19屆亞運會開幕式在杭州舉行，完美展現了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產品在亞運會開幕式后的30天內（包括第30天），第天每件的銷售價格（單位：元）滿足，第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.(1)求的解析式；(2)若每件該產品的總成本為20元，求該產品在開幕式后的30天內第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.第09講函數模型及其應用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：幾類不同增長的函數模型 3高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型） 10高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、冪函數模型） 14高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題 20第一部分：基礎知識1、常見函數模型函數模型函數解析式一次函數模型(為常數，)反比例函數模型(為常數且)二次函數模型（均為常數，）指數函數模型（均為常數，，，）對數函數模型（為常數，）冪函數模型（為常數，）分段函數2、指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩介于指數函數與對數函數之間,相對平穩圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個，當時，有第二部分：高考真題回顧1．（多選）（2023·全國·統考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：幾類不同增長的函數模型典型例題例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校考階段練習）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．【答案】A【分析】由函數的數據即可得出答案.【詳解】由函數的數據可知，函數，偶函數滿足此性質，可排除B，D；當時，由函數的數據可知，函數增長越來越快，可排除C.故選：A.例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習）有一組實驗數據如表：234561.402.565.311121.30則體現這組數據的最佳函數模型是A． B．C． D．【答案】B【分析】根據數據判斷函數的增長速度選擇函數模型.【詳解】，，，，通過所給數據可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，AC選項函數增長的速度越來越慢，D選項函數增長的速度不變，B選項函數增長的速度越來越快，所以B正確.故選：B.例題3．（2023上·山西臨汾·高一統考期中）在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數據：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數模型較適合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由數據中y隨x的變化情況，分析適用的函數模型.【詳解】由所給數據可知y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快，而A中的函數增長速度保持不變，B中的函數增長速度越來越慢，C中的函數是隨x的增大而y減小，D中的函數符合題意.故選:D．例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學校考階段練習）假設某學習小組對家庭每月用水的收費提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費8元和損耗費c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按元進行付費；模型二：用函數模型（其中k，m，n為常數，且）來模擬說明每月支付費用y（元）關于月用水量的函數關系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費用y分別為9元，19元和31元.(1)寫出模型一中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數解析式；(2)寫出模型二中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數解析式，并分析說明學習小組提供的模型哪個更合理？【答案】(1)(2)，，模型一與生活中的實際情況更接近【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程組，求出，，不妨設，推出矛盾，故，得到，求出答案；（2）得到方程組，求出，，，得到解析式，并用三個方面說明模型一與生活中的實際情況更接近.【詳解】（1）由題意得，第2，3月份水費均大于13元，故用水量和均大于最低限量，于是有，解得，從而，再考慮1月份用水量是否超過最低限量，不妨設，將代入中，得，故，與矛盾，舍去，故，即，解得，故，所以每月支付費用（元）關于月用水量的函數解析式.（2），由題意知，，即由得，由得，所以，解得，所以，代入，解得，又，所以，所以，.模型一與生活中的實際情況更接近（言之有理即可）.建議從以下三方面考慮：原因一：惠民政策，生活中，比如：打車，交稅，交氣費等都是與模型一接近，百姓繳費少；原因二：指數爆炸，由知，關于x是快速增長，但模型一在上勻速增長，更符合實際意義；原因三：當時，，由于，，，所以，故，不符合實際意義.練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一專題練習）今有一組實驗數據如下：現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】選代入四個選項的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.【詳解】對于選項A：當時，，與相差較多，故選項A不正確；對于選項B：當時，，與相差較多，故選項B不正確；對于選項C：當時，，故選項C正確；對于選項D：當時，，與相差較多，故選項D不正確；故選：C.2．（2023上·浙江·高一校聯考階段練習）今有一組實驗數據及對應散點圖如下所示，則體現這些數據關系的最佳函數模型是（

）10202941505870123.87.4111521.8A． B．C． D．【答案】C【分析】根據散點圖的變化趨勢及散點的分布情況判斷回歸方程的類型.【詳解】由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且在第一象限內上單調遞增，對于，由題意可得：1020294150580.10.20.30.40.50.57可知，近似于線性，所以適合二次函數模型.故選：C3．（2023上·上海·高一上海市建平中學校考階段練習）近來，國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業、帶動創業，進而提升區域經濟發展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發現：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數關系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數據如下表所示10152025305055605550(1)給出以下四個函數模型：①；②；③；④.請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數的解析式及定義域(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.【答案】(1)選擇模型②，(2)441元.【分析】（1）根據表格中數據的增減性，結合函數的單調性，可得答案；（2）根據分段函數的性質，結合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）由表格數據知，當時間變換時，先增后減，而①③④都是單調函數所以選擇模型②，由，可得，解得由，解得所以日銷售量與時間的變化的關系式為.（2）由（1）知：所以即當時，由基本不等式，可得，當且僅當時，即時等號成立，當時，為減函數，所以函數的最小值為，綜上，當時，函數取得最小值441元.4．（2023上·四川宜賓·高一統考階段練習）2023年宜賓市新添城市名片“中國動力電池之都”，初步建成較為完整的配套協同動力電池產業布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產業鏈.新能源電動車主要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車?純電動汽車.有關部門在國道上對某型號純電動汽車進行測試，國道限速.經數次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數據如下表所示：01040600142044806720為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①；②；③.(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數表達式；(2)現有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量與速度的關系滿足（1）中的函數表達式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關系滿足.則當國道和高速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？【答案】(1)選①，；(2)在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為，.【分析】（1）根據表格中的數據，對3個函數模型逐一判斷即得.（2）分別求出國道和高速上該輛車耗電量的最小值及對應行駛速度即可得解.【詳解】（1）對于③，，當時，它無意義，不符合題意；對于②，，當時，，又，所以，不符合原意；因此選①，.由表中的數據得，，解得，所以.（2）高速上行駛，所用時間為，則所耗電量為，顯然函數在上單調遞增，于是；國道上行駛，所用時間為，則所耗電量為，而，則當時，.所以當這輛車在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為時，該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為.高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統考期末）2022年某開發區一家汽車生產企業計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調研，每輛車售價5萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.(1)求出2022年該企業生產新能源汽車的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（利潤銷售量-成本）(2)2022年產量為多少百輛時，該企業生產新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)50百輛時，企業所獲得利潤最大為1600萬元【分析】（1）根據利潤與產量、成本之間的關系，寫出分段函數的解析式即可；（2）分別根據二次函數、均值不等式求函數在每一段的最值，比較大小即可得解.【詳解】（1）當時，當時，（2）當時，取得最大值，最大值為1250當時，當且僅當等號成立，所以當時，有最大值1600.綜上所述：，取得最大值，最大值為1600，即2022年生產量為50百輛時，企業所獲得利潤最大，最大利潤為1600萬元.例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統考期末）心理學家根據高中生心理發展規律，對高中生的學習行為進行研究，發現學生學習的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間學生的興趣保持理想狀態，隨后學生的注意力開始分散.分析結果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：），滿足以下關系：(1)上課多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？(2)有一道數學難題，需要54的接受能力及的講授時間，老師能否及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完成這道難題？【答案】(1)上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘(2)老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完這道題【分析】（1）在上利用二次函數求得最大值；時，，在利用一次函數求得最大值即可；（2）當，，時分別令求解.【詳解】（1）解：由題知在上單調遞增，所以，又時，，在上單調遞減，，所以上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘.（2）當時，令，即，化簡得，解得，又，所以，此時有效時間為2分鐘，當時，，有效時間為10分鐘，當時，令，解得，有效時間為1分鐘，由于講授時間需15分鐘，但有效時間分鐘，，所以老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完這道題.練透核心考點1．（2023下·河南·高一校聯考階段練習）中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據國際半導體產業協會(SEMI)的數據，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產線，建設該生產線的成本為300萬元，若該型芯片生產線在2024年產出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.(1)已知2024年該型芯片生產線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數解析式.(2)請你為該型芯片的生產線的產量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產線所獲利潤最大，并預測最大利潤.【答案】(1)；(2)當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．【分析】（1）根據利潤等于售價減成本可求利潤的表達式；（2）根據的表達式分別求出每段函數的最大值即可.【詳解】（1）（1）由題意可得，，所以，即.（2）當時，；當時，，對稱軸，；當時，由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立，故，綜上，當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學校考期中）“智能”是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現在主干道上，車內沒有司機，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經測算，該路無人駕駛公交車載客量與發車時間間隔滿足：，其中.(1)求，并說明的實際意義；(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.【答案】(1)35；發車時間間隔為5分鐘時，載客量為35(2)6分鐘，38元【分析】（1）根據題意求得，從而說明其實際意義；（2）根據題意，分類討論的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數的單調性即可得解.【詳解】（1）因為，所以，實際意義為：發車時間間隔為5分鐘時，載客量為35.（2）因為，所以當時，，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最大值38；當時，，該函數在區間上單調遞減，則當時，取得最大值28.4；綜上所述，當發車時間間隔為6分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、冪函數模型）典型例題例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯考階段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規律：設物體的初始溫度是，經過后的溫度是，則，其中表示環境溫度，表示半衰期．該研究小組經過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1，參考數據，）（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知條件列出關于，的方程組可得答案.【詳解】由題意可得方程組：，由①式化簡可得：，代入②式，所以，大約需要放置能達到最佳飲用口感．故選：A．例題2．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數里面的1可以忽略不計．按照香農公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%【答案】C【分析】根據和表示出對應，然后根據結合對數的運算求解出結果.【詳解】當時，最大信息傳遞速度為，當時，最大信息傳遞速度為，所以比原來增加了，故選：C.例題3．（2023上·安徽六安·高一校考階段練習）一種放射性元素，最初質量為，按每年衰減．(1)寫出年后這種放射性元素質量與之間的函數關系式(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質的質量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，已知（，）.【答案】(1)(2)6.6年【分析】（1）由遞推關系寫出函數解析式即可.（2）依據題意列出方程，求解即可.【詳解】（1）最初的質量為，經過年后，，經過年后，，由此推知，年后，，年后，關于的表達式為．（2）列出方程，，年，即這種放射性元素的半衰期約為年．例題4．（2023上·全國·高一期末）“實施科教興國戰略,強化現代化建設人才支撐”是2022年10月16日習近平同志在中國共產黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產力、人才是第一資源、創新是第一動力,深入實施科教興國戰略、人才強國戰略、創新驅動發展戰略,開辟發展新領域新賽道,不斷塑造發展新動能新優勢.某科技企業通過加大科技研發投資,提高了企業的技術競爭力,也提高了收入.下列一組數據是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.x/年123456y/億元0.91.402.565.311121.30(1)給出以下兩個函數模型:①y=;②y=.試問:用哪個模型更適合模擬該企業的收入?(2)該企業大約在哪一年收入超過100億元?(參考數據:）【答案】(1)用模型②y=更適合模擬該企業的收入(2)大約在2025年該企業的收入超過100億元.【分析】（1）在同一平面直角坐標系內作出函數與的圖象,并在此坐標系內描出表格提供的數據對應的點,觀察即可；（2）解出，,則，即可求解.【詳解】（1）在同一平面直角坐標系內作出函數與的圖象,并在此坐標系內描出表格提供的數據對應的點如圖所示.觀察圖象知,這些點基本上都落在函數的圖象上或附近,所以用模型②更適合模擬該企業的收入.（2）當時,,因此=≈,而,則,所以大約在2025年該企業的收入超過100億元.練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環境，從而對入侵地的生態系統造成危害的現象，若某入侵物種的個體平均繁殖數量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數模型（為常數）來描述該物種累計繁殖數量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現有數據得出．據此估計該物種累計繁殖數量是初始累計繁殖數量的倍所需要的時間為（

）天．（結果保留一位小數．參考數據：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19【答案】A【分析】根據題意，利用結定的函數模型求得，進而利用對數的運算法則列式即可得解.【詳解】因為，，，所以，解得，設初始時間為，初始累計繁殖數量為，累計繁殖數量是初始累計繁殖數量的倍的時間為，則（天．故選：A.2．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環境溫度，為常數，現有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現在.經測量室溫為，茶水降至大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待分鐘.（參考數據：.）【答案】6【分析】根據已知條件求出參數的值，進而轉化為解指數方程，利用對數的運算以及換底公式即可求出結果.【詳解】根據題意可知,環境溫度，初始溫度，經過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足因為茶水降至大約用時一分鐘，即，所以，解得，則，所以要使得該茶降至，即，則有，得，故.所以大約需要等待6分鐘.故答案為：6.3．（2023上·上海·高一上海南匯中學校考階段練習）用打點滴的方式治療“支原體感染”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內的總濃度）隨時間變化的函數符合，其函數圖象如圖所示，其中為與環境相關的常數，此種藥物在人體內有效治療效果的濃度在4到15之間，當達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數符合，其中c為停藥時的人體血藥濃度．(1)求出函數的解析式；(2)一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注射？（如果計算結果不是整數，保留小數點后一位）【答案】(1)(2)最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時開始進行第二次注射．【分析】（1）根據已知條件及函數的圖象，利用點在圖象上列方程求解即可；（2）根據已知條件得出最遲停止注射時間，利用函數關系式及對數的運算性質即可求解.【詳解】（1）由圖象可知，圖象經過，兩點，將兩點代入，則，解得，所以；（2）由題意，可知有治療效果的濃度在4到15之間，所以濃度為15時為最遲停止注射時間，故，解得，濃度從15降到4為最長間隔時間，故，即，兩邊同時取以2為底的對數，則，即，所以，所以最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時開始進行第二次注射．4．（2023上·廣東汕頭·高一統考期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．(1)求k的值；(2)經驗表明，當室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時飲用，可以產生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1；參考值：，）【答案】(1)(2)2.7分鐘【分析】（1）由所給函數模型結合已知條件列方程得，由指對互換即可求解.（2）由所給函數模型結合已知條件列方程得，由指對互換以及對數的運算性質即可求解.【詳解】（1）依題意，，．則化簡得，，，即：．（寫也正確）（2）由（1）得令，即．得，；得．所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達到最佳飲用口感．高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題典型例題例題1．（2023上·福建莆田·高一統考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時間（單位：年）近似滿足關系式且.已知當時，；當時，，則據此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時，大約為（

）（參考數據：）A．50 B．52 C．54 D．56【答案】B【分析】根據已知列方程組先求出