第04講簡單的三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：三角函數式的化簡 3高頻考點二：三角函數求值問題（給角求值型） 4高頻考點三：三角函數求值問題（給值求值型） 5高頻考點四：三角函數求值問題（給值求角型） 6高頻考點五：半角公式 7高頻考點六：萬能公式 9第四部分：新定義題 10第一部分：基礎知識1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：三角函數式的化簡典型例題1．（2024·河北·模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）化簡求值：(1)；(2)；(3)已知，，求的值．練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）求值；(1)(2)2．（23-24高一下·江蘇鎮江·階段練習）（1）求的值；（2）已知，求函數的值域.高頻考點二：三角函數求值問題（給角求值型）典型例題1．（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．12．（多選）（23-24高一上·浙江寧波·期末）下列式子化簡正確的是（

）A．B．C．D．3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值.(1);(2).練透核心考點1．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）計算下列各式，結果為的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高一上·湖南長沙·期末）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．3．（2024高一下·湖南株洲·競賽）．高頻考點三：三角函數求值問題（給值求值型）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）若，則（）A． B． C． D．2．（2024·湖南衡陽·二模）已知，則（

）A． B． C．2 D．43．（2024·全國·模擬預測）已知為第二象限角，則．4．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知.(1)求；(2)求.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州畢節·二模）若，且，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·上海松江·階段練習）若，則.4．（23-24高一下·吉林·階段練習）設當時，函數取得最大值，則．高頻考點四：三角函數求值問題（給值求角型）典型例題1．（23-24高一下·吉林·階段練習）已知，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·江西九江·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，，，(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值．4．（23-24高一下·四川成都·階段練習）在條件：①；②；③中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.練透核心考點1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）若，，且，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·四川南充·階段練習）已知，其中.(1)求的值；(2)求的值；(3)設，且，求的值.4．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知.(1)求的值；(2)求.高頻考點五：半角公式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（

）高頻考點六：萬能公式典型例題1．（23-24高三下·河北張家口·開學考試）已知，是第四象限角，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·上海·專題練習）已知，求.練透核心考點1．（23-24高一·全國·課時練習）已知，且，則的值為（

）A．3 B．2C． D．2．（23-24高一下·上海·課時練習）已知，.3．（23-24高三下·北京海淀·期中）若，則.第四部分：新定義題1．（23-24高一上·貴州貴陽·期末）在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式:具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系內作單位圓O，以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B．則由向量數量積的坐標表示，有：設的夾角為θ，則另一方面，由圖3.1—3（1）可知，；由圖可知，.于是.所以，也有，所以，對于任意角有：（）此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作.有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了.閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關數據（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：（1）判斷是否正確？（不需要證明）（2）證明：（3）利用以上結論求函數的單調區間.第04講簡單的三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：三角函數式的化簡 3高頻考點二：三角函數求值問題（給角求值型） 5高頻考點三：三角函數求值問題（給值求值型） 8高頻考點四：三角函數求值問題（給值求角型） 12高頻考點五：半角公式 18高頻考點六：萬能公式 21第四部分：新定義題 24第一部分：基礎知識1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：三角函數式的化簡典型例題1．（2024·河北·模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據正切的倍角公式求得，再利用同角三角函數關系，將目標式進行轉化，計算即可.【詳解】，故；則.故選：C.2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）化簡求值：(1)；(2)；(3)已知，，求的值．【答案】(1)4(2)1(3)【分析】（1）由二倍角公式，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式和誘導公式化簡即可得出答案；（3）利用同角三角函數的基本關系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）已知，，，，所以，.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）求值；(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導公式，逆用和角的正弦公式求解即得.（2）利用二倍角公式，湊特殊角的方法化簡即得.【詳解】（1）.（2）.2．（23-24高一下·江蘇鎮江·階段練習）（1）求的值；（2）已知，求函數的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用輔助角公式，結合三角函數的誘導公式即可得解；（2）利用換元法與輔助角公式、同角的基本關系式將函數轉化為關于的二次函數，從而得解.【詳解】（1）.（2）令，當時，，故，即，又，所以，故，又在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得最大值，當時，函數取得最小值，所以的值域為.高頻考點二：三角函數求值問題（給角求值型）典型例題1．（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】.故選：C2．（多選）（23-24高一上·浙江寧波·期末）下列式子化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用誘導公式結合兩角差的正弦公式可判斷A選項；利用輔助角公式可判斷B選項；利用兩角差的正切公式可判斷C選項；利用誘導公式結合二倍角的正弦公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值.(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，結合正切的倍角公式，即可求解；（2）根據題意，結合正弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，準確計算，即可求解.【詳解】（1）解：由正切的倍角公式，可得.（2）解：由.練透核心考點1．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）計算下列各式，結果為的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據輔助角公式即可求解A，根據正切的和差角公式即可求解BC，根據二倍角公式即可求解D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確．對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤；故選：AB．2．（多選）（23-24高一上·湖南長沙·期末）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A項，逆用兩角和的正切公式計算即得；對于B項，利用二倍角的正弦公式即得；對于C項，利用二倍角的余弦公式即得；對于D項，利用誘導公式和同角的基本關系式計算即得.【詳解】對于A項，，故A項符合；對于B項，,故B項符合；對于C項，，故C項不符合；對于D項，，故D項符合.故選：ABD.3．（2024高一下·湖南株洲·競賽）．【答案】【分析】利用二倍角公式及和差角公式計算可得.【詳解】.故答案為：高頻考點三：三角函數求值問題（給值求值型）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.2．（2024·湖南衡陽·二模）已知，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用誘導公式，二倍角公式和同角三角函數基本關系，結合角的取值范圍，可求角的正切值.【詳解】由，所以或.又，所以.所以.故選：A3．（2024·全國·模擬預測）已知為第二象限角，則．【答案】【分析】由及同角三角函數的基本關系可求得，再根據并結合兩角和的正弦公式即可得解．【詳解】，，，為第二象限角，，，．故答案為：4．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角基本關系式與角的范圍求得，再利用兩角差的余弦公式即可得解；（2）利用同角基本關系式與角的范圍求得，再利用兩角和的正弦公式即可得解.【詳解】（1）因為，，則，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數基本關系和兩角和的正弦公式進行計算可得結果.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C2．（2024·貴州畢節·二模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷，再由同角三角函數的基本關系求出，最后由二倍角余弦公式計算可得.【詳解】因為，且，所以，又，解得或（舍去），又，解得或，又，所以，所以，所以.故選：B3．（23-24高三下·上海松江·階段練習）若，則.【答案】【分析】利用兩角差的正切公式求解即可.【詳解】因為，所以.故答案為：.4．（23-24高一下·吉林·階段練習）設當時，函數取得最大值，則．【答案】【分析】利用輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數性求出，進而利用差角的余弦求解即得.【詳解】依題意，函數，其中銳角滿足，當時，，因此，所以.故答案為：高頻考點四：三角函數求值問題（給值求角型）典型例題1．（23-24高一下·吉林·階段練習）已知，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正切的倍角公式求得，再結合正切的和角公式求得，結合的范圍，即可求得結果.【詳解】；，又，，故，，又，，故，則.故選：B.2．（2024·江西九江·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數的基本關系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：A3．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，，，(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）化切為弦，得到，證明出結論；（2）由正弦差角公式得到，結合（1）中的求出答案；（3）先得到，利用正弦和角公式得到，求出答案.【詳解】（1）因為，所以，；（2）因為所以，由（1）知，故，解得，故；（3）因為，，故，所以，所以，，所以，故.4．（23-24高一下·四川成都·階段練習）在條件：①；②；③中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件，先求出，再求齊次式的值.（2）先確定兩角和的取值范圍，再確定兩角和的三角函數值，可得角的大小.【詳解】（1）若選①，則原式可化為：.若選②，則，且，所以，所以.若選③，則且，所以，所以.所以總有.所以.（2）由（1）可知，，，且，又，且，所以，所以：，且.所以.練透核心考點1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出、，再由利用兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，則，所以，又，所以，又，所以，于是，又，則.故選：B.2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據題意求出及，然后再由從而可求解.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，故C正確.故選：C.3．（23-24高一下·四川南充·階段練習）已知，其中.(1)求的值；(2)求的值；(3)設，且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據已知條及兩角和的正切公式即可求解；（2）根據（1）的結論及誘導公式，利用同角三角函數的平方關系和商數關系即可求解；（3）根據已知條件及（1）的結論，利用同角三角函數的平方關系及湊角法，結合兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）由，得，解得.（2）由（1）知，，.（3）因為，，所以.因為，所以，，所以.所以,因為，所以.4．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知.(1)求的值；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意利用同角三角函數的基本關系，兩角差的正弦公式，求得的值．（2）根據（1）求出，利用角的范圍確定的值.【詳解】（1）因為，所以，，所以則；（2）因為所以，由（1）可得，故.高頻考點五：半角公式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方關系以及半角公式（二倍角公式）運算即可求解.【詳解】已知為銳角，若，則，所以.故選：A.2．（2024·全國·模擬預測）已知角是第二象限角，且終邊經過點，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據已知條件求出和的值，再利用求解即可.【詳解】∵角是第二象限角，且終邊經過點，∴，，∴.故選：C．3．（23-24高一·全國·課時練習）已知，，則.【答案】【分析】首先由同角三角函數的基本關系求出，再由半角公式計算可得.【詳解】因為，，所以，所以.故答案為：4．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知，則.【答案】【分析】利用半角公式即可求解.【詳解】因為，且，所以，故答案為：.練透核心考點1．（23-24高一·全國·課后作業）設，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助，得出與所處區間及象限，結合三角恒等變換公式即可得.【詳解】，，，故，又，.故選：D.2．（23-24高一·全國·課后作業）已知，，，均為銳角，則=（）A． B．C． D．【答案】B【分析】運用同角三角函數平方關系、二倍角公式及角的配湊求解即可.【詳解】因為，，所以，又因為，所以，因為，所以，所以，又因為，所以.故選：B.3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知，，則．【答案】/【分析】根據求得，利用半角公式求出即得.【詳解】由可知，故．故答案為：.4．（22-23高一·全國·隨堂練習）已知，角的終邊在第一象限，求的值．【答案】【分析】先求出，根據半角公式得出的值．【詳解】解：因為，角的終邊在第一象限，所以，所以.高頻考點六：萬能公式典型例題1．（23-24高三下·河北張家口·開學考試）已知，是第四象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據誘導公式可得，即可根據同角關系得，進而即可由半角公式求解.【詳解】由可得，故，由于是第四象限角，故，∴．故選：D．2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據誘導公式、倍角正弦公式得，結合萬能公式