學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、算法的含義簡單地說，算法是完成某項工作的方法和步驟。現代意義上的“算法”通常指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限的步驟內完成的.粗略地講,算法就是解題的具體步驟，即把為解決某一問題所需進行的具體步驟一一詳細地寫出來，廣義地說，處理任何問題都有相應的算法。如：太極拳的圖解就是“打太極拳的算法”，又如做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟，這也是一個算法.當然這些算法計算機是不能執行的，我們要講述的算法是用計算機能實現的算法，即對一類問題的機械的、統一的求解方法。例如：怎樣發電子郵件?①打開電子信箱；②點擊“寫郵件”；③輸入發送地址；④輸入主題；⑤輸入信件內容;⑥點擊“發送郵件”。在生活中，做任何事都有一定的方法、步驟，再比如蓋房子，需先打地基,后砌墻；看病需先掛號，再看病、開處方、劃價、交錢、取藥。這些過程都包括一系列的基本操作，在學習上也不例外。辨析比較算法與計算方法算法計算方法概念“解題方法的精確描述”對于數值求解的近似方法的研究應用非數值問題的求解數值問題的求解實例排序、查找、變量變換、文字處理等解方程（或方程組），解不等式（或不等式組），套用公式判斷的問題，累加，累乘等一類問題具體操作先建立過程模型，通過模型進行算法設計與描述借助一般數學計算方法，分解成清晰的步驟,使之條理化即可二、算法的不同描述方式①自然語言或數學語言；②流程圖；③程序語言。三、算法的主要特點(1)有窮性：對于一個算法來說，他的操作步驟必須是有限的，必須在執行有限個步驟之后結束。深化升華算法的有窮性往往指“在合理的范圍之內”.如果讓計算機執行一個歷時1000年才能結束的算法，雖然是有限的，但超過了合理的限度，人們也不把它視作有效算法.究竟什么算“合理限度”并無嚴格標準,由人們的常識和需要而定。（2）確定性:算法中的每一步操作的內容和順序都應該是確定的，而不能含糊其詞，含有歧義。如：某健身操中一個動作“手舉過頭頂",這個步驟就是不確定的，含糊的。是雙手都舉過頭？還是左手?或右手?舉過頭頂多少厘米?不同的人可以有不同的理解。算法中的每一步不應產生歧義，而應當是明確無誤的。(3）可行性：算法中的每一步操作都必須是可執行的，算法中的每一步都能通過手工和機器在有限時間內完成，這稱之為有效性。一個算法能否被執行，取決于如下幾點：（1）算法不能含有語法錯誤，否則算法不能正常執行;（2）算法對于幾組輸入數據能夠得出滿足規格說明要求的結果；（3）算法通過計算機能夠在有限時間內完成.這里要注意的是，有些算法通過手工無法在有限時間內完成,但借用計算機可行的話，我們也認定這算法是合理的，可行的.（4）數據輸入：每個算法都要求有原始數據的輸入，即給變量賦初值。一個算法是否有效,還取決于為算法的執行所提供的情報是否足夠。例如，對于指令“如果小明是學生，則輸出字母Y，否則輸出N”。當算法執行過程中提供了小明一定不是學生的某種信息時，執行的結果將輸出字母N；當提供的只是部分學生的名單，且小明恰在此名單之中，則執行的結果將輸出字母Y.但如果在提供的部分學生的名單中找不到小明的名字，則在執行該指令時無法確定小明是否是學生.聯想發散通常，算法中的各種運算總是要施加到各個運算對象上，而這些運算對象又可能具有某種初始狀態，這是算法執行的起點或是依據.因此，一個算法執行的結果總是與輸入的初始數據有關，不同的輸入將會有不同的結果輸出.如果輸入不夠或輸入錯誤，則算法本身也就無法執行或執行有錯.一般來說，只有當算法擁有足夠的情報時,該算法才是有效的；而如果提供的情報不夠，則算法并不是有效的.（5）信息輸出：一個算法中至少要有一個有效的輸出結果，算法的目的就是用來解決一個給定的問題，如果沒有信息輸出，也就沒有什么意義了.典題·熱題知識點一算法的概念例1算法是指（）A．為解決問題而編寫的計算機程序B。為解決問題而采取的方法和步驟C．為解決問題而需要采用的計算機程序D.為解決問題而采用的計算方法思路分析:算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法,洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，歌譜是一首歌曲的算法.在數學中，主要研究計算機能實現的算法,即按照某種機械程序步驟一定可以得到結果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函數求值的算法、作圖的算法等等。答案：B誤區警示應該知道并不是所有的算法都能在計算機內實現，并且不要混淆算法與計算方法的定義問題；計算方法只適用于數值問題的解決，而算法的應用卻是廣泛的。知識點二算法的特點例2早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5min）、刷水壺（2min）、燒水(8min）、泡面（3min）、吃飯（10min）、聽廣播（8min）幾個步驟。從下列選項中選出較好的一種算法（）A。第一步洗臉刷牙、第二步刷水壺、第三步燒水、第四步泡面、第五步吃飯、第六步聽廣播B。第一步刷水壺、第二步燒水同時洗臉刷牙、第三步泡面、第四步吃飯、第五步聽廣播C。第一步刷水壺、第二步燒水同時洗臉刷牙、第三步泡面、第四步吃飯同時聽廣播D.第一步吃飯同時聽廣播、第二步泡面、第三步燒水同時洗臉刷牙、第四步刷水壺思路分析：由算法確定性，任何問題必須朝某個目標走，至于途徑如何,并不重要。一個問題可能會有多個不同的算法，算法有優劣之分。本題四個選項都是正確的算法，但要最好的，只有C了。本題中,選擇A很大程度上是受人們的通常的習慣所影響，即起床后首先應該洗臉刷牙再做其他的事情.答案：C方法歸納對待任何問題,我們想的不應該只是如何把它解決，而更多時候我們會思考如何快速準確地完成。這與數學的靈活性是緊密關聯的。作為數學的一個分支，算法有著同樣的特性，因此，在學習算法時，我們不妨經常思考一下如何提高速度。日常生活中，我們要經常思考哪些行為是可兼容，可并行的，這是解決此題的出發點。知識點三用自然語言或者數學語言描述算法例3寫出解x2—2x—3=0的一個算法。思路分析：本題是利用一元二次方程求解的算法描述;方法有很多，可采用配方法、判別式法寫出相應的算法.解:（算法1)第一步:移項，得x2—2x=3；①第二步:①式兩邊同加1并配方，得（x-1）2=4；②第三步：②式兩邊開方，得x—1=±2；③第四步：解③,得x=3或x=—1。巧解提示利用公式解決問題是最方便、理想的算法,在尋求算法的過程中，首先要考慮利用現有的公式.（算法2）第一步：計算方程的判別式判斷其符號Δ=22+4×3=16＞0;第二步:將a=1，b=-2，c=—3代入求根公式x=,得x1=3，x2=-1方法歸納下面設計一個求一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法如下：第一步：計算Δ=b2—4ac；第二步:若Δ＜0;第三步：輸出方程無實根；第四步：若Δ≥0；第五步：計算并輸出方程根x1，2=.例4給出求點P(1，3）關于直線l：x+3y+3=0的對稱點的一個算法。思路分析：本題利用點與直線的位置關系，解題時應將直線方程、對稱問題及構造方程等知識綜合運用。解：第一步:由結論：過點P（x0,y0)關于直線l:Ax+By+C=0垂直的直線方程為l′：Bx—Ay=Bx0—Ay0可知，過P（1,3)關于直線l：x+3y+3=0垂直的直線為3x-y=0。第二步：設直線l與直線l′的交點為M（x0,y0）.現構造方程組求M,由由①×3-②,得y=；代入②得，x=，即M（，）.第三步：由中點坐標公式求點P（1,3)關于直線l：x+3y+3=0的對稱點P′易知，M為P與P′的中點，可知P′(×2—1,×2-3),亦即P′（）.第四步：寫出P′.方法歸納這是一道綜合性很強的題目。我們能看到，答案的第一步就是由公式解決問題的一種算法,答案的第二步就是用消元法（代入消元和加減消元）解二元一次方程組的典型算法，這是考查本節知識的常見題型.誤區警示在解決實際問題時，可能會出現這樣的情況：針對某種特殊問題,數學公式是正確的，但按此數學公式設計的計算過程可能會使計算機系統無所適從，這是因為，根據數學公式設計的計算過程只考慮了正常使用的情況,而當出現異常情況時，該計算過程就不能適應了。問題·探究材料信息探究問題如圖1-1-1所示,這是不是一個算法？圖1-1-1探究過程：很多具體的問題都可以設計合理的算法去解決,如心算、計算器計算,這些都要經過有限的、事先設計好的步驟加以解決;在數學上，現代意義上的“算法"通常是指可以用計算機來解決某一類問題的程序或步驟。如何鑒定算法的定義，可從如下兩個方面入手：(1)事情是否完成；（2）步驟是否銜接得當。算法的概念是有普遍性的，它是指完成某項工作的方法和步驟。圖1—1—1中這里只是用圖形語言來闡述算法,我們能看到，它最終完成了一件事；當然很容易想象接下來就免不了縫補之類的事情了.它是有步驟的，分三步走，循序漸進,每一行為都是建立在前一個行為的基礎上完成的.探究結論：如圖1-1—1所示,這是一個算法.交流討論探究問題有的人說算法很難,有的人說算法不難,你要信誰呢？概念似乎很簡單,那如何體會算法的“難”與“易”？探究過程:同學甲:算法作為數學的一個分支，其概念也是渾然天成的，我們只要從他的概念中看到它的具體背景,就不會使概念空洞，理解了概念，算法就有了生命力。同學乙：算法很難，它不是計算方法，而是對某事情步驟的闡述；眾口不一，如何來定標準答案?老師：乙同學的說法是有一定道理的，但事實上，萬物如果定個標準，它就“死"了.就如我們這節的內容，我們只強調用自然語言能有條理地、正確地闡述算法即可。同學丙:算法是易學的，因為它是清楚的,只要按照數學規則，按部就班地學，循序漸進地想，絕對可以學懂，“功夫不負有心人”.同學甲:我想可以這樣來提升乙的觀點：所謂的“標準”，應指對就對，錯就錯，行就行，不行就不行,你不能指鹿為馬，它不存在絲毫的含糊，這樣的知識是很容易把握的，只要我們不“想當然”。老師:事實上，算法我們并不陌生。小學的四則混合運算所遵循的先乘除、后加減的規則,括號的處理規則，都是最初接觸到的算法實例.初中學習的方程組的解法等，也是算法的典型體