思維特訓(四)絕對值與分類討論方法點津·1．由于去掉絕對值符號時，要分三種情況：即正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數，所以涉及絕對值的運算往往要分類討論．用符號表示這一過程為：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0）.))2．由于在數軸上到原點的距離相等的點(非原點)有兩個，一個點表示的數是正數，另一個點表示的數是負數，因此知道某個數的絕對值求該數時，往往需要分兩種情況討論．用符號表示這個過程為：若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝a(a>0)，則x＝±a.3．分類討論的原則是不重不漏，一般步驟為：①分類；②討論；③歸納．典題精練·類型一以數軸為載體的絕對值的分類討論1．已知點A在數軸上對應的數是a，點B在數軸上對應的數是b，且|a＋4|＋(b－1)2＝0.現將點A，B之間的距離記作|AB|，定義|AB|＝|a－b|.(1)|AB|＝________；(2)設點P在數軸上對應的數是x，當|PA|－|PB|＝2時，求x的值．2．我們知道：點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A，B兩點之間的距離AB＝|a－b|，所以式子|x－3|的幾何意義是數軸上表示有理數3的點與表示有理數x的點之間的距離．根據上述材料，回答下列問題：(1)|5－(－2)|的值為________；(2)若|x－3|＝1，則x的值為________；(3)若|x－3|＝|x＋1|，求x的值；(4)若|x－3|＋|x＋1|＝7，求x的值．類型二與絕對值化簡有關的分類討論問題3．在解決數學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數學思想，下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答下列問題：【提出問題】三個有理數a，b，c滿足abc＞0，求eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值．【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數．①當a，b，c都是正數，即a＞0，b＞0，c＞0時，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＋eq\f(c,c)＝1＋1＋1＝3；②當a，b，c中有一個為正數，另兩個為負數時，設a＞0，b＜0，c＜0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＋eq\f(－c,c)＝1－1－1＝－1.所以eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值為3或－1.【探究】請根據上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個有理數a，b，c滿足abc＜0，求eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值；(2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a＋b的值．4．在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根據上面的規律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：①|7－21|＝________；②|－eq\f(1,2)＋0.8|＝________；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,17)－\f(7,18)))＝________．(2)用合理的方法計算：|eq\f(1,5)－eq\f(1,2018)|＋|eq\f(1,2018)－eq\f(1,2)|－|－eq\f(1,2)|＋eq\f(1,1009).5．探索研究：(1)比較下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|________|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通過以上比較，請你分析、歸納出當a，b為有理數時，|a|＋|b|與|a＋b|的大小關系．(直接寫出結論即可)(3)根據(2)中得出的結論，解決以下問題：當|x|＋|－2018|＝|x－2018|時，求x的取值范圍．

詳解詳析1．解：(1)因為|a＋4|＋(b－1)2＝0，所以a＝－4，b＝1，所以|AB|＝|a－b|＝5.(2)當點P在點A左側時，|PA|－|PB|＝－(|PB|－|PA|)＝－|AB|＝－5≠2，不符合題意；當點P在點B右側時，|PA|－|PB|＝|AB|＝5≠2，不符合題意．當點P在點A，B之間時，|PA|＝|x－(－4)|＝x＋4，|PB|＝|x－1|＝1－x.因為|PA|－|PB|＝2，所以x＋4－(1－x)＝2，解得x＝－eq\f(1,2).2．解：(1)7(2)因為|x－3|＝1，所以x－3＝±1，解得x＝2或4.故x的值為2或4.(3)根據絕對值的幾何意義可知，x必在－1與3之間，故x－3＜0，x＋1＞0，所以原式可化為3－x＝x＋1，所以x＝1.(4)在數軸上表示3和－1的兩點之間的距離為4，則滿足方程的x的對應點在－1的對應點的左邊或3的對應點的右邊．若x的對應點在－1的對應點的左邊，則原式可化為3－x－x－1＝7，解得x＝－2.5；若x的對應點在3的對應點的右邊，則原式可化為x－3＋x＋1＝7，解得x＝4.5.綜上可得，x的值為－2.5或4.5.3．解：(1)因為abc＜0，所以a，b，c都為負數或其中一個為負數，另兩個為正數．①當a，b，c都為負數，即a＜0，b＜0，c＜0時，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＋eq\f(－c,c)＝－1－1－1＝－3；②當a，b，c中有一個為負數，另兩個為正數時，設a＜0，b＞0，c＞0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＋eq\f(c,c)＝－1＋1＋1＝1.綜上所述，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值為－3或1.(2)因為|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，所以a＝－3，b＝1或－1，則a＋b＝－2或－4.4．解：(1)①21－7②0.8－eq\f(1,2)③eq\f(7,17)－eq\f(7,18)(2)原式＝eq\f(1,5)－eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2018)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,1009)＝eq\f(1,5).5．解：(1)①因為|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因為|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|＝eq\f(5,6)，|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|＝eq\f(5,6)，所以|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|＝|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|.③因為|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因為|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所