專題11整式的乘除能力提升試題1．數學活動課上，老師準備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．

(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：___________；方法2：___________．(2)請你直接寫出三個代數式：，，之間的等量關系．根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：(3)已知，，求___________．(4)已知，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)16【詳解】（1）解：陰影兩部分求和為，用總面積減去空白部分面積為，故答案為：，；（2）解：由題意得，；（3）解：由（2）題結論可得，，時，，；；（4）解：設，，可得，，，又，且由，可得，．2．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它們的面積，可以得到一個數學等式，例如圖1可以得到．

請解答下列問題：(1)類似圖1的數學等式，寫出圖2表示的數學等式：___________．(2)若，用上面得到的數學等式求的值．(3)小明同學用圖3中的張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張長、寬分別為、的長方形拼出一個面積為的長方形，求的值．【答案】(1)；(2)40；(3)104【詳解】（1）解：圖2中正方形的面積有兩種算法：①；②．．故答案為：．（2），故答案為：40．（3）由題可知，所拼圖形的面積為：，，，，．故答案為：104．3．結合圖形我們可以通過兩種不同的方法計算面積，從而可以得到一個數學等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以得到的數學等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關系進行求值，例如，若x滿足，可設，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F分別是、上的點，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個正方形的面積和，即；方法二：陰影部分也可以看作邊長為的面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，兩種方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：設，，∵x滿足，∴，∵，∴，∴的值為；（4）解：，A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，根據可知要拼出一個面積為的大長方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，則；（5）解：由圖知，，∴，∵長方形的面積是24，∴，設，，則，，由，得，∴，∴，即，∴陰影部分的面積為．4．我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數形結合思想在解決數學問題，理解數學本質上發揮著重要的作用．在一節數學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘．情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含、的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；情境一

情境二乙同學用1塊木片、4塊木片和若干塊木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用含、的式子表示），并求所用木片的數量；情境二

情境三丙同學聲稱自己用以上的，，三種木片拼出了一個面積為的長方形；丁同學認為丙同學的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形．你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形．（要求：所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬）．【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的邊長為，所用木片的數量為；情境三：贊同丁同學的說法，該情況下所拼長方形的長為，寬為，長方形如圖【詳解】解：情境一如圖，設等腰梯形的高為，

，，圖的面積：，圖的面積：，，，故可得到的乘法公式為：；情境二，拼成了一個正方形，當時，，所拼正方形的邊長為，所用木片的數量為；情境三贊同丁同學的說法；去掉個以后，，該情況下所拼長方形的長為，寬為，長方形如圖：

5．通過課堂的學習知道，我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代數式的最小值，．可知當時，有最小值，最小值是，根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數式的最大值為：；(2)若與，判斷的大小關系，并說明理由；(3)已知：，，求代數式的值．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)【詳解】（1）解：，當時，由最大值，為，代數式的最大值為，故答案為：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．6．將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數式的最小值．解：原式．∵，∴．∴當x＝－1時，的最小值是2(1)請仿照上面的方法求代數式的最小值．(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足，，．求△ABC的周長．【答案】(1)10；(2)9【詳解】（1）解：原式．∵，∴．∴當x=3時，的最小值是10；（2）解：由，，可得，∴∴△ABC的周長為：．7．問題發現：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時，采用了以下解法：解：設（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請補全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結果必須是一個具體數值）．【答案】(1)2，5，21；(2)120；(3)﹣1009；(4)44【詳解】（1）解：設（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．（2）設（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，則mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．（3）設（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，則（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．因為t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(222022)÷2=1009．（4）∵∴∵，∴陰影部分的面積為：．8．若x滿足，求的值．解：設，，則，，∴請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足，求的值；(2)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD，DC上的點，且，，長方形EMFD的面積是48，分別以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．【答案】(1)130；(2)28【詳解】（1）解：設，，∴，，∴；（2）解：根據題意可得：，，∴，，設，，∴，，∴，∴，∴．9．[閱讀理解]我們常將一些公式變形，以簡化運算過程．如：可以把公式“”變形成或等形式，問題：若x滿足，求的值．我們可以作如下解答；設，，則，即：．所以．請根據你對上述內容的理解，解答下列問題：(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．【答案】(1)120；(2)2021【詳解】（1）設，，則，所以，（2）設，，則所以，10．閱讀材料：我們知道，圖形也是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表現一些代數中的數量關系，而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題，在一次數學活動課上，高老師準備了若干張如圖所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y，寬為x的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形．(1)觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請你直接寫出這個等式．(2)利用（1）中的等式解決下列問題．①已知a2+b2＝25，a+b＝7，求ab的值；②已知（c﹣512）（520﹣c）＝12，求（c﹣512）2+（520﹣c）2的值．【答案】(1)（x+y）22xy=x2+y2；(2)①12；②40【詳解】（1）解：根據題意得：（x+y）22xy=x2+y2；故答案為：（x+y）22xy=x2+y2；（2）①∵（a+b）22ab=a2+b2，且a2+b2=25，a+b=7，∴492ab=25，解得：ab=12；②∵（c512）（520c）=12，c512+520c=8，∴[（c512）+（520c）]2=（c512）2+（520c）2+2（c512）（520c），即64=（c512）2+（520c）2+24，則（c512）2+（520c）2=40．11．閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝60，求（30﹣x）2＋（x﹣10）2的值．解：設30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝60，a＋b＝（30﹣x）＋（x﹣10）＝20，（30﹣x）2＋（x﹣10）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝202﹣2×60＝280．解決問題：(1)若x滿足（100﹣x）（x﹣95）＝5．則（100﹣x）2＋（x﹣95）2＝；(2)若x滿足（2021﹣x）2＋（x﹣2018）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；(3)如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E．F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)15；(2)﹣1005；(3)96平方單位【詳解】（1）解：設100﹣x＝a，x﹣95＝b，則（100﹣x）（x﹣95）＝ab＝5，∵a＋b＝（100﹣x）＋（x﹣95）＝5，∴（100﹣x）2＋（x﹣95）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15，故答案為：15；（2）解：設2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，則（2021﹣x）＋（x﹣2018）＝3，（2021﹣x）2＋（x﹣2018）2＝a2＋b2＝2019，∴（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝＝＝﹣1005；（3）解：由題意，得FC＝（10﹣x），EC＝（6﹣x），∵長方形CEPF的面積為40，∴（10﹣x）（6﹣x）＝40∴陰影部分的面積和為（10﹣x）2＋（6﹣x）2，設10﹣x＝a，x﹣6＝b，則（10﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣40，a＋b＝（10﹣x）＋（x﹣6）＝4，∴（10﹣x）2＋（x﹣6）2＝（10﹣x）2＋（6﹣x）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96（平方單位），答：圖中陰影部分的面積和為96平方單位．12．配方法是數學中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決問題．定義：若一個整數能表示成（a，b為整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．解決問題：(1)已知29是“完美數”，請將它寫成（a，b為整數）的形式：______；(2)若可配方成（m，n為常數），則______；(3)探究問題：已知，求的值．(4)已知（x，y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出k的值．【答案】(1)；(2)2；(3)1；(4)【詳解】（1）解：∵29是“完美數”，∴29=52+22；（2）解：∵x24x+5=（x24x+4）+1=（x2）2+1，又∵x24x+5=（xm）2+n，∴m=2，n=1，∴mn=2×1=2．故答案為：2；（3）解：x2+y22x+4y+5=0，x22x+1+（y2+4y+4）=0，（x1）2+（y+2）2=0，∴x1=0，y+2=0，解得x=1，y=2，∴x+y=1+（2）=1；（4）解：當k=13時，S是“完美數”，理由如下：S=x2+4y2+4x12y+13=x2+4x+4+4y212y+9=（x+2）2+（2y3）2，∵x，y是整數，∴x+2，2y3也是整數，∴S是一個“完美數”．13．閱讀材料：把形如的二次三項式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項”分別是常數項、一次項、二次項．請根據閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，，求的值；(3)當，何值時，代數式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)第一種：；第二種：；第三種：；(2)；(3)16【詳解】（1）解：第一種：；第二種：；第三種：；（2），，，，，，，；（3），，，，，解得．當，時，代數式的最小值是．14．數形結合是一種非常重要的數學思想，它包含兩個方面，第一種是“以數解形”，第二種是“以形助數”，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微”．請你使用數形結合這種思想解決下面問題：圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，用兩種方法計算陰影部分的面積，可以得到一個等式，請使用代數式，，ab寫出這個等式_____________．(2)運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數，且，，試求的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)4；(3)【詳解】（1）解：如圖2，大正方形的邊長為，因此面積為，小正方形的邊長為，因此面積為，每個長方形的長為，寬為，因此面積為，由面積之間的關系可得：，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：由（1）得，，，；即的值是4；（3）解：設正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，，，兩正方形的面積和，，，，，，陰影部分的面積為．15．如圖1是長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是______；(2)根據（1）中的結論，若，，求的值；(3)拓展應用：若，求的值______．【答案】(1)；(2)16；(3)3【詳解】（1）解：由圖2可知，大正方形的邊長為a＋b，內部小正方形的邊長為b?a，小長方形的長為b，寬為a，∴大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（b?a）2，小長方形的面積為ab，由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個小長方形的面積之和，即（a＋b）2＝（b?a）2＋4ab＝（a?b）2＋4ab．故答案為：（a＋b）2＝（a?b）2＋4ab．（2）∵，，∴（x?y）2＝(x＋y)2?4xy＝52?4×＝16．（3）∵，[（2021?m）＋（m?2022）]2＝（2021?m）2＋（m?2022）2＋2（2021?m）（m?2022），∴1＝7＋2（2021?m）（m?2022），∴（2021?m）（m?2022）＝×(1?7)＝?3．故答案為：3．16．若x滿足(9x)(x4)=4，求(9x)2(x4)2的值．解：設9x=a，x4=b，則(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5∴(9x)2(x4)2=a2+b2=(a+b)22ab=52－24=17請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足，求的值；(2)若x滿足，求的值；(3)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE=1，CF=3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．【答案】(1)130；(2)16；(3)28【詳解】（1）解：設x10=a，x20=b，則（x10）（x20）=ab=15，ab=（x10）（x20）=10，∴（x10）2+（x20）2=a2+b2=（ab）2+2ab=102+2×15=130（2）設x2021=a，x2022=b，則（x2021）2+（x2022）2=a2+b2=33，ab=（x2021）（x2022）=1，∴2（x2021）（x2022）=2ab=（ab）2（a2+b2）=1233=32∴ab=16，即：（x2021）（x2022）=16．（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x1，DF=x3，∴（x1）（x3）=48，∴（x1）（x3）=2，∴陰影部分的面積=FM2DF2=（x1）2（x3）2，設x1=a，x3=b，則（x1）（x3）=ab=48，ab=（x1）（x3）=2，∴（a+b）2=（ab）2+4ab=4+192=196∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x1）2（x3）2=a2b2=（a+b）（ab）=14×2=28即陰影部分的面積是28．17．把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進行拼圖（重合處無縫隙）．(1)如圖2，將四個基本圖形進行拼圖，得到正方形和正方形，用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積（用含a，b的代數式表示），并寫出一個等式；(2)如圖3，將四個基本圖形進行拼圖，得到四邊形，求陰影部分的面積（用含a，b的代數式表示）；(3)如圖4，將圖3的上面兩個基本圖形作為整體圖形向左運動x個單位，再向上運動2b個單位后得到一個長方形圖形，若，把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為，，若，求證：m與x無關．【答案】(1)①S陰影＝(a＋b)2?4ab；②S陰影=(a?b)2?；（a＋b）2?4ab＝（a?b）2；(2)S陰影＝a2?2ab＋b2；(3)見解析【詳解】（1）解：①∵在圖2中，四邊形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積為S正方形＝（a＋b）2．∵四個基本圖形的面積為4ab，∴S陰影＝(a＋b)2?4ab；②∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝a?b，∴S陰影＝EH2＝(a?b)2；∴（a＋b）2?4ab＝（a?b）2．（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四邊形EFGH是正方形，∴S陰影＝MN2?4ab＝(a＋b)2?4ab，即S陰影＝(a＋b)2?4ab＝a2?2ab＋b2．（3）證明：根據圖形可知，AF＝a＋x?2b，m＝S1?S2＝2b?2b＋bx?（a?2b＋x）b?3b?b＝4b2＋bx?（ab?2b2＋bx）?3b2＝4b2＋bx?ab＋2b2?bx?3b2＝3b2?ab∴S與x無關．18．我國著名數學家曾說：數無形時少直覺，形少數時難入微，數形結合思想是解決問題的有效途徑．請閱讀材料完成：(1)算法賞析：若x滿足，求的值．解：設則∴請繼續完成計算．(2)算法體驗：若滿足，求的值；(3)算法應用：如圖，已知數軸上A、B、C表示的數分別是m、10、13．以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，延長ED交FC于P．若正方形ACFG與正方形ABDE面積的和為117，求長方形AEPC的面積【答案】(1)過程見解析，12；(2)1260；(3)54【詳解】（1）解：設則∴=（a+b）22ab=（4）22×2=164=12．（2）解：設，則，a+b=10，；（3）解：正方形ACFG的邊長為13m，面積為（13m）2，正方形ABDE的邊長為10m，面積為（10m）2，則有（13m）2+（10m）2=117，設13m=p，10m=q，則p2+q2=（13m）2+（10m）2=117，pq=13m10+m=3，所以長方形AEPC的面積為：．19．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等，請用配方法解決以下問題．(1)試說明：、取任何實數時，多項式的值總為正數；(2)分解因式：；(3)已知實數，滿足，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【詳解】（1）解：==，∵，，∴x，y取任何實數時，多項式的值總為正數；（2）解：===；（3）解：∵，∴，∴，∴當a=2時，a+b有最小值為1，∴a+b的最小值為1．20．通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：(1)圖中陰影部分的正方形的邊長是______．(2)請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積：方法：______；方法：______．(3)觀察圖，請你寫出、、之間的等量關系是______．(4)根據（3）中的等量關系解決如下問題：若，則______．【答案】(1)；(2)，；(3)；(4)14．【詳解】（1）由拼圖可得，圖中陰影部分的正方形的邊長為，故答案為：；（2）方法一：陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，方法二：陰影部分的面積可以看作從邊長為的正方形面積減去個長，寬為的長方形面積，即故答案為：，（3）由（2）得，，故答案為：；（4），，，故答案為：．21．配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為，所以5是“完美數”．【解決問題】(1)已知29是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式；(2)若可配方成（m、n為常數），則mn＝；【探究問題】(3)已知，則；(4)已知x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．【拓展結論】(5)已知實數x、y滿足，求的最值．【答案】(1)；(2)﹣12；(3)﹣1；(4)S是一個“完美數”，理由見解析；(5)﹣．【詳解】（1）根據題意得：；故答案為：；（2）根據題意得：，，，則；故答案為：；（3）已知等式變形得：，即，，，，，解得：，，則；故答案為：；（4）當時，為“完美數”，理由如下：，，是整數，，也是整數，是一個“完美數”；（5），，即，，當時，最大，最大值為．22．【閱讀理解】“若x滿足，求的值”解：設，，則，，所以【解決問題】(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．(3)如圖，正方形ABCD的邊長為x，，，長方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體的數值）．

【答案】(1)109；(2)；(3)陰影部分的面積為964【詳解】（1）解：設，，則，，∴；（2）解：設，，則，，，，∴．（3）解：∵正方形ABCD的邊長為x，，，∴，，∴，設，，∴，，∴，∴陰影部分的面積為：．23．如圖1是長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請你寫出之間的等量關系：__________；(2)根據（1）中的結論，若，求的值；(3)請求解下面實際問題：如圖3，已知正方形的邊長為，，分別是、上的點，且，長方形的面積是，分別以、為邊長作正方形和正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：∵如圖是一個長為、寬為的長方形，∴圖的長方形面積為：，∵圖的邊長為，圖陰影部分的面積為：，∴，即，故答案為：．（2）解：∵，∴（3）解：∵正方形的邊長為，正方形和正方形，，∴，，，∵長方形的面積是，∴，設，，即，則，∴陰影部分面積，∵，∴（負值舍去），∴，即陰影部分面積為．24．探索：；；；；…(1)第五個等式是；(2)求的值；(3)判斷的值的個位數字是幾．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：第五個等式是，故答案為：．（2）解：；（3）解：，∵的個位數是，的個位數是，的個位數是，的個位數是，的個位數是……，∵∴的個位數是．25．材料一：把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，請你用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（用含a，b的式子表示）：方法一：________________；方法二：________________；對于以上，你能發現什么結論？請用等式表示出來________________（直接寫出等式）（2）利用（1）中所得到的結論，填空：①已知上述等式中的三個字母a，b，c可取任意實數，若，，，且，請利用（1）所得的結論求的值為________；②若三個實數x，y，z滿足，，則的值為________；材料二：若，求m，n的值．解：，，，，，，．問題：（3）若，則的值為________；（4）試探究關于x，y的代數式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此時x，y的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值為2023【詳解】解：（1）將整個圖形當作一個正方形，則面積為，將整個圖形當作9個長方形或正方形，則面積為，∴，故答案為，，；（2）①∵，，，∴，∵，，∴，∴故答案為②∵，∴，∴即，∵，∴，故答案為；（3）∵，∴即∴，∴，∴，故答案為：4（4）存在，原式

當，時，原式最小，，原式最小值為2023．26．若x滿足，求的值．解：設，，則，，所以．請運用上面的方法求解下面的問題：(1)若x滿足若，則的值為_____．(2)已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點，且，，長方形的面積是，則長方形的周長為_____．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）解：設，，則，，，故答案為：；（2）依題意得：，，則，設，，則，，∴，，，∴則長方形的周長為：，故答案為：．27．數學課上，老師準備了三種紙片，如圖1中邊長分別為a、b的正方形紙片A、B，以及長為b、寬為a的長方形紙片C，觀察圖形并解答下列問題：圖1

圖2

圖3(1)小玲想用圖1的三種紙片拼出一個面積為的大長方形，則需要A紙片張，B紙片張，C紙片張（空格處填寫數字）(2)①觀察圖2，請寫出下列三個代數式，，之間的等量關系：_______________.②根據①中的關系，若x滿足，則的值為．(3)已知正方形的邊長為x，E，F分別是上的點，且，長方形的面積是8，分別以為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)3，1，4；(2)①；②7；(3)12【詳解】（1）解：由圖知A紙片面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，∵∴需要A紙片3張，B紙片4張，C紙片1張；故答案為：3，4，1（2）解：①根據面積法可得故答案為：②設，，則，∵，∴，故答案為：7（3）解：由圖知∵長方形的面積是8，，設則，由，得，即，∴陰影部分的面積為1228．知識生成：我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：(1)直接應用：若，直接寫出的值______；(2)類比應用：填空：①若，則______；②若，則_______；(3)知識遷移，兩塊完全相同的特制直角三角板（）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD，若，求一塊三角板的面積．【答案】(1)11；(2)1，20；(3)一塊直角三角板的面積為34．【詳解】（1）解：，，故答案為：；（2）解：①設，，則，，，故答案為：1；②設，，則，，，故答案為：20；（3）解：設，，，，，，即，，，即，，答：一塊直角三角板的面積為34．29．如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是________；(2)利用（1）中的結論，若，，求的值；(3)如圖3，點C是線段上的一點，分別以、為邊在的同側作正方形和正方形，連接、、，當時，的面積記為，當時，的面積記為，以此類推，當時，的面積記為，計算的值．【答案】(1)；(2)16；(3)【詳解】（1）由圖1和圖2中矩形的面積為等量得：故答案為：；（2）由（1）中公式可得：．同理可得：；（3）連接，在正方形和正方形中，，，∴和的邊上的高相等，．當時，，當時，，……當時，，∴．30．閱讀：在計算的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問題的一般方法，數學中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：【觀察】①；②；③；……(1)【歸納】由此可得：________；(2)【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：_______；(3)計算：______；(4)若，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【詳解】（1）解：①；②；③；……；∴，故答案為：；（2）解：；（3）解：；故答案為：；（4）解：∵，∴，∵，∴，∴．31．【觀察】如圖①是一個長為、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖②所示，請直接寫出，，之間的等量關系____________________________；【應用】若，，則_______________；【拓展】如圖③，正方形的邊長為x，，，長方形的面積是200，四邊形和四邊形都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部分的面積．【答案】觀察：；應用：；拓展：900【詳解】解：觀察：由圖形知，大正方形的面積為，中間小正方形的面積為，大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a，b的長方形面積，∴，故答案為：；應用：∵，∴，將，代入得：，∴，∴，故答案為：；拓展：∵正方形的邊長為x，∴，，∴，設，，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為900．32．閱讀理解并解答：在學完乘法公式后，王老師向同學們提出了這樣一個問題：你能求代數式的最大值嗎？【初步思考】同學們經過交流、討論，總結出如下方法：解：因為，所以．所以當時，的值最大，最大值是0.所以當時，的值最大，最大值是4.所以的最大值是4【嘗試應用】(1)求代數式的最大值，并寫出相應的的值．(2)已知，，請比較與的大小，并說明理由．【拓展提高】(3)將一根長的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和有無最?。ɑ蜃畲螅┲?？若有，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度；若沒有，請說明理由．【答案】(1)的最大值為14，此時的值為2．(2)，理由見解析；(3)這兩個正方形面積之和有最小值，此時兩段鐵絲的長度均為，面積之和為【詳解】（1）解：，，，當時，有最大值，最大值為，解得：，的最大值為14，此時的值為2．（2）解：，理由如下：，，，當時，有最小值2，（3）解：設一段鐵絲的長度為，則另一段鐵絲的長度為，根據題意得：，，時，有最小值，解得：，則，這兩個正方形面積之和有最小值，此時兩段鐵絲的長度均為，面積之和為．33．知識生成：我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如：由圖①可以得到，基于此，請解答下列問題：(1)直接應用：若，，直接寫出的值為___________；(2)類比應用：填空：①若，則___________；②若，則___________；(3)知識遷移：如圖②，一農家樂準備在原有長方形用地（即長方形）上進行裝修和擴建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以，為邊分別向外擴建正方形、正方形的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為，求原有長方形用地的面積．

【答案】(1)；(2)①②；(3)【詳解】（1）解：，，故答案：．（2）解：①，，，故答案：；②因為，所以，，，，故答案：．（3）解：設，，則，所以；由題意得，因為，所以，所以．所以原有長方形用地的面積為．34．圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關系．(3)運用你所得到的公式，計算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非負數的性質求代數式的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)①，②；(4)【詳解】（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；故答案為：；（2）根據題意，方法1：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個長方形面積，即；方法2，陰影部分小正方形的邊長為，則面積為；∴；故答案為：；（3）由（2）知：,，①；②∵；∴；（4）∵，，∴代數式的最小值為．35．我國當代著名數學家華羅庚先生有一首關于數形結合的詞：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．數無形時少直覺，形少數時難入微．數形結合百般好，隔離分家萬事非，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離!”．這首小詞形象、生動、深刻地指明了“數形結合”的價值，也揭示了“數形結合”的本質，而數形結合的方法是我們解決數學問題常用到的思想方法．如圖，我們通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．

(1)圖中所表示的數學等式為；(2)利用（1）中得到結論，解決問題：①已知，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)①2；②12【詳解】（1）解：（1）由圖形可得大正方形的面積為，還可以表示為，故答案為：（2）解：①已知，則．

②，故答案為：①2，②1236．閱讀理解：若滿足，求的值．解：設，，則，．∴；類比探究：（1）若滿足，求的值．（2）若滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過逆用積的乘方公式變成．（3）若滿足，求的值．解決問題：（4）如圖，正方形和長方形重疊，重疊部分是長方形其面積是，分別延長、交和于、兩點，構成的四邊形和都是正方形，四邊形是長方形設，，，，延長至，使，延長至，使，過點、作、垂線，兩垂線交于點，求正方形的面積（結果是一個具體的數值）

【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636【詳解】解：（1）設，，則，，，的值為2560；（2）∵，，，設，，則，，，的值為；（3）設，，則，，，，的值為；（4）∵，，，，，，長方形的面積是，，由題意得：，，，，，，，，設，，則，，正方形的面積，正方形的面積為3636．37．【閱讀材料】配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成（、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，是“完美數”．理由：因為，所以是“完美數”．【解決問題】(1)數61“完美數”（填“是”或“不是”）；【探究問題】(2)已知，則；(3)已知（、是整數，是常數），要使為“完美數”，試求出符合條件的值；【拓展結論】(4)已知、滿足，求的最小值．【答案】(1)是；(2)；(3)；(4)【詳解】（1）解：∵，∴是“完美數”，故答案為：是；（2）解：∵，∴，，∴，故答案為：；（3）解：∵，為“完美數”，∴∴；（4）解：∵，∵，∴，∴，∴當，時，的最小值為：．38．【閱讀材料】“數形結合”是一種非常重要的數學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數形結合”的思想方法，可以從代數角度解決圖形問題，也可以用圖形關系解決代數問題．

【方法應用】根據以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為．【答案】(1)；(2)155；(3)①見解析；②9；(4)【詳解】（1）解：由圖2知，∵大長方形的面積，大長方形的面積3個小正方形的面積+3個小長方形的面積，∴；由圖3知，∵大正方形的面積，大正方形的面積＝3個正方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積，∴；故答案為：，．（2）∵由（1）知：，∴，，把代入，．故答案為：155．（3）①∵，可以看成2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成的大長方形的面積，如圖：

②由①知：，∴．故答案為：9．（4）3張邊長為a的正方形紙片的面積為，4張邊長分別為的長方形紙片的面積為，5張邊長為b的正方形紙片的面積為，要想從中取出若干張紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則選取的紙片的面積和必須構成完全平方式，∴可以選取1張邊長為a的正方形紙片、2張邊長分別為的長方形紙片、1張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為，此時正方形的邊長，也可以選取1張邊長為a的正方形紙片、4張邊長分別為的長方形紙片、4張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為，此時正方形的邊長，∴拼成的正方形的邊長最長為．故答案為：．39．【知識生成】【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：【直接應用】（1）若，，求的值；【類比應用】（2）填空：①若，則；②若，則；【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板如圖2所示放置，其中，，在一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30．【詳解】解：（1），∴，∴，∵，，答：；（2）①設，，則，，，故答案為：7；②設，，則，，，故答案為：3；（3）設，，，，，，即，，，即，，答：一塊直角三角板的面積為30．40．定義：任意兩個數a，b，按規則運算得到一個新數c，稱所得的新數c為a，b的“和積數”．(1)若，，求a，b的“和積數”c；(2)若，，求a，b的“和積數”c；(3)已知，且a，b的“和積數”，求b（用含x的式子表示）并計算的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)，有最小值為．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴a，b的“和積數”；（2）解：∵，且，，∴,∴．∴或；即或；（3）解：由題意，，∵，，∴．①若，式子變為．∴b為任何數，不存在最小值；②若，又，∴，∴，∴．∴當時，有最小值為．41．先閱讀下面的內容，再解決問題：對于形如，這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，無法直接用公式法．于是可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整