2025屆浙江省湖州市示范初中高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態下x=0，d=0，則（）A.當x增大時，θ先增大后減小 B.當x增大時，θ先減小后增大C.當d增大時，θ先增大后減小 D.當d增大時，θ先減小后增大2．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.3．在直角坐標系中，直線的傾斜角是A.30° B.60°C.120° D.150°4．設變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－25．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.6．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.7．一個袋中裝有大小和質地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是8．與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.9．已知一質點的運動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A. B.C. D.10．正三棱錐的側面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.12．已知直線l和拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，且，交AB于點D，點D的坐標為，則p的值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數滿足，則的最小值是__________.14．若、是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.15．若不等式的解集是，則的值是___________.16．等比數列的各項均為正數，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點，若坐標原點總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.18．（12分）記為等差數列的前n項和，已知.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.19．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點為，，且長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，兩點，求弦長.20．（12分）已知拋物線的焦點為，點為坐標原點，直線過定點（其中，）與拋物線相交于兩點（點位于第一象限.（1）當時，求證：；（2）如圖，連接并延長交拋物線于兩點，，設和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.21．（12分）某品牌餐飲公司準備在10個規模相當的地區開設加盟店，為合理安排各地區加盟店的個數，先在其中5個地區試點，得到試點地區加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業額（萬元）的數據如下：加盟店個數（個）12345單店日平均營業額（萬元）10.910.297.871（參考數據及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業額（萬元）與所在地區加盟店個數（個）的線性回歸方程；（2）根據試點調研結果，為保證規模和效益，在其他5個地區，該公司要求同一地區所有加盟店的日平均營業額預計值總和不低于35萬元，求一個地區開設加盟店個數的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規定，他們只能分別從其他五個地區（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區加入，求他們選取的地區相同的概率.22．（10分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統計數據如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數據可知，可用線性回歸模型擬合與關系．請用相關系數加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數據：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數研究函數的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數在是為減函數，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數，故為增函數，當時，為增函數，故為減函數，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數，故為減函數，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.2、A【解析】根據題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設球的半徑為cm，根據已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點睛】本題主要考查球的體積公式的應用，以及球的結構特征的應用，屬于基礎題3、D【解析】根據直線方程得到直線的斜率后可得直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，則，因，故，故選D.【點睛】直線的斜率與傾斜角的關系是：，當時，直線的斜率不存在，注意傾斜角的范圍.4、D【解析】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數形結合即得解【詳解】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當直線經過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D5、B【解析】根據雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.6、D【解析】根據題意作出示意圖，然后結合余弦定理解三角形即可求出結果.【詳解】設爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側，，,，設，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.7、C【解析】對選項A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對選項D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對選項A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對選項D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯誤故選：C8、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C9、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質點在第1秒末的瞬時速度為.故選：C10、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側面都是直角三角形，E，F分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面PEF的法向量，則，取，得，設PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.11、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.12、B【解析】由垂直關系得出直線l方程，聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理以及數量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯立直線和拋物線方程得設，則解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】利用“1”代換，結合基本不等式求解.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最小值8.故答案為：8.14、【解析】根據雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關系式轉化為關于或的方程，從而得到離心率的值.15、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數的關系可得：，所以，所以，故答案為：16、10【解析】由等比數列的性質可得，再利用對數的性質可得結果【詳解】解：因為等比數列的各項均為正數，且，所以，所以故答案為：10三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）由已知計算可得即可得出方程.（2）由已知可得聯立方程，結合韋達定理計算即可得出結果.【小問1詳解】依題得解得：橢圓的方程為.【小問2詳解】由已知動直線與橢圓相交于、，設聯立得：解得：，即：或（*）坐標原點總在以為直徑的圓外則：,即將（*）代入此式，解得：，即或或18、（1）（2）【解析】（1）設數列的公差為d，由，利用等差數列的前n項和公式求解；（2）利用等差數列的前n項和公式結合二次函數的性質求解.【小問1詳解】解：設數列的公差為d，∵，∴，解得2，∴.【小問2詳解】由（1）知2，∴，，，∴當時，取得最小值-16.19、（1）（2）【解析】（1）由已知直接可得；（2）聯立方程組求出A，兩點坐標，再由兩點間距離公式可得.【小問1詳解】∵橢圓的中心在原點，焦點為，且長軸長為4，，，，故橢圓的方程為；【小問2詳解】設，聯立解得和，，∴弦長.20、（1）證明見解析；（2）是定值，定值為.【解析】（1）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再利用韋達定理求出，即得證；（2）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再求出，，即得解.【詳解】