2025屆黑龍江省哈爾濱市高二數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列滿足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.62．直線經過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.3．一個幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內放置一個高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為（）A. B.C. D.14．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.5．某社區醫院為了了解社區老人與兒童每月患感冒的人數y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關系，隨機統計了某4個月的患病（感冒）人數與當月平均氣溫，其數據如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數據算出線性回歸方程中的，氣象部門預測下個月的平均氣溫約為9℃，據此估計該社區下個月老年人與兒童患病人數約為（）A.38 B.40C.46 D.586．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.8．（）A.-2 B.0C.2 D.39．已知拋物線上的一點，則點M到拋物線焦點F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.210．已知集合，則（）A. B.C. D.11．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.412．如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為____________________.14．已知等差數列的公差，等比數列的公比q為正整數，若，，且是正整數，則______15．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數列，則此橢圓的離心率為___________16．螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續各直角三角形面積依次為，…，，若數列的前n項和恒成立，則實數的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積18．（12分）已知函數.（1）求函數f(x)的單調區間；（2）若f(x)≥0對定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍.19．（12分）已知是等差數列，，.（1）求的通項公式；（2）設的前項和，求的值.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設點P在直線上，過點P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點和M，N兩點，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和21．（12分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.22．（10分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點，D為上一點（1）求證：；（2）當D為中點時，求平面ADC與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意，由于，可知數列是公差為-3的等差數列，則可知d=-3,由于=，故選A2、A【解析】由兩點坐標求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A3、B【解析】根據題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時，長方體體積最大，設出長方體的長和寬，得到等量關系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內接長方體時，體積最大，此時長方體的體對角線為球的直徑，設長方體長為，寬為，則由題意得：，解得：，而長方體體積為，當且僅當時等號成立，故選：B4、C【解析】由角平分線的性質可得，結合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C5、B【解析】由表格數據求樣本中心，根據線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數.【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當時，.故選：B.6、A【解析】根據得出，根據充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.7、A【解析】根據三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A8、C【解析】根據定積分公式直接計算即可求得結果【詳解】由故選：C9、B【解析】將點代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點代入拋物線方程可得，解得則故選：B10、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設，，∴.故選：C.11、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標，再用兩點間距離公式進行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B12、D【解析】將用基底表示，然后利用空間向量數量積的運算性質可求得結果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，，則.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意，設所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.14、【解析】由已知等差、等比數列以及，，是正整數，可得，結合q為正整數，進而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數，有，又為正整數，所以當時，解得，當時，解得不是正整數，故答案為：15、【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數與方程，轉化與化歸思想.利用橢圓及等比數列的性質解題.由橢圓的性質可知：，，.又已知，，成等比數列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程，然后化為有關的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等.16、或【解析】先求正方形邊長的規律，再求三角形面積的規律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內依次各正方形的邊長分別為，則，，……，，于是數列是以4為首項，為公比的等比數列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】【小問1詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，D為BC的中點，所以,又,所以平面【小問2詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.18、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求導數，然后對進行分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間；（2）利用（1）中函數的單調性，求得函數在處取得最小值，即可求實數的取值范圍.【小問1詳解】解：求導可得①時，令可得，由于知；令，得∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；②時，令可得；令，得或，由于知或；∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；③時，，函數在上單調遞增；④時，令可得；令，得或，由于知或∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】由（1）時，，（不符合，舍去）當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故函數在處取得最小值，所以函數對定義域內的任意x恒成立時，只需要即可∴.綜上，.19、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據等差數列的通項公式求出數列的通項公式；（2）利用等差數列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，，數列的通項為；（2）數列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的求解，考查等差數列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結合可求解；（2）設直線AB的方程為：，與橢圓聯立，得到，同理得，再根據題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以，所以①又因為過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因為點P在直線上，所以設點，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因為，，所以，同理可得，又因為，所以，又因為，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因為，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為021、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當直線斜率不存在時，知與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得，由此可得方程；（2）當直線斜率不存在時，知與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，利用垂徑定理可構造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當直線斜率不存在，即時，與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問2詳解】當直線斜率不存在，即時，與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，設