第11題與圓有關的最值問題一、原題呈現【原題】已知點在圓上,點、,則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時,D.當最大時,【答案】ACD【解析】圓的圓心為,半徑為,直線的方程為,即,圓心到直線的距離為,所以,點到直線的距離的最小值為,最大值為,A選項正確,B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時,與圓相切,連接、,可知,,,由勾股定理可得,CD選項正確.故選ACD.【就題論題】本題涉及的與圓有關的最值問題是高考的熱點問題.由于圓既能與平面幾何相聯系,又能與圓錐曲線相結合,命題方式比較靈活,故與圓相關的最值問題備受命題者的青睞.在運動變化中,動點到直線、圓的距離會發生變化,圓上點到動直線的距離也會發生變化,在變化過程中,就會出現一些最值問題,如距離、角最小,最大等.這些問題常常聯系到平面幾何知識,利用數形結合思想可直接得到相關結論,解題時便可利用這些結論直接確定最值問題,故在此提醒考生解題時千萬不要得“意”忘“形”.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查圓的方程及直線與圓的位置關系,考查直觀想象、邏輯推理及數學抽象的核心素養.難度：中等【考情分析】圓的方程及直線與圓的位置關系一直是高考熱點,通常作為客觀題考查,長度、面積的計算,參數問題及最值問題是考查熱點.【得分秘籍】(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質數形結合求解．注意圓的弦長或切線段的長通常利用勾股定理轉化為圓心到直線距離或點到圓心距離(2)與圓上點(x,y)有關代數式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題,可轉化為過點(a,b)和點(x,y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題,可轉化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題,可轉化為動點到定點(a,b)的距離平方的最值問題．(3)與距離最值有關的常見的結論：=1\*GB3①圓外一點到圓上距離最近為,最遠為；=2\*GB3②過圓內一點的弦最長為圓的直徑,最短為該點為中點的弦；=3\*GB3③直線與圓相離,則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為；=4\*GB3④過兩定點的所有圓中,面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積.=5\*GB3⑤直線外一點與直線上的點的距離中,最短的是點到直線的距離；=6\*GB3⑥兩個動點分別在兩條平行線上運動,這兩個動點間的最短距離為兩條平行線間的距離.(4)與圓有關的面積的最值問題或圓中與數量積有關的最值問題,一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系,借助函數求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有時可以通過轉化思想,利用數形結合思想求解.【易錯警示】不善于借助圖形進行分析,導致解法方法錯誤不善于運用圓的幾何性質進行轉化,導致運算量過大,以致運算失誤三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021山東省淄博市高三一模）圓截直線所得的最短弦長為（）A． B． C． D．22．（2021江蘇省百師聯盟高三下學期3月聯考）已知圓,過原點的直線與圓相交于兩點,則當的面積最大時,直線的方程為（）A．或 B．或C．或 D．3．（2021湖南省郴州市高三下學期3月第三次質量監測）設點在圓外,若圓上存在點,使得,則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021福建省龍巖市高三5月模擬）已知是圓：外一點,過作圓的兩切線,切點為,,則的最小值為（）A． B． C．2 D．5．（2021福建省寧德市高三第一次質量檢查）已知點,若過點的直線l交圓于C：于A,B兩點,則的最大值為（）A．12 B． C．10 D．6．（2021河北省邯鄲市高三三模）已知點P在直線上,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則點到直線AB距離的最大值為（）A． B． C．2 D．7．（2021江蘇省蘇州市高三5月三模）在平面直角坐標系xOy中,點Q為圓M：上一動點,過圓M外一點P向圓M引-條切線,切點為A,若|PA|=|PO|,則的最小值為（）A． B． C． D．8．（2021山東省濟寧市高三二模）“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語．例如在平面直角坐標系中,點、的曼哈頓距離為：．若點,點為圓上一動點,則的最大值為（）A． B． C． D．9．（2021山東省日照市高三第二次模擬）若實數滿足條件,則的范圍是（）A． B． C． D．10．（2021江蘇省南通市高三階段性測試）在平面直角坐標系中,給定兩點,,點在軸的正半軸上移動,當取最大值時,點的橫坐標為（）A． B． C． D．11．（2021湖南省懷化市高三下學期3月一模）若實數滿足,則最大值是（）A．4 B．18 C．20 D．2412．（2021湖北省鄂州高三3月月考）已知直線與直線相交于點,線段是圓的一條動弦,且,則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題13．（2021山東省淄博市高三三模）已知圓和圓的交點為,,則（）A．圓和圓有兩條公切線B．直線的方程為C．圓上存在兩點和使得D．圓上的點到直線的最大距離為14．（2021江蘇省南通學科基地高三全真模擬）集合在平面直角坐標系中表示線段的長度之和記為.若集合,,則下列說法中正確的有（）A．若,則實數的取值范圍為B．存在,使C．無論取何值,都有D．的最大值為15．（2021河北省滄州市高三三模）已知點,若過點的直線交圓：于,兩點,是圓上一動點,則（）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為16．（2021河北省張家口市、滄州市高三下學期二模）已知直線與圓,則下列說法中正確的是（）A．直線l與圓M一定相交B．若,則直線l與圓M相切C．當時,直線l與圓M的相交弦最長D．圓心M到直線l的距離的最大值為三、填空題17．（2021湖北省襄陽市高三5月第二次模擬）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是：已知動點M與兩個定點A?B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：x2+y2=1和點,點B(4,2),M為圓O上的動點,則2|MA|+|MB|的最小值為___________18．（2021華大新高考聯盟高三下學期3月教學質量測評）已知點在拋物線：上運動,圓過點,,,過點引直線,與圓相切,切點分別為,,則的取值范圍為__________.19．（2021湖南省益陽市高三下學期4月模擬）已知圓O：x2+y2=1,A(3,3),點P在直線l：x﹣y=2上運動,則|PA|+|PO|的最小值為___________.20．（2021江蘇省南通市高三下學