第02講等腰三角形（5類題型）課程標準學習目標1.等腰三角形的概念；2.等邊對等角；1．使學生了解等腰三角形的有關概念。2．通過探索等腰三角形的性質，使學生掌握等腰三角形的軸對稱性。3、進一步經歷觀察、實驗、推理、交流等活動。知識點01：等腰三角形概念定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。【即學即練1】（2023秋·浙江·八年級專題練習）等腰三角形的周長為20cm，一邊為8cm，則腰長為（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【即學即練2】（2023秋·浙江金華·九年級統考期末）下列每組數分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成一個等腰三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，題型01等腰三角形的定義1．（2023秋·遼寧盤錦·九年級校考開學考試）一個等腰三角形的兩邊長為8和10，則它的周長m的取值為（）A．26或28 B．26 C．28 D．2．（2023秋·八年級課時練習）若是等腰三角形，，則的度數是（

）A．或 B．或C．或 D．或或3．（2023秋·全國·八年級課堂例題）（1）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為6，則它的周長為；（2）已知等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為6，則它的周長為．4．（2023春·四川成都·七年級校考期中）已知等腰的三邊長，，，且滿足：，求的周長為．5．（2023春·云南·七年級統考期中）已知，，分別為的三邊長，，滿足，且為方程的解，請先判斷的形狀，再說明理由．題型02根據等邊對等角求角度1．（2023春·福建寧德·八年級校考期末）如圖所示，線段的垂直平分線交線段于點，，則的大小是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，點分別在上，，則的度數是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·北京海淀·八年級校考開學考試）如圖，在中，，為邊上一點，于，連接，，若，則．

4．（2023春·河北保定·八年級統考階段練習）如圖，在中，點D在邊上，，，則，

5．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在中，，，點D是底邊的中點，，求的度數．

題型03根據等邊對等角證明1．（2023春·重慶南岸·七年級統考期末）如圖，若，點在邊上，則下列結論中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在等腰中，，是邊上的高，點是高上任意一點，點是邊上任意一點，，，，則的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判斷，等腰三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．3．（2023春·福建寧德·七年級統考期末）如圖，在中，，點D在上，．若，則．

4．（2023·河北廊坊·校考三模）如圖，，，將折疊，使邊落在邊上，若點的落點恰好是中點，則°；折痕是的（填“中線”或“角平分線”）．

5．（2023秋·福建漳州·八年級統考期末）如圖，已知是延長線上的點．(1)過點在射線右側作；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求證：平分．題型04根據三線合一求解1．（2023秋·福建莆田·八年級校考開學考試）如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點E，，，則的面積是（

）

A． B． C．8 D．62．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，是上一點，，垂直平分，于點，的周長為，，則的長為（）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．63．（2023春·湖南株洲·七年級株洲二中校考期末）如圖，在中，，是邊上的中線，，垂足為E，若，則的度數為．

4．（2023春·山東濟南·七年級統考期末）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是14，腰的垂直平分線分別交，邊于，點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為；

5（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯考期末）在中，點是邊上的兩點．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設，．①猜想與的數量關系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數．題型05根據三線合一證明1．（2023春·甘肅張掖·七年級校聯考期末）高臺縣崇文樓始建2011年，取“崇文尚德·大運高臺”之意，總高米，由臺明、樓身和寶頂三部分組成．建這座樓的主要目的是為了延續高臺人杰地靈、源遠流長的文脈，在當今文化大發展時代，激勵莘莘學子努力學習、求學上進，將來回報和建設家鄉、建設祖國．如圖，“崇文樓”的頂端可看作等腰三角形，，D是邊上的一點．下列條件不能說明是的角平分線的是（

）

A． B． C． D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長線于點，若恰好平分，．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論共有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2023·全國·八年級假期作業）聰明的小斐同學這樣檢查他的課桌桌面是否水平：如圖，在等腰直角三角尺斜邊中點O處拴一條繩，繩的另一端掛一個重物，把這塊三角尺的斜邊貼在桌面底部，結果繩子經過三角尺的直角頂點，由此得出桌面是水平的（即掛重物的繩與桌面垂直），小斐用到的數學原理是．4．（2023春·上海·七年級專題練習）如圖，在等腰△ABC中，BA＝BC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE＝3cm，則P點到直線AB的距離為．5．（2023春·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，在中，點、、分別在邊、、上，，，垂足為點，．(1)說明的理由；(2)若，請說明的理由．A夯實基礎1．（2023秋·河北張家口·八年級統考期末）是等腰三角形，，則的周長為（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或192．（2023秋·八年級課時練習）等腰三角形的周長為，如果它的一邊長為，那么其另兩邊長為（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023秋·河南鄭州·八年級統考期末）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中，工人師傅在焊接立柱時，只用找到的中點D，這就可以說明豎梁垂直于橫梁了，工人師傅這種操作方法的依據是（

）

A．等邊對等角 B．等角對等 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”4．（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯考期末）如圖，在中，，點E是斜邊的中點，垂直于，交于點D，連接，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·四川成都·七年級成都實外校考期末）一個等腰三角形有兩邊分別為4和9，則周長是．6．（2023·福建福州·校聯考模擬預測）若等腰三角形兩邊的長分別為和，則此三角形的周長是.7．（2023春·湖南益陽·八年級校考期中）如圖，為等腰直角三角形，，延長至點，連接，，則=．8．（2023春·山東菏澤·八年級牡丹區實驗中學校考階段練習）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值k稱為這個等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，則頂角為．9．（2023·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）如圖，已知中，，．請用尺規作圖法，在上找一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

10．（2023春·廣東揭陽·七年級期末）如圖，已知中，，，且平分．

(1)求證：；(2)若，求的度數．B能力提升1．（2023春·山東煙臺·九年級統考期中）如圖，點在點的北偏西方向，點在點的正東方向，且點到點與點到點的距離相等，則點相對于點的位置是

A．北偏東 B．北偏東 C．南偏西 D．南偏西2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是(

)

A． B． C． D．3．（2023·河北滄州·校考模擬預測）在證明等腰三角形的性質定理：“等腰三角形的兩底角相等”時，李老師在黑板上出示了“已知，在中，，求證：．甲同學做法：“作的平分線，利用“”證明，則”；乙同學做法：“作邊上的高，利用“”證明，則”；丙同學做法：“作邊上的中線，利用“”證明，則”；下列說法正確的是(

)A．甲、乙、丙做法都對 B．甲、乙、丙做法都不對C．只有乙做法不對 D．只有丙做法不對4．（2023春·四川達州·八年級校考期中）如圖，在中，，是邊的垂直平分線，垂足為E，交于F，是邊的垂直平分線，垂足為M，交于N．連接、則的度數是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）已知等腰三角形兩邊長分別為2和3，則這個等腰三角形的周長為．6．（2023春·河南新鄉·七年級統考階段練習）等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形有以下四類線：①底邊上的高②頂角的平分線③底邊上的中線④底邊上的垂直平分線．其中是等腰三角形的對稱軸的有個．7．（2023秋·福建莆田·八年級校考開學考試）如圖，點B，D在射線上，點C，E在射線上，且，已知，則°．

8．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）如圖，在一張紙片上將翻折得到三角形，并以為邊作等腰，其中，且E，A，C三點共線，，則的度數是．

9．（2023春·山東濟南·八年級校考階段練習）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E．

(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數；10．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）如圖，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點，與相交于點F．(1)若的周長為cm，求的長；(2)若，求的度數．C綜合素養1．（2023秋·河南開封·八年級校考期末）如圖，在中，，．分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于D，E兩點，直線交于點F，連接．以點A為圓心，為半徑畫弧，交延長線于點G，連接．若的周長為12，則的長為（

）

A．6 B． C．7 D．2．（2023秋·河南漯河·八年級校考期末）如圖，，點D在邊上，，和相交于點O，若，則的度數為（

）

A．71° B．69° C．67° D．65°3．（2023春·四川成都·八年級校考期中）已知等腰三角形的兩邊長分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或154．（2023秋·重慶南岸·八年級校考期末）如圖，中，，，為邊上一點（不與、重合），將沿翻折得到，交于點．若為等腰三角形，則為（

）A． B．或 C． D．或5．（2023春·甘肅張掖·七年級校考期末）若，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長是．6．（2023春·四川成都·七年級校考期中）如圖，在等腰三角形與等腰三角形中，，連接交于點P，則的度數為°．7．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在三角形紙片中，．把沿著翻折，點落在點處，連接．如果，則的度數是．8．（2023春·江西撫州·七年級統考期末）如圖，在中，，，射線于點D，點M為射線上一點，如果點M滿足三角形為等腰三角形，則的度數為．

9．（2023秋·福建莆田·八年級校考開學考試）已知如圖，為的角平分線，且，E為