第08講圖形的軸對(duì)稱（4種題型）【知識(shí)梳理】一．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．二．軸對(duì)稱圖形（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．（3）常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．三．作圖軸對(duì)稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．四．軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題1、最短路線問(wèn)題在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．【考點(diǎn)剖析】一．軸對(duì)稱的性質(zhì)例1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長(zhǎng)＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故選：B．【變式】如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個(gè)角是50°，則∠B＝度．【解答】解：連接AP、BP，如圖：∵點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時(shí)，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時(shí)，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．二．軸對(duì)稱圖形例2.如圖圖案中，成軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【變式1】如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個(gè)涂黑，使得3個(gè)涂黑的正方形成軸對(duì)稱圖形，則選擇的方法有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【解答】解：如圖，將圖中剩余的編號(hào)為1至7的小正方形中任意一個(gè)涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，故選：C．【變式2】如圖1，?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，?ABCD的面積為120，AD＝20．將△AOD、△COB合并（A與C、D與B重合）形成如圖2所示的軸對(duì)稱圖形，則MN+PQ＝（）A．29 B．26 C．24 D．25【解答】解：如圖，連接PQ，則可得對(duì)角線PQ⊥MN，且PQ與平行四邊形的高相等．∵平行四邊形紙片ABCD的面積為120，AD＝20，∴MN＝AD＝20，12∴PQ＝6，又MN＝20，∴MN+PQ＝26，故選：B．三．作圖軸對(duì)稱變換例3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根據(jù)上述信息在圖中畫(huà)平面直角坐標(biāo)系，并求出△ABC的面積；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱圖形△A1B1C1．【解答】解：（1）如圖所示，△ABC的面積＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．【變式1】如圖都是3×3的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫(huà)圖：（1）在圖①中，畫(huà)一條線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對(duì)稱，且M、N為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫(huà)一個(gè)△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對(duì)稱，且D、E、F為格點(diǎn)，并寫出符合條件的三角形共有個(gè)．【解答】解：（1）如圖①所示，線段MN即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②所示，△DEF即為所求（答案不唯一），符合條件的三角形共有4個(gè)，故答案為：4．【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：A，B．．（2）在圖中作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1．（3）求△ABC的面積．【解答】解：（1）由圖知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案為：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（3）△ABC的面積為3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【變式3】如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別為A（1，3），B（4，5），C（1，5），先將△ABC以第一象限的角平分線所在直線為對(duì)稱軸通過(guò)軸對(duì)稱得到△A′B′C′，再將△A′B′C′以x軸為對(duì)稱軸通過(guò)軸對(duì)稱得到△A″B″C″．（1）畫(huà)出△A″B″C″；（2）寫出A″，B″，C″三點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）一般地，某一點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)這樣的兩次軸對(duì)稱變換后得到的點(diǎn)P″的坐標(biāo)為．【解答】解：（1）如圖，△A″B″C″即為所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）點(diǎn)P″的坐標(biāo)為（y，﹣x）．故答案為：（y，﹣x）．【變式4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的位置如圖所示，（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′（其中點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不?畫(huà)法）；（2）寫出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0），C′（﹣4，4）．四．軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題例4.如圖所示，點(diǎn)P為∠O內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在∠O的兩邊上，若△PAB的周長(zhǎng)最小，則∠O與∠APB的關(guān)系為（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APB C．∠O+∠APB＝180° D．2∠O+∠APB＝180°【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小值等于P'P''的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故選：D．【變式】如圖1，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，連接交于點(diǎn)，設(shè)．

(1)求；(2)若點(diǎn)是直線上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)．求證：；(3)如圖2，在上求作一點(diǎn)，使最小．作法：

【詳解】（1）點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，，，，；（2）連接，

點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，中，；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，如下圖所示．

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021秋·浙江寧波·八年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）環(huán)保理念深入人心，垃圾分類的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念即可解決本題．【詳解】由軸對(duì)稱圖形概念，平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，叫做軸對(duì)稱圖形，能夠判斷出A為軸對(duì)稱圖形．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，難度系數(shù)不高，解題的關(guān)鍵在于正確理解軸對(duì)稱圖形的概念．2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）小明以四種不同的方式連接正六邊形的兩條不同的對(duì)角線，那么連接后的四個(gè)圖形，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸；據(jù)此可求解問(wèn)題．【詳解】解：由題意得：A、B、C選項(xiàng)都是軸對(duì)稱圖形，不符合軸對(duì)稱圖形的只有D選項(xiàng)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，然后用筆尖在紙上扎出“B”，再把紙鋪平，可以看到的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】軸對(duì)稱圖形的定義是，在一個(gè)平面內(nèi)，平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義即可得到正確答案【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，答案錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱圖形，答案錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱圖形，答案正確；D、不是軸對(duì)稱圖形，答案錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)定義解題是關(guān)鍵．4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開(kāi)后得到折痕l與交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到的距離為，點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可得：為的角平分線，根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：∵將折疊，使邊落在邊上，∴為的角平分線，∵點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)，∴的最小值等于點(diǎn)P到的距離3cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖所示的形狀，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，記的延長(zhǎng)線為，則由折疊的性質(zhì)可得，得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：如圖，記的延長(zhǎng)線為，則由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∵，∴；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，正確添加輔助線，得出是解題的關(guān)鍵.6．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】A【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2022÷6=337，∴當(dāng)點(diǎn)P第2022次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的最后一次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)P，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱畫(huà)圖可得答案.【詳解】解：如圖所示，球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形.8．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線l上，△ABC與關(guān)于直線l對(duì)稱，連接，分別交AC，于點(diǎn)D，，連接，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：與關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，，，即選項(xiàng)A、B正確；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，即，選項(xiàng)C正確；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，但不一定等于，即選項(xiàng)D不一定正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，小雨要用一個(gè)長(zhǎng)方形紙片折疊一個(gè)小兔子，第一步沿折疊，使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處，若，則（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊得出，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．根據(jù)折疊得出．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，∵，∴，∵，∴．由折疊可知，，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．10．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，、分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A． B．5 C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則的最小值即為點(diǎn)到的垂線段長(zhǎng)度．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使，如圖，

，，，，，則最小值是垂直時(shí)，的長(zhǎng)度，∵，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問(wèn)題．二、填空題11．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）將長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為．

【答案】/90度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)平角為求解即可．【詳解】∵將長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)相等相等．也考查了平角的定義．12．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，在上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得是直角三角形，的度數(shù)，根據(jù)折疊可知，，再根據(jù)是的外角，由外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，，，∴是直角三角形，且，根據(jù)折疊，，∵是的外角，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，三角形的外角知識(shí)的綜合，掌握直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，是內(nèi)的一點(diǎn)，分別是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)是．【答案】5【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，便可知與的周長(zhǎng)是相等的，即可求解．【詳解】解：∵分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為5cm.故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，難度一般，關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)特點(diǎn)，并能靈活運(yùn)用．14．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一束光沿方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡、反射后，沿方向射出，已知，，則．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)入射角等于反射角，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，∵，，，∴，．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個(gè)角是50°，則∠B=度．【答案】50或65【分析】連接AP、BP，由點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分兩種情況：①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時(shí)，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時(shí)，同理可得∠ABC＝65°．【詳解】解：連接AP、BP，如圖：∵點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時(shí)，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時(shí)，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及軸對(duì)稱的性質(zhì)．16．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）給出如下三個(gè)圖案，它們具有的公共特點(diǎn)是：．（寫出1個(gè)即可）【答案】都是軸對(duì)稱圖形【分析】利用已知圖形的特征分別得出其公共特征．【詳解】解：答案不唯一，例如：都是軸對(duì)稱圖形，故答案為：都是軸對(duì)稱圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是正確把握軸對(duì)稱圖形的特征．17．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在銳角中，，，平分，M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作于N，則為的最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作于N，∵平分，于點(diǎn)E，于N，∴，∴，即為的最小值，∵的面積為16，，∴，∴，即的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．18．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校校考期中）如圖，在中，是的垂直平分線，，則的周長(zhǎng)為．【答案】11【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知，進(jìn)而可知，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：是的垂直平分線，，，的周長(zhǎng)，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題19．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，已知，，．求的度數(shù)及、的長(zhǎng)度．

【答案】，、【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等即可得出答案．【詳解】解：和關(guān)于直線對(duì)稱，，，，又，，．，，，【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩個(gè)圖象關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．20．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．(1)求出BF的長(zhǎng)度；(2)求∠CAD的度數(shù)；(3)連接EC，線段EC與直線MN有什么關(guān)系？【答案】(1)BF＝3cm(2)∠CAD＝18°(3)直線MN垂直平分線段EC【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出BC＝ED＝4cm，再根據(jù)FC＝1cm，求出BF的長(zhǎng)度即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根據(jù)∠EAC＝58°求出結(jié)果即可；（3）直接根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC﹣FC＝3cm．（2）解：∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直線MN垂直平分線段EC．理由如下：如圖，∵E，C關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴直線MN垂直平分線段EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．21．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)正方形涂黑，請(qǐng)?jiān)賹⑵渲械囊粋€(gè)空白正方形涂黑，使涂黑部分圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（最少三種不同方法）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合題意，補(bǔ)充圖形即可【詳解】如圖：有5種方法：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫(huà)圖．(1)畫(huà)，使它與關(guān)于直線l成軸對(duì)稱；(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離之和最短；(3)在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到邊的距離相等．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）如圖所示，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，連接、、即可；（2）連接交直線l于P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件；（3）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：根據(jù)（1）的結(jié)論，點(diǎn)A、點(diǎn)關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，∴∴，如下圖，連接∴當(dāng)點(diǎn)P在直線l和的交點(diǎn)處時(shí)，為最小值，∴當(dāng)點(diǎn)P在直線l和的交點(diǎn)處時(shí)，取最小值，即點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短；（3）解：如圖所示，連接，根據(jù)題意的：∴點(diǎn)Q在直線l和的交點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)Q到邊的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，角平分線的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條直的河流l邊的C處飲馬，然后到達(dá)B地．牧馬人到河邊的什么地點(diǎn)飲馬，可以使所走的路程最短？請(qǐng)用尺規(guī)作圖，在圖中找出路程最短的飲馬點(diǎn)C，并用軸對(duì)稱的性質(zhì)說(shuō)明理由．【答案】牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短，見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)B作直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)所走的路程最短，取直線l上另一點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明得到牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)所走的路程最短，即，取直線l上另一點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱得到，∴牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短．．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問(wèn)題，軸對(duì)稱作圖，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確理解最短路徑問(wèn)題作圖方法是解題的關(guān)鍵．24．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，P在內(nèi)，點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，分別交于E，F(xiàn)．(1)若的周長(zhǎng)是，求的長(zhǎng)；(2)若，試求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，由三角形周長(zhǎng)公式得到，則，即；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M