第21章二次函數與反比例函數21.1二次函數教學目標1.通過對實際問題的分析，抽象出二次函數模型，引導學生自由歸納二次函數的概念，并能識別二次函數，了解二次函數自變量的取值范圍.2.在實際問題的分析過程中，讓學生經歷二次函數概念的形成過程，能用二次函數來描述和刻畫現實事物間的函數關系，能用二次函數反映實際事物的變化規律.3.通過觀察、操作、交流、歸納，培養學生的數學思維，增強學生克服困難的勇氣.教學重難點重點：二次函數的概念以及對二次函數的初步認識.難點：具體分析、確定實際問題中的函數關系式.教學過程導入新課【活動一】小李家用40m長的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻足夠長)的矩形菜園，如圖.若這塊菜園的面積為y(m2)，垂直于墻的邊長為x(m)，那么y與x之間是函數關系嗎？若是函數關系，函數表達式又是什么？該函數表達式與一次函數有什么區別？自變量x取值范圍是什么？探究新知【互動】(1)以上問題中有哪些變量？自變量是什么？變量：x，y，自變量：x.(2)學生獨立思考并列出函數表達式，引導學生整理函數表達式，指出函數表達式的特點，并與一次函數作比較.函數表達式為y＝-2x2+40x.【思考】函數自變量x可取一切實數嗎？引導學生大膽質疑，然后小組相互交流、討論，分組解決問題.根據題意得解得0＜x＜20.【活動二】有一玩具廠,如果安排裝配工15人,那么每人每天可裝配玩具190個；如果增加人數,那么每增加1人,可使每人每天少裝配玩具10個.問增加多少人才能使每天裝配玩具總數最多?玩具總數最多是多少？【互動】(1)引導學生分析情境中的數量關系，用x分別表示增加的人數，裝配工的人數，每人每天裝配的玩具個數.再找出等量關系，列出函數表達式.設增加x人,這時共有(15+x)個裝配工,每人每天可少裝配10x個玩具,因此,每人每天只需裝配(190-10x)個玩具，所以增加人數后,每天裝配玩具總數y可表示為y＝(190-10x)(15+x).(2)引導學生化簡上述函數表達式，并指出函數表達式的特征.y＝(190-10x)(15+x)＝-10x2+40x+2850.【思考】在該問題中是什么因素限制了x的取值范圍？引導學生仔細審題，抓住關鍵詞，并列出自變量x的取值范圍.0≤x<19【總結】(1)歸納與比較活動一、二中的函數表達式的特點，并與一次函數作比較，類比一次函數給二次函數下定義.一般地，表達式形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常數，且a≠0)的函數叫做x的二次函數，其中x是自變量.(2)引導學生認識二次函數的定義，由學生列出二次項、一次項和常數項，并指出常數a，b，c的取值限制：a可否為0？b，c可否為0？當b，c為0時，二次函數有哪些特殊形式.ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數項.特殊形式：y＝ax2；y＝ax2+c；y＝ax2+bx.(3)一般情況下，在沒有具體情境的限制下，二次函數自變量的取值范圍是什么？全體實數【活動三】例1下列函數中哪些是二次函數？①y＝2-x2；②y＝；③y＝2x(1+4x)；④y＝x2-(1+x)2.【互動】(1)引導學生參照二次函數的定義辨別二次函數，并指出不是二次函數的理由.①是二次函數；②是分式而不是整式，不符合二次函數的定義，故y＝不是二次函數；③把y＝2x(1+4x)化簡為y＝8x2+2x，顯然是二次函數；④y＝x2-(1+x)2化簡后變為y＝-2x-1，它不是二次函數而是一次函數.(2)引導學生歸納出辨別二次函數有哪些標準或哪些思路.①所表示的函數關系式為整式；②所表示的函數關系式有唯一的自變量；③關系式中項的最高次數為2，且函數關系式中二次項系數不等于0.特別強調，在函數表達式最簡的形式下辨別函數的種類.【活動四】例2如果函數y＝(k+2)QUOTE是關于x的二次函數，則k的值為多少？【互動】(1)分組由學生自由求解；(2)小組同學相互批改，歸納出錯誤的原因.【總結】教師強調緊扣二次函數的定義求解，從系數和指數方面考慮問題，培養學生的數學思維能力和解決問題的能力.【探究】例3某地在長160米、寬120米的矩形空地上快速修建一座隔離醫院，如圖是該醫院的俯視圖，分為A，B，C，D，E五個區域，A區和C區是大小相同的矩形區域，用來隔離治療輕癥感染病人；B區和D區是大小相同的正方形區域，用來隔離治療重癥感染病人；E區是物資調配室.若B區的邊長為x米，E區的面積為y平方米，求y與x之間的函數關系式，指出該函數的類別并求出自變量x的取值范圍.【互動】(1)引導學生觀察圖形，指出E區的形狀，并用x表示出E區的長與寬，列出函數表達式，化簡，并指出函數的類別；長方形長為(160-2x)米，寬為(2x-120)米y＝(160-2x)(2x-120)＝-4x2+560x-19200二次函數(2)如何確定自變量的取值范圍？由學生們先討論本題的求法，再歸納解決問題的一般方法.由160-2x＞0且2x-120＞0可知x的取值范圍為60＜x＜80. 【總結】二次函數是刻畫現實世界變量之間關系的一種常見的數學模型.許多實際問題的解決，可以通過分析題目中變量之間的關系，建立二次函數模型.課堂練習1.下列函數關系中，y是x的二次函數的是()A.y＝2x+3B.y＝ C.y＝x2-1D.y＝+12.若函數y＝mx2+3是關于x的二次函數，則m的值不可能為()A.2020 B.-3.14C.-1D.03.二次函數y＝-x2-3x-1的二次項系數與常數項之和為()A.-2 B.2 C.-1 D.04.共享單車為市民的出行帶來了方便，某共享單車公司第一個月投放a輛共享單車，計劃第三個月投放共享單車y輛，設該公司第二、三兩個月投放共享單車數量的月平均增長率為x，那么y與x的函數關系是()A.y＝a(1+x)2 B.y＝a(1-x)2 C.y＝(1-x)2+aD.y＝x2+a5.若等腰直角三角形的腰長為xcm，其面積為ycm2，則y與x之間的函數表達式為______，此函數是______函數(填“一次”或“二次”).6.在下列表達式中，是二次函數的有______(直接列出編號即可).(1)某正方體的表面積S與其棱長a之間的關系可表示為S＝6a2；(2)一個人的標準體重w(kg)與這個人的身高h(cm)之間的關系為w＝70%(h-80)；(3)一個矩形長4cm、寬3cm，將其長與寬都增加x(cm)，增加的面積y(cm2)與x(cm)之間的關系為y＝(4+x)(3+x)-4×3＝x2+7x；(4)某用電器的電阻為R，當該用電器正常工作時，電功率P與用電器兩端的電壓U之間的關系可表示為P＝(R為定值).參考答案1.C2.D3.A4.A5.y＝x2二次6.(1)(3)(4)課堂小結本課從不同的實際問題中抽象出函數模型，通過觀察、比較和歸納得出二次函數的概念，并歸納出辨別二次函數的方法與步驟；會根據具體的幾何圖形的面積問題和經濟決策問題列出二次函數并能分析自變量的取值范