照列某般知但易斛依忸類

（一）善克頹制

預測高考對數列的考查有如下特點：

（1）等差、等比數列的定義、通項公式、求和公式以及性質仍是考查重點。命題時可能以

小題形式出現，中低檔難度，但解題方法靈活多樣。

（2）數列解答題通常與函數、方程、不等式、解幾等知識綜合在一起，一般屬中、高檔難

度題。對學生的思維水平提出較高的要求。有時會以壓軸題出現。

（二）：等差、等比數列主要知識：

等差數列等比數列

定義q—-=d&=貝"0)

an-\

通項

an=ai+(n-\)d推廣a'=+(〃一⑼d4=3推廣%

前n項和當4=1時S“=M]

S=——5———=na,+--------當3時s“=處心=無也

n”212

i-q\-q

=a

若加+〃=p+4則a,”+a〃=ap+aq若加+〃=p+q則“J/Pq

2

Sn,52n-Sn,S3n-52M,…組成公差為nd的SR，S2n-SntS%—S2“，…當各項均不

簡單性質等差數列為零時組成等比數列

an,an+nt,a“+2m，…組成公差為〃/的等差數%，4+m，%加，…組成公比為。”的等

列比數列

1、定義法：1、定義法：

2、等差中項法：若2a”+]=a“+a“+2=｛〃”｝成2、等比中項法:若片+]=anan+2o｛a”｝成

等差等比

3、通項法：若勺=4〃+80｛q｝成等差3、通項法：若/=cq〃（c,q均是不為零的

判定方法

4、前n項和法：若5“=4〃2+序?0｛4｝成等常數，〃END。｛q｝成等比

差4、前n項和法：若S”=Aq”一A（A,q

為常數，且AwO,gwO,gwl）=｛q｝成

等比（公比g"）

相關等差、等比數列的結論

1.等差數列｛/｝的任意連續〃z項的和構成的數列-……仍為等差數列.

2.等差數列｛4｝中，若m+n=p+q,則

3.等比數列｛〃“｝中，若m+n=p+q,則4〃

4.設數列｛%｝是等差數列，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項的和，S“是前n項的和，則有如下性質：

前n項的和Sn=S'+S偶

當n為偶數時，S偶-S奇=￡d，其中d為公差；

當n為奇數時，則S奇-S偶=〃中，鼠=4打（即：$_=q），辿="1,（其中。中是等差數列的中

n2/w-lS偶H-1

間一項）

5.等比數歹Ij｛an｝的任意連續小項的和構成的數列S叱Szm—S/SsM-Sz,”,…?一不一定為等比數列.

6.兩個等差數列｛%｝與｛bn｝的和差的數列｛為±bn｝仍為等差數列.

7.法個等比數列｛〃“｝與｛〃｝的積、商、倒數的數列｛q?〃｝、］—k仍為等比數列.

的Jl^J

8.S”是等比數列｛〃.｝的前n項和，

①當干一1且女為偶數時，臬，5〃一臬，S軟一S?*不是等比數列.

②當行:一1或4為奇數時，Sk,S2k-Sk,Syk-S2k仍成等比數列.

9.設數列｛%｝是公差為d等差數列，則由=/=常數，知數列｛0%｝(。>0,。，1)是等

比數列。

10.設數列｛%｝是公式為9的正項等比數列，則由log,%—logc/T=logc2=logc4=常數，知數列

an-\

｛log,4｝(C>0,C。1)是等差數列。

11.當且僅當數列是非零的常數列時，該數列既是等差又是等比數列

12.三數成等差，可設三數為a-dMM+d,四數成等差可設四數為。—3d,a—d,a+d,a+3d

三數成等比，可設三數為g,a,aq,但匹數成等比時，不一定能設成立,

qqq

13等差與等比的互變關系：

｛q｝成等差數列o｛b(,"｝(b>0,b/1)成等比數列

｛an｝成等差數列o｛can+d｝(c/0)成等差數列

%>o

｛〃”｝成等比數列O｛log〃q｝成等差數列

｛4｝成等比數列n忖｝成等比數列

14.等比、等差數列和的形式：

｛〃“｝成等差數歹ijoan=An+BoSn=A/+Bn

n

｛4｝(qW1)成等比數列OSn=A(q-\)(Aw0)

15.無窮遞縮等比數列的所有項和：

｛q-IqkD成等比數歹UoS=limS，=2

16.求數列｛0｝的最大、最小項的方法：

>0

2

①an+l-an=......0inan=-2n+29n-3

<0

>1

②智=???=1(〃.>0)如〃/窄工

"[<1

③an=f(n)研究函數f(n)的增減性如氏=一^—

n+156

(三)主要方法：

1.解決等差數列和等比數列的問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法：即使用條件轉化為關于外和d(q)

的方程；②巧妙使用等差數列和等比數列的性質，一般地使用性質能夠化繁為簡，減少運算量.

2.深刻領會兩類數列的性質，弄清通項。“和前〃項和公式5“的內在聯系是解題的關鍵.

(四)數列通項公式的求法：

1,等差、等比公式法

2、形如：4―《-=/(〃)用迭加法，形如：&=/(〃)用迭乘法。

an-\

例如：根據下面各個數列｛〃,｝的首項和遞推關系，求其通項公式

⑴6=I,—=an+2n(neN*)

⑵％=1,%+|=~17aN")

n+l

3^一階遞推：an=pan_x+q,其中〃,g為常數，通常將其轉化成%+x=+x)

例如：已知數列｛〃/滿足q=2，凡+—3%+2=0,(〃wN),求見

創新試題：已知數列｛〃”｝滿足q=2,4,川=3an+2〃-1,(〃wN),求an

[提示：設法將已知變形為+如+1)+y=3(4+m+y)]

4、利用換元法

5、歸納一猜想一證明

S.,w=1

6、先求出其前n項和S“，然后根據4二《二八八求出凡

卜〃』,"22

C

例已知數列｛%｝前n項和為S〃，且滿足q=2,S“="7求知

3sa一1+1

(五)數列前n項的求法：

1,等差、等比公式法

2、錯位相減法：設數列｛4｝是等比數列，數列仿〃｝是等差數列，則數列｛〃/“｝

的前〃項和S.求解，均可用錯位相減法

例如設數列｛4｝為l,2x,3x2,4x3………(x00)求此數列前〃項的和.

3、倒序相加法：例設數列上｝是首項為q,公差為d的等差數列，求和：*+出。：+%比+???+。2禺

I1?37

又如：已知/(%)=-；—，則/(——)+/(——)+/(——)+???+/(——)=________。

4v+2八2008200820082CO8

4、分組求和：如求和：(x4—)+(x~H—^)+…+(X"H---)(其中產鈉，y^-1)

yy)/

5、合并求和：1002-992+982-972+962-952+-+22-I2

6、裂項相消法求和：例若數列｛%｝是各項均不為零的等差數列，求數列J—5—1的前n項和

q,an^\,

又如：數列｛%｝滿足%=/1/,求前n項和S“

\Jn+，〃+1

7、此外還有：歸納一猜想一證明法，奇偶法，導數法

8、常用求和公式：

1+2+―+/7=—〃(/升1)

2

]2+22+*"+//2=-//(//+1)(2//^1)

6

1"+2?+…+//=(1+2+?,?+〃)2~—n

4

等比數列中Si=S〃+qn?Sm=Sjq"-S〃

(六)分期付款模型：

分期付款購買售價為a的商品，分n次經過m個年(月)還清貸款，每年(月)還款x,年(月)利率為

P,則每次應付款：

m

“(1十〃尸(1十.)二一1

X=----------------------

(i+pr-i

模型推導過程：

例1：一般地，購買一件售價為a元的商品?采用分期付款時要求在m個月內將款全部付清，月利率為p,

分n(n是m