專題01實數教材同步講練知識點11算術平方根1）算術平方根概念：一個正數的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫作a的算術平方根。其中，a叫作被開方數，規定0的算術平方根為0。記作a注：=1\*GB3①“”表示的是算術平方根（與后面的平方根注意區分）=2\*GB3②a0，x0。負數沒有算術平方根（因為x20）2）常見算術平方根表：被開方數149162536496481100算術平方根12345678910被開方數121144169196225256289324361400算術平方根11121314151617181920例1．（2021·河南濮陽市·七年級期中）的算術平方根為（）A． B． C． D．變式1．（2021·朔州市第二中學校初中部七年級期中）1.96的算術平方根是（）A．0.14 B．1.4 C． D．±1.4例2．（2020·岑溪市第六中學初二月考）下列說法正確的是（）A．﹣6是36的算術平方根 B．±6是36的算術平方根C．是36的算術平方根 D．6是36的算術平方根變式2．（2021·西寧市海湖中學七年級期中）下列說法：①任何數都有算術平方根；②一個數的算術平方根一定是正數；③(π－4)2的算術平方根是π－4；④算術平方根不可能是負數，其中不正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式3．（2020·內蒙古科爾沁右翼前旗初二期中）下列語句、式子中①4是16的算術平方根，即②4是16的算術平方根，即③7是49的算術平方根，即④7是的算術平方根，即其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④例3．（2021·平泉市教育局教研室七年級期末）如圖，把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將四個直角三角形拼成一個大的正方形，則這個大正方形的邊長為（）A．2 B．1.5 C． D．變式4．（2021·西寧市海湖中學七年級期中）如果一個正方形的面積為3，則這個正方形的邊長是_______．知識點12平方根1）平方根的概念：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根或者二次方根。求一個數a的平方根的運算，叫作開平方。注：=1\*GB3①“”表示算數平方根的意思，平方根表示為“”=2\*GB3②正數的平方根有兩個，它們互為相反數。且正數根即為算術平方根；=3\*GB3③0的平方根和算術平方根都為0；=4\*GB3④負數沒有平方根和算術平方根。2）特點：算術平方根是平方根正值部分；平方根是算術平方根及其相反數。3）產生的原因：若a>0；（a）1=a1；（a）2=a2；（a）3=a3；（a）4=a4奇數次方時，符號不變，結果仍為負數；偶數次方時，值變為正數（與正數的對應次方的值相同）因此，奇數次方，一個數對應一個結果；偶數次方，兩個數對應一個結果，且這兩個數互為相反數。4）開方是次方的逆運算。5）預測：=1\*GB3①奇數次開方，沒有算術平方根與平方根區別，結果僅為一個值；=2\*GB3②偶數次開方，會存在兩值的情況。例1．（2021·河南七年級期中）“49的平方根是”的表達式正確的是（）A． B． C． D．變式1．（2020·廣東白云初二期末）下列說法正確的是（）A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根變式2．（2021·成都市初二課時練習）下列說法正確的是()A．任何非負數都有兩個平方根 B．一個正數的平方根仍然是正數C．只有正數才有平方根 D．負數沒有平方根例2．（2021·黑龍江甘南初二期末）的平方根是____．變式3．（2021·遼寧八年級期末）（﹣）2的平方根是（）A．﹣ B． C．± D．±變式4．（2021·湖北七年級期中）的平方根是（）A． B． C．± D．±例3．（2021·山西渾源初二期中）下列各式正確的是（）A．B．C．D．變式5．（2021·湖北七年級期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．變式6．（2021·北京海淀·七年級期中）下列各數中一定有平方根的是（）A． B． C． D．例4．（2021·廣東）若一個正數m的兩個平方根分別是a1和42a，則m的值為________．變式7．（2021·湖南七年級期末）王老師給同學們布置了這樣一道習題：一個正數的算術平方根為，它的平方根為，求這個正數．小達的解法如下：依題意可知：解得：則：，所以這個正數為．王老師看后說，小達的解法不完整，請同學們給出這道習題完整的解法．變式8．（2021·山東七年級期中）中國清代學者華衡芳和英國人傅蘭雅合譯英國瓦里斯的《代數學》，卷首有“代數之法，無論何數，皆可以任何記號代之”，說明了所謂“代數”，就是用符號來代表數的一種方法，若一個正數的平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個正數是___．例5．（2021·舒蘭市教師進修學校七年級期末）利用平方根的意義求方程中的值．變式9．（2021·浙江七年級期中）若，則x的值是_________．知識點13算術平方根的性質及應用1）算術平方根a有意義，存在“雙重非負性”：=1\*GB3①a≥0；=2\*GB3②a≥0例1．（2021·四川北大附中成都為明學校八年級期中）已知，求的平方根．變式1．（2021·張家港市梁豐初級中學八年級月考）若為實數，且滿足，則的值是___________．變式2．（2021·四川省綿陽外國語學校八年級期中）已知a2+＝4a﹣4，則的平方根是________．例2．（2021·全國八年級專題練習）已知和互為相反數，且，求的值．變式3．（2021·四平市第三中學校初二月考）已知與與是互為相反數．求：4a+b的平方根．例3．（2021·湖北）已知為正數，且，如果以的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為__________．變式4．（2021·黑龍江八年級期末）若直角三角形的兩邊長為a、b，且滿足，則該直角三角形的第三邊長是_____．知識點14立方根1）立方根的概念：如果一個數x的立方等于a，那么這個數x叫作a的立方根或三次方根，a叫作被開立方數，求數x的過程的運算叫作開立方。記作：2）立方根的特點：=1\*GB3①3a，a可以為任意數（a>0，a=0，a<0）=2\*GB3②&正數的立方根為正數&負數的立方根為負數&=3\*GB3③3-a=3）比較平方根立方根表示 范圍 a0 a為任意數值 兩個值 唯一值例1.（2021?白云區期末）下列說法正確的是（）A．64的立方根是±364=±4 B．-12C．3-27=-327 D變式1．（2021·山東單縣初二期末）下列語句正確的是__________（只填序號）．①的算術平方根是2；②36的平方根是6；③的立方根是；④的立方根是例2.（2021春?倉山區期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列結論正確的是（）A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根變式2．（2020·河北省初二期中）一個自然數的立方根為a，則下一個自然數的立方根是（）A．a+1 B． C． D．a3+1變式3．（2021·福建漳州市·八年級期中）按照下列程序進行計算，最后輸出的答案是（）A． B． C． D．例3．（2021·民勤縣第六中學七年級期中）的平方根是______．＝______．變式4．（2020·四川涼山初二期末）的算術平方根是______，立方根是它本身的數是________．例4．（2021·山東七年級期中）一般的，如果，則稱x為a的四次方根，一個正數a的四次方根有兩個，它們互為相反數，記為，若，則m=______．變式5．（2021·山東七年級期中）本學期《實數》中，我們學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內容：平方根立方根定義一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一個數x的立方等于a即x＝a，那么這個數x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．運算求一個數a的平方根的運算叫做開平方．開平方和平方互為逆運算．求一個數a的立方根的運算叫做開立方．開立方和立方互為逆運算．性質一個正數有兩個平方根，它們互為相反數：0的平方根是0；負數沒有平方根．正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數．表示方法正數a的平方根可以表示為“±”．一個數a的立方根可以表示為“”．今天我們類比平方根和立方根的學習方法學習四次方根類比探索：（1）探索定義：填寫下表：x411681x類比平方根和立方根，給四次方根下定義：（2）探究性質①1的四次方根是；②16的四次方根是；③的四次方根是；④12的四次方根是；⑤0的四次方根是；⑥﹣625（填“有”或“沒有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質，歸納四次方根的性質：．（3）拓展應用：在探索過程中，你用到了哪些數學思想？請寫出兩個：．變式6．（2021·上海七年級期中）的四次方根是__________．例5．（2021·山西渾源初二期中）求下列各式中的x值:（1）16（x+1）2＝25;（2）8（1﹣x）3＝125變式7．（2021·朔州市第二中學校初中部七年級期中）求出下列各式中的x的值．（1）（2）知識點15有理數與無理數1）無理數：無限不循環小數。例：等注：=1\*GB3①分數都是有限小數或無限循環小數=2\*GB3②兩個無理數之間運算，結果可能是有理數。例：×（兩個有理數之間運算，結果仍然是有理數）2）有理數：整數和分數的集合例1．（2021·湖北七年級期末）有下列各數：﹣，，0.02002000200002…（相鄰兩個2之間0的個數依次多1），﹣8，3，，．其中，無理數的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5變式2．（2021·諸暨市開放雙語實驗學校七年級期中）下列各數中有理數有（）個，1，，3.14，，，，3.131131113……(兩個3之間依次多1個1)A．3個 B．4個 C．5個 D．6個例2．（2021·黃梅縣教育科學研究所七年級期末）下列判斷：①一個數的平方根等于它本身，這個數是0和1；②實數分為正實數和負實數；③2的算術平方根是；④無理數是帶根號的數．正確的是（）A．① B．② C．③ D．④變式2．（2020·黑龍江甘南初二期末）下列說法中正確的是（

）A．無限小數是無理數 B．用根號形式表示的數是無理數C．無理數是無限小數 D．無理數是開方開不盡的數例3．（2020·河北省初三一模）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③變式3．（2021·河北八年級期中）有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入的數x為﹣512時，輸出的數y的值是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2例4．（2021·重慶七年級期中）（發現）①；②；③；④；；根據上述等式反映的規律，請再寫出一個等式：________．（歸納）等式①，②，③，④，所反映的規律，可歸納為一個真命題：對于任意兩個有理數，，若，則；（應用）根據上述所歸納的真命題，解決下列問題：若與的值互為相反數，求的值．知識點16實數的分類1）實數：有理數和無理數統稱為實數2）分類：實數&有理數&整數&分數每個實數都可以用數軸上的一個點來表示:反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，即實數和數軸上的點是一一對應的.因此，數軸正好可以被實數填滿.例1．（2021·南丹縣教學研究室七年級期末）把下列各數填在相應的大括號里：，，0，，，，，3.24，．整數：；負分數：；無理數：．變式1．（2021.河北省初二期中）把下列各數填入相應的集合圈里（填序號）⑴﹣30⑵⑶3.14⑷⑸0⑹+20⑺﹣2.6⑻⑼⑽⑾﹣0.5252252225…（每兩個5之間依次增加1個2）⑿⒀例2．（2021·全國初二單元測試）下列說法中，正確的是（）A．實數可分為正實數和負實數 B．、、都是無理數C．絕對值最小的實數是 D．無理數包括正無理數，零和負無理數例3．（2021·湖南雨花·初二期末）有下列六種說法：①數軸上有無數多個表示無理數的點；②帶根號的數不一定是無理數；③每個有理數都可以用數軸上唯一的點來表示；④數軸上每一個點都表示唯一一個實數；⑤沒有最大的負實數，但有最小的正實數；⑥沒有最大的正整數，但有最小的正整數．其中說法錯誤的有（）A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④變式3．（2021·福建七年級期中）與數軸上的點是一一對應的是（）A．有理數 B．整數 C．自然數 D．實數變式4．（2021·全國八年級專題練習）下列說法：①有理數和數軸上的點一一對應；②不帶根號的數一定是有理數；③負數沒有立方根；④17的平方根是﹣，其中正確的是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例4．（2021·湖南永州市·八年級期中）如圖，在數軸上作以邊長為1的正方形，點在原點上，若，數軸上點對應的數是（）A．B．C．D．1.4變式5．（2021·廣西壯族自治區初二期中）我們在學習“實數”時畫了這樣一個圖，即“以數軸上的單位長為‘1’的線段作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數軸于點A”，請根據圖形回答下列問題：(1)線段OA的長度是多少?(要求寫出求解過程)(2)這個圖形的目的是為了說明什么?(3)這種研究和解決問題的方式體現了的數學思想方法.(將下列符合的選項序號填在橫線上)A．數形結合B．代入C．換元D．歸納知識點17實數的有關概念及運算1）在實數范圍內，相反數、倒數絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全相同、2）實數和有理數一樣，可以進行加、減、乘、除乘方運算，而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用。例1．（2021·廈門市湖濱中學初二期中）計算下列各題：（1）4的平方根是______；（2）25的算術平方根是____；（3）8的立方根是______；（4）的相反數是_____；（5）的絕對值是_____；（6）___3；（填＞，＜或＝)變式1．（2021·福建漳州市·八年級期中）下面與互為相反數的是（）A． B． C．5 D．變式2．（2021·全國初二課時練習）的算術平方根的倒數是（）A．4 B． C．2 D．變式3．（2021·遼寧）的倒數是____，3﹣的絕對值是______．例2．（2021·河北八年級期中）＝______．變式4．（2021·吉林八年級期中）的絕對值是______．例3．（2021·山東八年級期中）計算下列各題：（1）；（2）變式5．（2021·安徽七年級期中）計算﹣﹣的結果為（）A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10變式6．（2021·南丹縣教學研究室七年級期末）計算：_______知識點18實數的大小比較與估算1）數軸法在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大，2）利用法則正實數都大于0，負實數都小于0;正實數大于一切負實數:兩個負實數相比較，絕對值大的反而小.3）要估算3a的近似值，第一步先確定估算數的整數范圍，如23＜10＜33第二步以較小整數為基礎，開始逐步加0.1（或以較大整數為基礎，開始逐步減0.1），并求其立方確定估算數的十分位；后續小數重復如上步驟。平方根的估算同理可得。例1．（2021·四川省崇慶中學初中校區初二月考）比較實數的大小:(1)___；（2）___變式1．（2021·云南臨滄市·七年級期中）比較：______（填“”“”或“”）變式2．（2021·廣州市番禺區市橋東風中學七年級期中）比較大小