專題6.7動角旋轉問題專項訓練【浙教版】考卷信息：本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對線段中的動點問題的理解！1．（2023上·四川成都·七年級統考期末）已知，OC是∠AOB內部的一條射線，且∠AOB=3∠AOC．

(1)如圖1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度數；(2)如圖2所示，∠AOB是直角，從點O出發在∠BOC內引射線OD，滿足∠BOC?∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度數；(3)如圖3所示，∠AOB=x°，射線OP，射線OQ分別從OC，OB出發，并分別以每秒1°和每秒2°的速度繞著點O逆時針旋轉，OP和OQ分別只在∠AOC和∠BOC內部旋轉，運動時間為①直接寫出∠AOP和∠COQ的數量關系；②若∠AOB=150°，當∠POQ=23∠BOP【答案】(1)40°(2)45°(3)①∠COQ=2∠AOP；②t=20【分析】（1）先求出∠AOC=40°，再根據角平分線的定義得到∠AOM=20°，（2）先求出∠AOC=30°，則∠BOC=60°，進一步求出∠COD=30°，由角平分線的定義得到∠COM=12∠COD=15°（3）①先求出∠AOC=13x°，∠BOC=23x°，根據題意可得∠COP=t°，∠BOQ=2t°，由此求出∠AOP=13x?t°，∠COQ=2【詳解】（1）解：∵∠AOB=3∠AOC,∠AOB=120°，∴∠AOC=1∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB，∴∠AOM=1∴∠AOM=20°，∴∠MON=∠AON?∠AOM=60°?20°=40°；（2）解：∵∠AOB=90°，∴∠AOC=30°，∴∠BOC=60°，∵∠BOC?∠AOC=∠COD，∴∠COD=60°?30°=30°，∵OM平分∠COD，∴∠COM=1∴∠BOM=∠BOC?∠COM=45°；（3）解：①∵∠AOB=3∠AOC，∴∠AOC=∴∠BOC由題意得：∠COP=t×1°=t°，∴∠AOP=∠AOC?∠COP=13x?t∴∠COQ=2∠AOP；②由①知∠COP=t°，∠COQ=∵∠POQ=∠COQ+∠COP，∴∠POQ=2x∵∠AOB=150°，∠POQ=2∴23把x=150代入得：100?t=解得t=20，∴若∠AOB=150°，當∠POQ=23∠BOP【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關鍵．2．（2022上·廣東深圳·七年級深圳市寶安中學（集團）統考期末）如圖1，某校七年級數學學習小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線PQ、MN的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線PQ、MN上，將△AOB繞著點O順時針旋轉α0°<α<180°(1)如圖2，若α=26°，則∠BOP=______，∠AOM+∠BOQ=______；(2)若射線OC是∠BOM的角平分線，且∠POC=β．①△AOB旋轉到圖3的位置，∠BON=______．（用含β的代數式表示）②△AOB在旋轉過程中，若∠AOC=2∠AOM，則此時β=______．【答案】(1)64°；180°(2)①2β；②60°或36°【分析】（1）根據∠BOP=180°?∠AOB?∠AOQ，以及角的和差計算即可；（2）①先求∠BOP，再利用∠BON=∠BOP+∠PON得出結論；②分兩種情況討論：當OB旋轉到OP左側時；當OB旋轉到OP右側時，解答即可．【詳解】（1）解：MN⊥PQ，∴∠MOQ=∠MOP=90°，∵α=26°，∴∠AOQ=α=26°，∵∠AOB=90°，∴∠BOP=180°?∠AOB?∠AOQ=180°?90°?26°=64°；∵∠AOM=∠MOQ?∠AOQ=90°?26°=64°，∠BOQ=∠AOB+∠AOQ=90°+26°=116°，∴∠AOM+∠BOQ=64°+116°=180°；故答案為：64°；180°．（2）解：①∵∠MOP=90°，∠POC=β，∴∠MOC=90°?β，∵射線OC是∠BOM的角平分線，∴∠BOM=2∠MOC=290°?β∴∠BOP=90°?∠BOM=90°?180°+2β=2β?90°，∵∠PON=90°，∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β?90°+90°=2β；故答案為：2β；②當OB旋轉到OP左側時，如圖所示：∵OC是∠BOM的角平分線，∴∠BOC=∠MOC，∵∠AOC=2∠AOM，∴∠AOM=∠MOC，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∴∠POC=β=∠MOP?∠MOC=90°?30°=60°；當OB旋轉到OP右側時，如圖所示：設∠AOM=x，∵∠AOC=2∠AOM=2x，∴∠MOC=∠AOM+∠AOC=3x，∵OC是∠BOM的角平分線，∴∠BOC=∠MOC=3x，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，∴2x+3x=90°，解得：x=18°，∴∠MOC=3x=54°，∴∠POC=β=90°?∠MOC=36°；綜上分析可知，β的值為：60°或36°．故答案為：60°或36°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數形結合，分情況討論是解題的關鍵．3．（2023上·廣東茂名·七年級統考期末）如圖，∠AOB=∠EOF=90°，連接AB．(1)用尺規作圖法在射線OF上作OC=OB，在射線OE上取點D使CD=AB；(2)連接CD，找一點P使它到四邊形OBCD四個頂點的距離之和最小，并說明理由；(3)設∠AOF=α，①當α=42°28′時，求②當∠AOB繞點O旋轉任意角度時，請用α表示∠AOF和∠BOE之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①137°32′，②【分析】（1）利用尺規：以點O為圓心，OB長為半徑作弧，與OF交于點C，以點C為圓心，AB長為半徑作弧，交OE與點D，點C、D即為所求；（2）根據兩點之間線段最短，即可找到點P；（3）①結合圖形及題意可得∠BOF=47°32′；代入②根據各角之間的數量關系進行等量代換求解即可得答案．【詳解】（1）解：如圖，OC，點D即為所求；；（2）解：點P即為所求；因為兩點之間線段最短，所以OP+OC+OB+OD=OC+BD最小；∴點P到四邊形OBCD四個頂點的距離之和最小．（3）解：①∵∠AOF=α=42°28∴∠BOF=90°?42°28∴∠BOE=∠BOF+EOF=48°+90°=137°32②當∠AOB繞點O旋轉任意角度時，∠AOF+∠BOE=180°，理由如下：∵∠AOB=∠EOF=90°，∠AOF=α，∴∠BOF=90°?α，∴∠BOE=∠EOF+∠BOF=90°+90°?α=180°?α，∴∠AOF+∠BOE=α+180°?α=180°．∴∠AOF+∠BOE=180°．【點睛】本題主要考查了利用尺規作圖，最短路線問題，角度計算等，理解題意，熟練掌握各個基本知識點是解題關鍵．4．（2022上·福建莆田·七年級校聯考期末）已知O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方引兩條射線OC，OD，且OC平分∠AOD(1)若∠BOD∶∠AOD=4∶6，求∠AOC的度數．(2)請在圖1中畫一條射線OE，使得OE平分∠BOD，并求此時∠COE的度數．(3)將(2)中的射線OE繞O點旋轉一定的角度，使得∠BOE=4∠DOE，且∠COE=75°，求此時∠BOE的度數．【答案】(1)∠AOC=54°(2)∠COE=90°(3)∠BOE=40°或24°【分析】（1）根據平角的定義，結合已知條件得出∠AOD=108°，然后根據角平分線的定義，即可求解．（2）由角平分線的定義得出∠COD=12∠AOD，∠EOD=（3）當射線OE在∠BOD內部時，設∠1=α，則∠2=4α，∠4=∠3=(75°?α)，根據平角的定義列等式求出結果即可，當射線OE在∠BOD外時，同理可得結論．【詳解】（1）解：∵∠BOD∶∠AOD=4∶6，且∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD=3∵OC平分∠AOD，∴∠AOC=1（2）如圖所示，OE即為所求∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，∴∠COD=12∠AOD∴∠COE=∠COD+∠EOD=（3）當射線OE在∠BOD內部時，如圖，設∠1=α，根據題意得∠2=4∠1=4α．∵∠COE=∠1+∠3=75°，∴∠3=(75°?α)．∵OC平分∠AOD，∴∠4=∠3=(75°?α)，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴α+4α+75?α解得：α=10°．∴∠2=4α=40°．∴∠BOE=40°．當射線OE在∠BOD外時，如圖∵∠BOE=4∠DOE，設∠DOE=α，則∠DOB=3α，∴∠AOD=180°?∠DOB=180°?3α，∵OC平分∠AOD，∴∠COD=1∴∠COE=∠COD?∠EOD=90°?3∵∠COE=75°，∴90°?5∴α=6°，∴∠BOE=4α=24°，綜上所述，∠BOE=40°或24°．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，數形結合是解題的關鍵．5．（2023上·江蘇南京·七年級校考期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．(1)如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉，使邊OM在∠BOC的內部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM=度；(2)如圖3，繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明你的理由；(3)將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉的時間是多少秒？(4)將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉，同時射線OC繞點O以每秒2°的速度沿逆時針方向旋轉，旋轉30秒后都停止．在旋轉的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉的時間是秒．（直接寫出答案）【答案】(1)120(2)∠AOM?∠NOC=30°，理由見解析(3)5秒或20秒(4)6011秒或240【分析】（1）先根據角平分線的定義得到∠BOM=60°，再根據平角的定義即可得到∠AOM=180°?∠BOM=120°；（2）先根據平角的定義求出∠AOC=60°，再由∠AON=∠NOM?∠AOM=∠AOC?∠NOC即可得到結論；（3）設三角板繞點O旋轉的時間是t秒，先求出∠AOC=60°，然后分當ON在∠AOC外部時，當ON在∠AOC內部時，兩種情況求出對應的旋轉角度，然后建立方程求解即可；（4）設三角板繞點O旋轉的時間是m秒，先求出∠AOC=60°?m°，然后分當ON在∠AOC外部時，當ON在∠AOC內部時，兩種情況求出對應的旋轉角度，然后建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°∴∠BOM=1∴∠AOM=180°?∠BOM=180°?60°=120°．故答案為：120；（2）解：∠AOM?∠NOC=30°，理由如下：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°?∠BOC=60°，∵∠AON=∠NOM?∠AOM=∠AOC?∠NOC，∴90°?∠AOM=60°?∠NOC，∴∠AOM?∠NOC=30°；（3）解：設三角板繞點O旋轉的時間是t秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°?∠BOC=60°，當ON在∠AOC外部時，如圖1所示，∵直線NH平分∠AOC，∴∠AOH=1∴∠BON=∠AOH=30°，∴此時的旋轉角度為90°?30°=60°，∴12t=60，解得t=5；當ON在∠AOC內部時，如圖2所示，∵ON恰好平分∠AOC，∴∠CON=1∴此時旋轉的角度為90°+120°+30°=240°，∴12t=240，解得t=20；綜上所述，當直線ON恰好平分∠AOC，此時三角板繞點O旋轉的時間是5秒或20秒；（4）解：運動時間為m秒時，直線ON恰好平分∠AOC，∴∠AOC=60°?2m°，當ON在∠AOC外部時，如圖3所示，∵直線NH平分∠AOC，∴∠AOH=1∴∠BON=∠AOH=30°?m°，∴此時的旋轉角度為90°?30°?m°∴12m°=60°+m°，解得m=60當ON在∠AOC內部時，如圖4所示，∵ON恰好平分∠AOC，∴∠CON=1∴此時旋轉的角度為90°+120°+30°?m°+2m°=240°+m°，∴12m=240+m，解得m=240綜上所述，當直線ON恰好平分∠AOC，此時三角板繞點O旋轉的時間是6011秒或240【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，一元一次方程的應用，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．6．（2023上·內蒙古通遼·七年級校考期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數之比為1:2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”（填“是”或“不是”）；(2)若∠AOB=120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC=．(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發，以20°/s的速度順時針方向旋轉，射線OQ從OB出發，以10°/s的速度逆時針方向旋轉，兩條射線同時旋轉，當其中一條射線旋轉到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設旋轉的時間為t（s），直接寫出當t為何值時，射線OP是以射線OA、【答案】(1)是(2)60°或40°或80°(3)滿足條件的t的值為157或3或154或45【分析】（1）根據“幸運線”的定義判斷即可．（2）有三種情形：①當OC是角平分線，②當∠AOC=2∠BOC時，③當∠AOC=1（3）當OP在射線OA，OQ之間時，有三種情形：①當∠AOP=12∠POQ，②當∠AOP=∠POQ時，③當∠AOP=2∠POQ時，當OP在射線OA，【詳解】（1）解：∠AOB是角平分線是∠AOB的“幸運線”．故答案為是．（2）解：有三種情形：①當OC是角平分線，此時∠AOC=1②當∠AOC=2∠BOC時，∠AOC=2③當∠AOC=12∠BOC綜上所述，滿足條件的∠AOC的值為60°或40°或80°．故答案為60°或40°或80°．（3）解：由題意得：∠AOP=20°t,∠BOQ=10°t，∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構成角的“幸運線”，∴當OP在射線OA，OQ之間時，則有∠POQ=150°?20°t?10°t=150°?30°t，如圖所示，則有三種情形：①當∠AOP=12∠POQ，則有20t=②當∠AOP=∠POQ時，則有20t=150?30t，解得t=3．③當∠AOP=2∠POQ時，則有20t=2(150?30t)，解得t=15當OP在射線OA，OQ所構成角的外部時，則有∠AOQ=150°?10°t，∠POQ=20°t?150°?10°t有兩種情形：①∠AOQ=2∠POQ，則有150?10t=2[20t?(150?10t)]，解得t=45②當∠AOQ=∠POQ時，則有150?10t=20t?(150?10t)，解得t=15③當∠POQ=2∠AOQ時，則有20t?(150?10t)=2(150?10t)，解得t=9（不符合題意，舍去）．綜上所述，滿足條件的t的值為157或3或154或457【點睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了動點問題，OC為∠AOB的“幸運線”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意學會由分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．7．（2023上·江蘇鎮江·七年級統考期末）如圖，∠AOB內部有一射線OC，OC⊥OA，∠AOC與∠BOC的度數比為3:2，射線OM從OA出發，以10度/秒的速度繞點O順時針旋轉，同時射線ON從OC出發以20度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當射線ON與射線OB重合后，立即以原速逆時針旋轉，當ON與OC重合后再次改變方向順時針向OB旋轉（即ON在OC與OB之間來回擺動），當OM與OC重合時，OM與ON都停止旋轉．旋轉過程中設旋轉的時間為t秒．(1)t=1時，∠MON=(2)當t為何值時，OC恰好是∠MON的平分線；(3)在旋轉的過程中，作∠CON的角平分線OP，是否存在某個時間段，使得∠MOP的度數保持不變？如果存在，求出∠MOP的度數，并寫出對應的t的取值范圍；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，0≤t≤3時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=90°；6<t≤9時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=30°【分析】（1）當t=1時，∠AOM=10°，∠CON=20°，故∠COM=∠AOC?∠AOM=80°，即得∠MON=∠COM+∠CON=100°；（2）OC⊥OA，∠AOC與∠BOC的度數比為3:2，知∠AOC=90°，∠BOC=60°，故ON從OC旋轉到OB（或從OB旋轉到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM從OA旋轉到OC需要90°÷10°=9（秒），當0≤t≤3時，90°?10°t=20°t；當3<t≤6時，90°?10°t=60°?20°(t?3)；當6<t≤9時，90°?10°t=20°(t?6)，解方程可得答案；（3）當0≤t≤3時，∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+10°t=90°；當3<t≤6時，∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+60°?10°t=150°?20°t；當6<t≤9時，∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+10°t?60°=30°，即可得到答案．【詳解】（1）解：（1）當t=1時，∠AOM=10°，∠CON=20°，∴∠COM=∠AOC?∠AOM=90°?10°=80°，∴∠MON=∠COM+∠CON=100°；故答案為：100；（2）∵OC⊥OA，∠AOC與∠BOC的度數比為3:2，∴∠AOC=90°，∠BOC=60°，∴ON從OC旋轉到OB(或從OB旋轉到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM從OA旋轉到OC需要90°÷10°=9（秒），當0≤t≤3時，∠COM=90°?10°t，∠CON=20°t，∵OC恰好是∠MON的平分線，∴90°?10°t=20°t，解得t=3；當3<t≤6時，∠COM=90°?10°t，∠CON=60°?20°(t?3)，∵OC恰好是∠MON的平分線，∴90°?10°t=60°?20°(t?3)，解得t=3（舍去）；當6<t≤9時，∠COM=90°?10°t，∠CON=20°(t?6)，∵OC恰好是∠MON的平分線，∴90°?10°t=20°(t?6)，解得t=7；綜上所述，當t為3或7時，OC恰好是∠MON的平分線；（3）存在某個時間段，使得∠MOP的度數保持不變，理由如下：當0≤t≤3時，∠COM=90°?10°t，∠CON=20°t，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+10°t=90°，∴0≤t≤3時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=90°；當3<t≤6時，∠COM=90°?10°t，∠CON=60°?20°(t?3)=120°?20°t，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+60°?10°t=150°?20°t，∴3<t≤6時，∠MOP的度數隨t的改變而改變；當6<t≤9時，∠COM=90°?10°t，∠CON=20°(t?6)=20°t?120°，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°?10°t+10°t?60°=30°，∴6<t≤9時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=30°；綜上所述，0≤t≤3時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=90°；6<t≤9時，∠MOP的度數保持不變，∠MOP=30°．【點睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能應用分類討論思想解決問題．8．（2022上·貴州貴陽·七年級統考期末）已知∠AOB=90°,∠COD=60°，按如圖①所示擺放，將OA,OC邊重合在直線MN上，OB,OD邊在直線MN的兩側．(1)保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉至如圖②所示的位置，則∠AOC+∠BOD=，∠BOC?∠AOD=；(2)若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉時間為t分鐘．求∠MOC?∠AOD的大小（用t的代數式表示）；(3)保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉n°(n≤180°)，若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【答案】(1)150°,30°(2)(8t?60)°或(2t+60)°(3)15°【分析】（1）①將∠AOC+∠BOD轉化為∠COD+∠AOB即可得；②依據∠BOC=∠AOB?∠AOC、∠AOD=∠COD?∠AOC，將原式轉化為∠AOB?∠COD計算可得；（2）設運動時間為t秒，0<t≤36,∠MOC=(5t)°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD與OA相遇前、后表達式不同，故需分OD與OA相遇前后即0<t≤20和20<t≤36兩種情況求解；（3）設OC繞點O逆時針旋轉n°，則OD也繞點O逆時針旋轉n°，再分①射線OE、OF在射線OB同側；②射線OE、OF在射線OB異側，分別求解即可．【詳解】（1）①∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB=∠COD+∠AOB=60°+90°=150°，②∠BOC?∠AOD=(∠AOB?∠AOC)?(∠COD?∠AOC)=∠AOB?∠AOC?∠COD+∠AOC=∠AOB?∠COD=90°?60°=30°；故答案為：150°,30°；（2）設旋轉時間為t秒，則0<t≤36，∠MOC=(5t)°，①0<t≤20時，OD與OA相遇前，∠AOD=(60+2t?5t)°=(60?3t)°，∴∠MOC?∠AOD=(8t?60)°；②20<t≤36時，OD與OA相遇后，∠AOD=5t?(60+2t)∴∠MOC?∠AOD=(2t+60)°；（3）設OC繞點O逆時針旋轉n°，則OD也繞點O逆時針旋轉n°，①0<n°≤150°時，如圖①，OE、OF在射線OB同側，∵∠AOB=90°,∠MOD=60°?n°，∴∠BOD=∠AOB+∠MOD=150?n∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∴∠BOE=(90?1∴∠EOF=∠BOE?∠BOF=15°；②150°<n°≤180°時，如圖②，OE、OF在射線OB異側，∵∠AOB=90°,∠MOD=n°?60°，∴∠BOD=∠MOD?∠AOB=n?150∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∴∠BOE=(90?1∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°．綜上，∠EOF=15°．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關鍵是掌握角的和差計算、角平分線的定義及分類討論思想的運用．9．（2023上·四川成都·七年級統考期末）在同一平面內，以點O為公共頂點的∠AOB和∠POQ，滿足2∠AOQ=∠BOP，則稱∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”．已知∠AOB=60°（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖1，若∠AOQ=45°，OQ在∠AOB內，且∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，則∠AOP=；(2)如圖2，若射線OP、OQ同時從射線OB出發繞點O旋轉，射線OP以10°/秒的速度繞點O逆時針方向旋轉，到達直線BO后立即改為順時針方向繼續旋轉，速度仍保持不變；射線OQ以6°/秒的速度繞點O逆時針方向旋轉，射線OQ到達直線BO時，射線OP、OQ同時停止運動，設運動時間t秒，當t為何值時，∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”；(3)如圖3，∠POQ保持大小不變，在直線BO上方繞點O旋轉，若∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，設∠POQ=m°，請直接用含m的代數式表示∠BOP的大小．【答案】(1)30°或150°；(2)t=6011或(3)120°+2m3或2m+120°【分析】（1）根據“二倍關聯角”的概念，得到∠BOP=90°，分兩種情況討論即可得到答案；（2）分三種情況討論：①當0≤t<10時；②當10<t<18時；當18<t<30時，分別用含t的式子表示出∠AOQ和∠BOP,再利用“二倍關聯角”的概念列方程求解即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當∠POQ在∠AOB內部時；②當OA在∠POQ內部時；③當∠POQ在∠AOB外部時，利用“二倍關聯角”的概念分別求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，∠AOQ=45°，∴∠BOP=2∠AOQ=2×45°=90°；如圖1?1，當OP在OB上方時，∠AOP=∠BOP?∠AOB=90°?60°=30°，如圖1?2，當OP在OB下方時，∠AOP=∠BOP+∠AOB=90°+60°=150°，故答案為：30°或150°；（2）解：①當0≤t<10時，∠AOQ=∠AOB?∠BOQ=60?6t，∠BOP=10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(60?6t)=10t，∴t=60②當10<t<18時，∠AOQ=∠BOQ?∠AOB=6t?60，∠BOP=10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(6t?60)=10t，∴t=60，不符合題意，舍去；當18<t<30時，∠AOQ=∠BOQ?∠AOB=6t?60，∠BOP=360?10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍關聯角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(6t?60)=360?10t，∴t=240綜上可知，當t=6011或24011時，∠POQ（3）解：①如圖3?1，當∠POQ在∠AOB內部時，∠BOP=2∠AOQ=2∠AOB?∠BOQ解得：∠BOP=120°+2m②如圖3?2，當OA在∠POQ內部時，∠BOP=2∠AOQ=2(∠AOB?∠BOQ)=2[60°?(∠BOP?∠POQ)]=2[60°?(∠BOP?m)]=120°?2∠BOP+2m，解得：∠BOP=120°+2m③如圖3?3，當∠POQ在∠AOB外部時，∠BOP=2∠AOQ=2∠BOQ?∠AOB解得:∠BOP=2m+120°，綜上可知，∠BOP的大小為120°+2m3或2m+120°【點睛】本題考查了新定義——二倍關聯角，利用分類討論的思想，找準角度之間的數量關系是解題關鍵．10．（2022上·江蘇淮安·七年級淮陰中學新城校區校考期末）【閱讀材料】：如圖1，將線段OA0放在直線MN上，然后將線段OA0繞點O按如下方式旋轉：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始先順時針旋轉銳角α至OA1；第2步，從OA1開始繼續同向旋轉2α至OA2；第3步，從

例如：當α=20°時，OA1，OA【解決問題】：(1)當α=15°時，OA①∠A2OA3②求出∠A(2)當α<30°時,且∠A2OA4(3)若在整個旋轉過程中，OA4是第一次經過彈回后而得到的位置，則α的范圍是【答案】(1)①45°；60°；②45°(2)207；34013(3)18<α≤45【分析】（1）①當α=15°時，利用∠A2O②先求出∠A4ON=180°?∠（2）分三種情況討論即可得到答案；（3）根據在整個旋轉過程中，OA4是第一次經過彈回后而得到的位置，分情況討論即可得到【詳解】（1）解：①當α=15°時，∠A2O故答案為：45°；60°；②∵∠A4ON=180°?∠∴∠A故答案為：45°（2）①當OA3，則3α+4α=20，∴α=207②當OA4在則4α?180?6α解得α=③當OA4在則4α?180?6α解得α=綜上可知，α的值為207°或34013故答案為：207；34013（3）當OA4在OA則0<4α?180?6α解得18<α≤45當OA4在OA則180?6α<4α?180?6α解得452當OA4在OA2或者則3α≤4α?180?6α解得1807當OA4在OA1或OA則5α≤4α?180?6α解得36≤α≤45，若在整個旋轉過程中，OA4是第一次經過彈回后而得到的位置，則α的范圍是故答案為：18<α≤45【點睛】此題考查了角度的計算，理解題意正確列式是解題的關鍵．11．（2023上·四川成都·七年級統考期末）如圖1，A，O，B三點在一條直線上，且∠AOC=24°，∠BOD=78°，射線OM，ON分別平分∠AOD和∠BOD．如圖2，將射線OA以每秒8°的速度繞點O逆時針旋轉一周，同時將∠COD以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉，當射線OC與射線OB重合時，∠COD停止運動．設射線OA的運動時間為t秒．

(1)運動開始前，如圖1，∠DON=______°，∠AOM=______°；(2)旋轉過程中，當t為何值時，射線OD平分∠BOM?(3)旋轉過程中，是否存在某一時刻使得∠MON=42°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)39，51(2)t=5.4(3)存在，符合條件的t的值為12s或33s【分析】（1）根據平角的定義求得∠AOD，再根據角平分線的定義直接計算即可；（2）根據∠BOD=∠DOM列方程求解即可；（3）分情況根據∠MON=42°列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵A，O，B三點在一條直線上，∠AOC=24°，∠BOD=78°，∴∠AOD=180°?∠BOD=180°?78°=102°，∵OM，ON分別平分∠AOD和∠BOD，∴∠DON=12∠BOD=故答案為：39，51；（2）解：∵射線OA以每秒8°的速度繞點O逆時針旋轉一周，同時將∠COD以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉，∴∠AOD=180°?78°+6°t?8°t=102°?2°t，∵射線OM平分∠AOD，∴∠DOM=1∵∠BOD=78°?6°t，∴51°?t°=78°?6°t，∴t=5.4s（3）解：存在某一時刻使得∠MON=42°，分以下幾種情況：情況一：若ON在OB上方，此時∠DOM+∠DON=42°，即12解得t1情況二：若ON在OB下方，此時∠DOM?∠DON=42°，即12解得t2情況三：當∠COD停止運動時，OA繼續旋轉時，當OA旋轉264°時，有∠MON=42°，此時t=264綜上所述，符合條件的t的值為12s或33s．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，角平分線的性質，根據角的關系列方程求解是解題的關鍵．12．（2018下·江蘇揚州·八年級階段練習）解答下列問題．

(1)【探索新知】如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．①一個角的平分線這個角的“巧分線”．（填“是”或“不是”）②如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=．（用含α的代數式表示出所有可能的結果）(2)【深入研究】如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉，當與PQ與PN成180°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒．①當t為何值時，射線PM是∠QPN的“巧分線”．②若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止．請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值．【答案】(1)①是；②12α或2(2)①9s或18s或12s；②6s【分析】（1）①根據巧分線定義即可求解；②分3種情況，根據巧分線定義即可求解；（2）①分3種情況，根據巧分線定義得到方程求解即可；②分3種情況，根據巧分線定義得到方程求解即可．【詳解】（1）解：①一個角的平分線是這個角的“巧分線”；故答案為：是②∵∠MPN=α，當PQ是∠MPN的角平分線時，∴∠MPQ=1當PQ是∠MPN三等分線時，∠MPQ較小時，∴∠MPQ=1當PQ是∠MPN三等分線時，∠MPQ較大時，∴∠MPQ=2故答案為：12α或13（2）解：①∵PM是∠QPN的“巧分線”，∴PM在∠QPN內部，所以PQ轉至PM左側，∵PQ與PN成180°時停止旋轉，且∠MPN=60°，PQ旋轉速度為10°/s∴6<t≤18．當∠MPN=2∠Q

10t=60+1解得t=9；當∠MPN=∠QPN時，如圖所示：

10t=2×60，解得t=12；當2∠MPN=∠Q

10t=60+2×60，解得t=18．∵9s或12s或18s∴綜上可得：當t為9s或12s或18s時，射線PM②依題意有：PQ在∠MPN的內部，∴∠QPN=10t，∠MPN=5t+60，當∠QPN=1

10t=1解得t=2.4；②當∠QPN=1

10t=1解得t=4；③當∠QPN=2

10t=2解得t=6．∴當t為2.4s或4s或6s時，射線PQ【點睛】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查了角之間的數量關系，巧分線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，解題的關鍵是理解“巧分線”的定義．13．（2023下·上海長寧·六年級校聯考期末）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若∠COD=12∠AOB，則∠COD

(1)如圖1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的內半角，則∠BOD=________；(2)如圖2，已知∠AOB=120°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α0°<α<60°得∠COD，當旋轉角α為何值時，∠COB是∠AOD(3)已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點O以5度/秒的速度按順時針旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD能否構成內半角？若能，請直接寫出旋轉的時間；若不能，請說明理由．【答案】(1)20°(2)當旋轉角度α為40°時∠COB是∠AOD的內半角(3)能，分別為2秒，18秒，54秒，70秒【分析】（1）根據“內半角”的定義，可求出∠COD的度數，再根據∠BOD=∠AOB?∠AOC?∠COD，可得出結論；（2）由旋轉可分別求出∠BOC和∠AOD的度數，再根據“內半角”的定義，可列出等式120°?α=120°+α2，即可求出（3）由旋轉可知，分四種情況，分別進行討論，根據“內半角”的定義，可求出對應的時間．【詳解】（1）解：如圖1，∵∠AOB=70°，∠COD是∠AOB的內半角，

∴∠COD=1∵∠AOC=15°，∴∠BOD=∠AOB?∠AOC?∠COD=70°?15°?35°=20°；故答案為：20°．（2）解：如圖2，由旋轉可知，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠BOC=120°?α，∠AOD=120°+α，∵∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB=12∠AOD解得，α=40°；（3）解：能，理由如下：由旋轉可知，∠AOC=∠BOD=5°t；根據題意可分以下四種情況：①當射線OC在∠AOB內，如圖4，

此時，∠BOC=30°?5°t，∠AOD=30°+5°t，則∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB=12∠AOD解得t=2（秒)；②當射線OC在∠AOB外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6，如圖5，此時，∠BOC=5°t?30°，∠AOD=30°+5°t，

則∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB=12∠AOD解得t=18（秒)；如圖6，此時，∠BOC=360°?5°t+30°，∠AOD=360°?5°t?30°，

則∠AOD是∠BOC的內半角，∴∠AOD=12∠BOC解得t=54（秒)；③當射線OD在∠AOB內，如圖7，

此時，∠BOC=360°?5°t+30°，∠AOD=30°?(360°?5°t)=5°t?330°，則∠AOD是∠BOC的內半角，∴∠AOD=12∠BOC解得t=70（秒)；綜上，在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD構成內半角時，旋轉的時間分別為：2秒；18秒；54秒；70秒．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查旋轉中角度的表示，及角度的和差運算；由旋轉正確表達對應的角是本題解題關鍵．14．（2023上·甘肅蘭州·七年級校考期末）如圖，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠M=30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒2°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖2，經過t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判斷此時ON是否平分∠AOC？說明理由；(2)在（1）的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，那么經過多長時間OC平分∠MON？請說明理由．【答案】(1)t=152；ON平分(2)t的值為154或【分析】（1）根據∠AOC的度數求出∠COM的度數，根據互余得出∠CON的度數，進而求出時間t即可；根據題意和圖形得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根據∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；（2）根據題意和圖形得出∠CON=∠COM=45°，再根據旋轉求出結果即可．【詳解】（1）解：旋轉前∠MOC=90°?∠AOC=60°,當OM平分∠BOC時，∠MOC=1則2t=75?60,解得：t=15結論：ON平分∠AOC,理由：∵∠CON=90°?∠MOC=90°?75°=15°，又∵∠AOC=30°，∴∠AOC=2∠CON,∴ON平分∠AOC；（2）解：∠MOC=∠AOM?∠AOC=若OC平分∠MON，

則∠MOC=1∴60?4t=45，∴t=15當OC停止時,OC平分∠MON,則有2t=360?45,

∴t=315綜上所述，滿足條件的t的值為154或315【點睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程解決問題.15．（2022上·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學校聯考期末）如圖1，點O是彈力墻MN上一點，魔法棒從OM的位置開始繞點O向ON的位置順時針旋轉，當轉到ON位置時，從ON位置彈回，繼續向OM位置旋轉；當轉到OM位置時，再從OM位置彈回，繼續轉向ON位置，…，如此反復．按照這種方式將魔法棒進行如下步驟的旋轉：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉α至OA1；第2步，從OA1開始繼續旋轉2α至OA2；第3步，從OA2開始繼續旋轉3α至OA3，…．例如：當α=30°時，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在

解決如下問題：(1)若α=45°，在圖4中借助量角器畫出OA2，OA(2)若α<40°，且OA3所在的射線平分∠A(3)若α<35°，是否存在對應的α值使∠A2O【答案】(1)45°(2)對應的α值是20°或36°．(3)存在，對應的α值是307°或1507【分析】（1）根據題意，明確每次旋轉的角度，計算即可；（2）根據各角的度數，找出等量關系式，列出方程，求出α的度數即可；（3）類比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出α的度數即可．【詳解】（1）解：如圖1，

∠A（2）解：①當魔法棒從OM位置繞點O順時針旋轉到OA3位置（不到即OA3不從

∵OA3平分∴α+2α+3α+3α=180°，解得：α=20°．②當魔法棒從OM位置繞點O順時針旋轉到ON被彈回到OA3位置（在ON與

由題意可知：∠A∵OA3平分∴∠∴α+2α+α+α=180°，解得：α=36°．綜上，對應的α值是20°或36°．（3）解：分三種情況：①OA4和OA

3α+4α=30，α=30②OA4在

根據題意得：4α?180?6αα=150③OA4在

根據題意得：4α?180?6αα=30°；綜上，對應的α值是307°或1507【點睛】本題主要考查角度的計算的相關知識，可結合平角的性質及角度的加減進行計算分析．16．（2023上·河南漯河·七年級統考期末）如圖，∠AOB=90°,∠COD=60°．

(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度數；(2)渃∠BOC=114∠AOD(3)若射線OP從射線OB的位置開始，繞點O按逆時針方向以每秒12°的速度旋轉，同時射線OQ從射線OA的位置開始，繞點O按順時針方向以每秒9°的速度旋轉，射線OP旋轉的時間為t（單位：秒），且0<t<7.5，求當∠QOP=12∠AOP【答案】(1)30°(2)140°(3)3或5【分析】（1）利用角平分線的定義解答即可；（2）設∠AOD=x，利用角的和差列出關于x的方程，解方程即可求得結論；（3）利用分類討論的思想方法，根據題意畫出圖形，用含t的代數式表示出∠AOP和∠QOP的度數，依據∠QOP=1【詳解】（1）解：∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=1∵∠COD=60°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=30°；（2）解：設∠AOD=x，則∠BOC=1∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD?∠BOC，∴∠AOD=∠AOB+∠COD?∠BOC，∵∠AOB=90°，∠COD=60°，∴∠AOD=150°?∠BOC，∴x=150?1解得：x=140°，∴∠AOD的度數為140°．（3）解：當射線OP與射線OQ未相遇之前，如圖，

由題意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，∴∠AOP=90°?∠BOP=90°?12t，∠QOP=90°?∠AOQ?∠BOP=90°?21t，∵∠QOP=∴90°?21t=1解得：t=3；當射線OP與射線OQ相遇后且均在∠AOB內部時，如圖，

由題意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，∴∠AOP=90°?∠BOP=90°?12t，∠QOP=∠BOP?∠BOQ=∠BOP?90°?∠AOQ∵∠QOP=∴21t?90°=解得：t=5；綜上所述，當∠QOP=12∠AOP【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，分類討論的思想方法的應用，本題是新定義型題目，理解并熟練應用新定義是解題的關鍵．17．（2023上·四川成都·七年級統考期末）如圖，點O是直線MN上一點．將射線OM繞點O逆時針旋轉，轉速為每秒5°，得到射線OA；同時，將射線ON繞點O順時針旋轉，轉速為OM轉速的3倍，得到射線OB．設旋轉時間為t秒（0≤t≤12）．

(1)當t=4秒時（如圖1），求∠AOB的度數；(2)當射線OA與射線OB重合時（如圖2），求t的值；(3)是否存在t值，使得射線OB平分∠AOM？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)100°(2)9(3)存在t值，使得射線OB平分∠AOM，t的值為727【分析】（1）當t=4時，∠AOM=20°，（2）根據射線OA與射線OB重合時，列出方程求解即可；（3）由射線OB平分∠AOM，得5t=2180?15t【詳解】（1）解：當t=4時，∠AOM=4×5°=20°，∴∠AOB=180°?∠AOM?∠BON=100°，∴當t=4秒時，∠AOB為100°．（2）解：根據題意得：5t+3×5t=180，解得t=9，∴當射線OA與射線OB重合時，t的值是9．（3）解：存在t值，使得射線OB平分∠AOM，如圖：∵∠BON=3×5t∴∠BOM=180°?15°t,∵射線OB平分∠AOM，∴5t=2180?15t，解得t=∴t的值為727

【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用、平角的定義、角的運用等知識點，解題的關鍵是讀懂題意列出一元一次方程解決問題．18．（2023上·湖北襄陽·七年級統考期末）如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒4°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿道時針方向以每秒6°的速度旋轉，直線MN保持不動，如圖2，設旋轉時間為t(t的值在0到30

(1)當t=3時，求∠AOB的度數；(2)在運動過程中，當∠AOB第二次達到60°時，求t的值；(3)在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB與射線OA的夾角為90°？如果存在，請直接寫出t的值：如果不存在，請說明理由．【答案】(1)150°(2)24秒(3)存在，9秒或27秒【分析】（1）當t=3時，∠AOM=12°，∠BON=18°，根據平角減去∠AOM，∠BON即可求解；（2）根據題意，當∠AOB第二次達到60°時，則4t+6t=180+60，解方程即可求解；（3）當射線OB與射線OA第一次夾角為90°時，兩條射線共旋轉180°?90°=90°，當射線OB與射線OA第二次夾角為90°時，兩條射線共旋轉180°+90°=270°，分別解方程即可求解．【詳解】（1）解：當t=3時，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，所以∠AOB=180°?12°?18°=150°，答：∠AOB的度數是150°；（2）根據題意，當∠AOB第二次達到60°時，4t+6t=180+60，解得t=24，答：當∠AOB第二次達到60°時，t的值是24秒；（3）存在這樣的t，使得射線OB與射線OA的夾角為90°，理由如下：當射線OB與射線OA第一次夾角為90°時，兩條射線共旋轉180°?90°=90°，所以4t+6t=90，解得t=9；當射線OB與射線OA第二次夾角為90°時，兩條射線共旋轉180°+90°=270°，所以4t+6t=270，解得t=27，綜上所述，t的值是9秒或27秒．【點睛】本題考查了結合圖形中的角度計算，一元一次方程的應用，數形結合是解題的關鍵．19．（2023上·湖南長沙·七年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考期末）已知O為直線AB上一點，射線OD，OC，OE位于直線AB的下方且互不重合，OD在OE的右側，(1)如圖1，α=80°，當OD平分∠BOC時，求∠AOE的度數；(2)如圖2，若∠DOC=2∠BOD，且α<80°，求∠BOE的度數；（用含α的代數式表示）(3)如圖3，點M在射線OA上，把射線OM繞點O從OA開始以5度/秒的速度逆時針旋轉至OB結束，在旋轉過程中，設運動時間為t，射線ON是∠MOC的四等分線，且3∠CON=∠MON，請求出在運動過程中4∠AON+∠BOM的值．【答案】(1)40°(2)40°+α(3)4∠AON+∠BOM=360°【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠DOC=60°，進而求出∠COE=20°，再根據平角的定義即可得到答案；（2）根據∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD求出∠BOD=40°，則∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；（3）先求出∠AOC=60°，再分當0≤t<12時，如圖31所示，當12<t≤36時，如圖32所示，兩種情況分別求出∠AON，∠BOM的度數即可得到答案．【詳解】（1）解：∵OD平分∠BOC，∠BOC=120°，∴∠DOC=1∵∠DOE=α=80°，∴∠COE=∠DOE?∠DOC=20°，∴∠AOE=180°?∠BOC?∠COE=40°；（2）解：∵∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD，∴∠BOD=1∵∠DOE=α，∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；（3）解：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°?∠BOC=60°，當0≤t<12時，如圖31所示，∵射線OM繞點O從OA開始以5度/秒的速度逆時針旋轉至OB結束，∴∠AOM=5t∴∠COM=∠AOC?∠AOM=60°?5t°，∵3∠CON=∠MON，∴∠MON=3∴∠AON=∠AOM+∠MON=45°+∴4∠AON+∠BOM=180°+5t當12<t≤36時，如圖32所示，∵射線OM繞點O從OA開始以5度/秒的速度逆時針旋轉至OB結束，∴∠AOM=5t∴∠COM=∠AOM?∠AOC=5t°?60°，∵3∠CON=∠MON，∴∠CON=1∴∠AON=∠AOC+∠CON=∴4∠AON+∠BOM=180°+5t綜上所述，4∠AON+∠BOM=360°．【點睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．20．（2023上·江蘇泰州·七年級校考期末）已知∠AOB=2∠COD=140°，OE平分∠AOD．(1)如圖①，若∠COE=10°，求∠AOC的度數；(2)將∠COD繞頂點O按逆時針方向旋轉至如圖②的位置，∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系？請說明理由；(3)將∠COD繞頂點O按逆時針方向旋轉至如圖③的位置，（2）中的關系是否成立？請說明理由．【答案】(1)90°(2)∠BOD=2∠COE，理由見解析(3)不成立，理由見解析【分析】（1）先求出∠COD的度數，根據∠DOE=∠EOC+∠COD，求出∠EOD，角平分線得到∠AOE=∠EOD，再利用∠AOC=∠AOE+∠COE，即可得解；（2）設∠AOD=α，易得：∠BOD=140°?α，求出∠COE=∠AOC+∠AOE=70°?α+1（3）設∠AOD=α，則∠AOC=70°+α，∠BOD=360°?(140°+α)=220°?α，求出∠COE=∠AOC?∠AOE=70°+α?12α=70°+12【詳解】（1）解：∵∠AOB=2∠COD=140°，∴∠COD=1∴∠DOE=∠EOC+∠COD=80°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=80°，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=90°；（2）解：2∠COE=∠BOD；理由如下：設∠AOD=α，則∠AOC=70°?α，∠BOD=140°?α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=1∴∠COE=∠AOC+∠AOE=70°?α+1∴2∠COE=140°?α=∠BOD；（3）不成立，理由如下：設∠AOD=α，則∠AOC=70°+α，∠BOD=360°?(140°+α)=220°?α∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=1∴∠COE=∠AOC?∠AOE=70°+α?1∴2∠COE+∠BOD=140°+α+220°?α=360°；∴（2）中的關系不成立．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，正確的識圖，理清角的和差關系，熟練掌握角平分線平分角，是解題的關鍵．21．（2022上·安徽黃山·七年級統考期末）如圖1，把一副三角板拼在一起，邊OA、OC與直線EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°．此時易得∠BOD=75°．(1)如圖2，三角板COD固定不動，將三角板AOB繞點O以每秒5°的速度順時針開始旋轉，在轉動過程中，三角板AOB一直在∠EOD的內部，設三角尺AOB運動時間為t秒．①當t=2時，∠BOD=°；②求當t為何值時，使得∠AOE=2∠BOD；(2)如圖3，在（1）的條件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．①當∠AOE=20°時，∠MON=°；②請問在三角板AOB的旋轉過程中，∠MON的度數是否會發生變化？如果發生變化，請敘述理由；如果不發生變化，請求出∠MON的度數．【答案】(1)①65°；②10(2)①37.5°；②不變化，37.5°【分析】（1）①根據題意和角的和差進行求解即可；②由∠AOE=2∠BOD，結合題意可得∠AOE+∠BOD=75°，從而得出∠BOD=25°，∠AOE=50°，進而求出時間t；（2）①根據OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠EOM=∠BOM=12∠EOB,∠AON=∠DON=12②根據OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠MOE=12∠AOE+22.5°，∠NOD=60°?【詳解】（1）解：①當t=2時，∠AOE=5°×2=10°，∴∠BOD=75°?10°=65°，故答案為：65°；②∵∠AOE=2∠BOD，∠AOE+∠BOD=75°∴∠BOD=25°，∴∠AOE=50°，∴t=50°∴當t為10秒時，∠AOE=2∠BOD；（2）①∵OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，∴∠EOM=∠BOM=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=======37.5°，故答案為：37.5°；②∠MON的度數不發生變化，理由：∵OM平分∠BOE，∴∠MOE=1∵ON平分∠AOD，∴∠NOD=1=1∵∠MON=180°?∠DOC?∠MOE?∠NOD，∴∠MON=120°?(1=120°?=37.5°．【點睛】本題考查了幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義，讀懂題意，能準確得出相應角的數量關系是解本題的關鍵．22．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·七年級統考期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC:∠BOC=1:3，將一直角三角板的直角頂點放在點О處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方．(1)∠BOC=___________度；(2)將圖1中的三角板繞點О按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為___________度；(3)在（2）旋轉過程中，當旋轉至圖3的位置時，使得OM在∠BOC的內部，ON落在直線AB下方，試寫出∠COM與∠BON之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)135(2)180(3)∠COM?∠BON=45°，見解析【分析】（1）根據∠AOC:∠BOC=1:3及鄰補角可進行求解；（2）根據OM的初始位置和旋轉后在圖2的位置進行分析；（3）依據已知先計算出∠BOC=135°，則∠MOB=135°?MOC，根據∠BON與∠MOB互補，則可用∠MOC表示出∠BON，從而發現二者之間的等量關系．【詳解】（1）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=3故答案為135；（2）解：OM由初始位置旋轉到圖2位置時，在一條直線上，所以旋轉了180°．故答案為180；（3）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，∴∠BOC=180°×3∵∠MOC+∠MOB=135°，∴∠MOB=135°?∠MOC．∴∠BON=90°?∠MOB=90°?(135°?∠MOC)=∠MOC?45°．即∠COM?∠BON=45°．【點睛】本題主要考查了角之間的和差關系，解題時一定要結合圖形分析題目．23．（2023上·廣東廣州·七年級統考期末）如圖1，已知OC是∠AOB內部的一條射線，M，N分別為OA，OB上的點，線段OM，ON同時開始旋轉，線段OM以30度/秒的速度繞點O順時針旋轉，線段ON以10度/秒的速度繞點O逆時針旋轉，當OM旋轉到與OB重合時，線段OM，ON都停止旋轉．設OM旋轉的時間為t秒．(1)若∠AOB=150°，則①填空：當t=1時，∠MON=______；當t=4時，∠MON=______．②若OC是∠AOB的平分線，當t為何值時，∠NOB與∠COM中的一個角是另一個角的2倍？(2)如圖2，若OM，ON分別在∠AOC，∠COB內部旋轉時，總有∠COM=3∠CON，請填空：∠BOC∠AOB【答案】(1)①110°；10°；②t=32或(2)1【分析】（1）①當t=1時，線段OM與ON未相遇，根據∠MON=∠AOB?∠AOM?∠BON計算即可；當t=4時，線段OM與ON已相遇過，根據∠MON=∠BON?∠AOB?∠AOM②分兩種情況討論，列出方程可求解；（2）由∠COM=3∠CON，列出關于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解．【詳解】（1）解：①當t=1時，如圖，∠MON=150°?10°×1?30°×1=110°；當t=4時，如圖，∠MON=4×10°?150°?4×30°故答案為：110°；10°；②∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC=1若∠COM=2∠BON時，30t?75=2×10t∴t=32或當∠BON=2∠COM時，230t?75∴t=157或綜上所述：當t=32或157或3時，兩個角∠NOB（2）解：∵∠COM=3∠CON，∴∠AOB?∠BOC?30t=3∠BOC?10t∴∠AOB=4∠BOC，∴∠BOC∠AOB故答案為：14【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，幾何圖形中角的運算，解題的關鍵是利用角的和差關系列出算式及等式．24．（2023上·廣東珠海·七年級統考期末）如圖1，把一副直角三角板的直角邊BO和DO分別放在直線MN上，兩個三角板分別在直線MN兩側，∠AOB=90°，(1)在圖1中，∠AOC=___________，∠BOC=___________；(2)如圖2，OE為射線，將三角板AOB繞點O旋轉，使△AOB的一邊OB恰好平分∠NOE．問：此時OA是否平分∠DOE？請說明理由；(3)將圖2中的三角板AOB繞點O旋轉至圖3的位置，使OA在∠DOC的內部．①求∠COB+∠DOA的度數；②求∠BOD?∠AOC的度數．【答案】(1)120°，150°(2)OA平分∠DOE，見解析(3)①120°，②60°【分析】對于（1），根據角的和差解答即可；對于（2），根據角平分線定義得∠EOB=∠NOB，再根據等角的余角相等得∠AOE=∠AOD，進而得出答案；對于（3）①，由題意得出∠COB+∠DOA=∠AOB+∠COA+∠AOD，再代入計算即可，②由題意得出∠BOD?∠AOC=∠AOB?(∠AOD+∠AOC)【詳解】（1）∠AOC=90°+30°=120°，∠BOC=180°?30°=150°．故答案為：120°，150°；（2）OA平分∠DOE，理由如下：∵OB平分∠NOE，∴∠EOB=∠NOB．∵∠AOB=90°，∴∠AOE+∠EOB=90°，∠AOD+∠NOB=180°?∠AOB=90°，則∠AOE=∠AOD，即OA平分∠DOE；（3）①∠COB+∠DOA==∠AOB+=90°+30°=120°；②∠BOD?∠AOC==∠AOB?(∠AOD+∠AOC)=90°?30°=60°．【點睛】本題主要考查了三角板中角的和差，角平分線定義等，弄清各角之間的數量關系是解題的關鍵．25．（2023上·湖北武漢·七年級統考期末）已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如圖1，當OB，OC重合時，求(2)如圖2，當∠COD從圖1所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉t秒時（0<t<10），在旋轉過程中∠AOE?∠BOF的值是否會因t的變化而變化？若不發生變化，請求出該定值：若發生變化，請說明理由．(3)在（2）的條件下，當∠COF=18°時，求t的值．【答案】(1)33°(2)不變，∠AOE?∠BOF=33°是定值．(3)2【分析】（1）首先根據角平分線的定義求得∠AOE=12∠AOC=（2）首先由題意可得∠BOC=3t°，再根據角平分線的定義得出∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，然后由角平分的定義解答即可；（3）根據題意可得∠BOF=3t+18°，得出【詳解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=∴∠AOE?∠BOF=54°?21°=33°；（2）解：∠AOE?∠BOF=33°是定值．理由如下：由題意：∠BOC=3t°，則∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=1∠BOF=1∠AOE?∠BOF=54°+∴∠AOE?∠BOF的值是定值，定值為33°；（3）解：根據題意得：∠BOF=3t+18∴3t+18=21+3解得：t=2．故答案為2．【點睛】本題考查了角度的計算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關系是解題的關鍵．26．（2023上·河北張家口·七年級統考期末）如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC，∠COE=140°，將一直角三角板AOB的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒20°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．

(1)當直角三角板旋轉到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，求此時∠BOC的度數；(2)若射線OC的位置保持不變，在旋轉過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出t的取值，若不存在，請說明理由；(3)若在三角板開始轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒25°的速度逆時針旋轉一周，從旋轉開始多長時間，射線OC平分∠BOD．直接寫出t的值．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）【答案】(1)∠BOC=70°(2)存在，t=1或4或16(3)13或373【分析】（1）先根據補角定義求出∠COD的度數，再根據角平分線的定義求出∠COA的度數，最后根據余角定義即可求出∠BOC的度數；（2）分三種情況討論，①當OA平分∠COD時，②當OC平分∠AOD時，③當OD平分∠AOC時，可分別求出t的值；（3）設運動時間為t，分三種情況分別畫出圖形進行討論，利用角平分線的定義列方程即可求出t的值．【詳解】（1）解：∵∠COE=140°，∴∠COD=180°?∠COE=40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC=1∵∠AOB=90°，∴∠BOC=90°?∠AOC=70°；（2）存在，當OA平分∠COD時，∠AOD=∠AOC=20°，

即20°t=20°，解得：t=1；當OC平分∠AOD時，∠AOC=∠DOC=40°，

即20°t?40°=40°，解得：t=4；當OD平分∠AOC時，∠AOD=∠COD=40°，

即360°?20°t=40°，解得：t=16；綜上所述：t=1或4或16；（3）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD，①設運動時間為t，如圖，∠BOD=90°+20°t，∠COD=40°+25°t，

∴90+20t=240+25t解得：t=1②如圖，∠COD=360°?40°?25°t=320°?25°t，∠BOD=270°?20°t，

∴270?20t=2320?25t解得：t=37③當OC回到起始位置后，

∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD=40°，∠BOD=80°，∴t=360?10所以t的值為13或373或【點睛】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的應用，角的動態定義的理解，掌握分類討論思想是關鍵．27．（2022上·江西新余·七年級統考期末）[閱讀理解]定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”，如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT=2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．[遷移運用](1)如圖1，射線PT_____（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；射線PS_____（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB=40°，射線OC從ON出發，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB，當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數．【答案】(1)是；不是(2)①t的值為52或352；②∠CON的度數為160°【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的定義結合圖形進行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC=90°?4t，∠AOB=40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC兩種情況討論解答，依據上述等式列出方程，解方程即可求得結論；②由題意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON?∠AOD=70°+2t，利用分類討論的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM兩種情況討論解答，依據上述等式列出方程，解方程即可求得結論．【詳解】（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS，∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”．故答案為：是；不是．（2）解：①由題意得：∠AOC=90°?4t，∠AOB=40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC，當∠AOC=2∠AOB時，如圖所示：則：90?4t=2×40，解得：t=5當∠AOB=2∠AOC時，如圖所示：則：40=290?4t解得：t=35綜上，當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為52或35②由題意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON?∠AOD=70°+2t，∵當射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON=∠CON，∴90+2t=4t，∴t=45．∴當t=45秒時，運動停止，此時∠AON=180°，∵射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM，當