專題11.4隨機事件的概率與古典概型練基礎練基礎1．（2021·全國·高一課時練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，3次中9環，4次中8環，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.92．（2021·全國·高一課時練習）已知A與是互斥事件，且，，則等于（）A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.83.（2019·全國高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·廣東順德·高二期中）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學這兩場投籃的命中率為（）A．72% B．74% C．75% D．76%5．（2021·廣東·佛山市南海區九江中學高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.8，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（）A． B． C． D．6.【多選題】（2021·廣東·仲元中學高二開學考試）下列說法錯誤的是（）A．隨著試驗次數的增大，隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于該隨機事件發生的概率B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎C．連續100次擲一枚硬幣，結果出現了49次反面，則擲一枚硬幣出現反面的概率為D．某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為明天不會降水7．（2021·全國·高一課時練習）從某自動包裝機包裝的食品中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據抽測結果估計該自動包裝機包裝的袋裝食品質量在497.5～501.5g之間的概率為_______.8．（2021·全國·高一課時練習）從一批乒乓球產品中任取一個，若其質量小于2.45g的概率為0.22，質量不小于2.50g的概率為0.20，則質量在2.45~2.50g范圍內的概率為___________.9．（2021·全國·高一課時練習）操作1：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.操作2：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發現？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，你用什么方法估計其中黑芝麻所占的百分比？10.（2021·北京豐臺·高二期中）從兩個黑球（記為和）、兩個紅球（記為和）從中有放回地任意抽取兩球．（1）用集合的形式寫出試驗的樣本空間；（2）求抽到的兩個球都是黑球的概率．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·北京豐臺·高二期中）袋子中有4個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，1個黃球，從中隨機抽取2個球，則抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球的概率是（）A． B． C． D．2．（2021·北京市第八中學怡海分校高二期中）某人打靶時連續射擊兩次，下列事件中與事件“只有一次中靶”互斥而不對立的是（）A．至少一次中靶 B．至多一次中靶C．至多兩次中靶 D．兩次都中靶3．（2021·全國·高三月考（文））2019年版高中數學人教版教材一共有5本.分別是《必修第一冊》《必修第二冊》《選擇性必修第一冊》《選擇性必修第二冊》《選擇性必修第三冊》，在一次數學新教材培訓會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現從中隨機抽出了3本送給在場的培訓學員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為（）A． B． C． D．4．（2021·廣西南寧·高三月考（文））哥尼斯堡“七橋問題”是著名的古典數學問題，它描述的是:在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來(如圖1).問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點?瑞士數學家歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把該問題歸結為如圖2所示的“一筆畫”問題，并證明了上述走法是不可能的.假設在圖2所示七條線中隨機選取兩條不同的線，則這兩條線都與A直接相連的概率為（）A． B． C． D．5．（2021·廣東·廣州市協和中學高二期中）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負互不影響，在甲已經先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．6.（2021·廣東·仲元中學高一期末）數學多選題A，B，C，D四個選項，在給出的選項中，有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯的得0分.已知某道數學多選題正確答案為BCD，小明同學不會做這道題目，他隨機地填涂了1個，或2個，或3個選項，則他能得分的概率為（）A． B． C． D．7.（2021·上海市松江二中高二月考）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為___________．8．（2021·北京市第八中學怡海分校高二期中）1.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋子中依次不放回地摸出2個球.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求摸出的2個球顏色相同的概率.9．（2021·浙江·臺州市路橋區東方理想學校高二月考）從編號為A、B、C、D的4名男生和編號為m、n的2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；（3）求所選3人中至少有一名女生的概率10．（2021·陜西·西安中學高二月考（理））福州某中學高一（10）班男同學有45名，女同學有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個由4人組成的課外學習興趣小組.（1）求課外興趣小組中男?女同學的人數；（2）經過一個月的學習?討論，這個興趣小組決定從該組內選出2名同學分別做某項試驗，求選出的2名同學中恰有1名女同學的概率；（3）試驗結束后，同學A得到的試驗數據為68，70，71，72，74；同學B得到的試驗數據為69，70，70，72，74；請問哪位同學的試驗更穩定？并說明理由.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·山東·高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率是（）A． B． C． D．2．（2020·海南省高考真題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%3．（2020·全國高考真題（文））設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）A． B．C． D．4.（2019·江蘇高考真題）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_____.5.（2020·江蘇省高考真題）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是_____.6．（2017·山東高考真題（文））某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括A1，但不包括B1的概率．專題11.4隨機事件的概率與古典概型練基礎練基礎1．（2021·全國·高一課時練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，3次中9環，4次中8環，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9【答案】D【分析】直接利用頻率的公式求解.【詳解】由題得這個人中靶的次數為2+3+4=9，所以此人中靶的頻率是.故選：D2．（2021·全國·高一課時練習）已知A與是互斥事件，且，，則等于（）A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.8【答案】D【分析】根據互斥事件概率的加法關系即可求解．【詳解】由題：A，B是互斥事件,所以，且，,則．故選：D3.（2019·全國高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．4．（2021·廣東順德·高二期中）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學這兩場投籃的命中率為（）A．72% B．74% C．75% D．76%【答案】B【分析】根據題意可直接計算.【詳解】該同學這兩場投籃的命中率為.故選：B.5．（2021·廣東·佛山市南海區九江中學高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.8，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲不輸分為甲勝乙和甲乙下成平局兩種情況，其中甲勝乙和甲乙下成平局是互斥事件，根據互斥事件的概率加法公式進行求解即可.【詳解】甲不輸棋的設為事件A，甲勝乙設為事件B，甲乙下成平局設為事件C，則事件A是事件B與事件C的和，顯然B、C互斥，所以，而，，所以，所以甲勝的概率是0.3故選:B6.【多選題】（2021·廣東·仲元中學高二開學考試）下列說法錯誤的是（）A．隨著試驗次數的增大，隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于該隨機事件發生的概率B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎C．連續100次擲一枚硬幣，結果出現了49次反面，則擲一枚硬幣出現反面的概率為D．某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為明天不會降水【答案】BCD【分析】根據概率的定義和生活中的概率判斷各選項的對錯.【詳解】由頻率和概率的關系可知隨著試驗次數的增大，隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于該隨機事件發生的概率，A正確，某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票不一定能中獎，B錯誤，擲一枚硬幣出現反面的概率為，C錯誤，某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是明天有70%的可能會降水，D錯誤，故選：BCD.7．（2021·全國·高一課時練習）從某自動包裝機包裝的食品中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據抽測結果估計該自動包裝機包裝的袋裝食品質量在497.5～501.5g之間的概率為_______.【答案】0.25【分析】找到質量在497.5～501.5g之間的袋數由頻率可得答案.【詳解】質量在497.5～501.5g之間的有498，501，500，501，499共5袋，所以其頻率為＝0.25，由此我們可以估計質量在497.5～501.5g之間的概率為0.25.故答案為：0.25.8．（2021·全國·高一課時練習）從一批乒乓球產品中任取一個，若其質量小于2.45g的概率為0.22，質量不小于2.50g的概率為0.20，則質量在2.45~2.50g范圍內的概率為___________.【答案】0.58【分析】利用概率的性質計算出所求概率.【詳解】依題意質量在2.45~2.50g范圍內的概率為.故答案為：9．（2021·全國·高一課時練習）操作1：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.操作2：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發現？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，你用什么方法估計其中黑芝麻所占的百分比？【答案】答案見解析【分析】利用頻率估計概率的思想可得出結論.【詳解】通過兩次操作，我們會有所發現，比如：操作1中，黑芝麻的頻率為，操作2中，黑芝麻的頻率為，在攪拌均勻的前提下，由此可想到可將這袋芝麻攪拌均勻后從中取出一杯，將此杯中黑芝麻的頻率作為黑芝麻所占的百分比的估計.10.（2021·北京豐臺·高二期中）從兩個黑球（記為和）、兩個紅球（記為和）從中有放回地任意抽取兩球．（1）用集合的形式寫出試驗的樣本空間；（2）求抽到的兩個球都是黑球的概率．【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）根據題意，列出樣本空間所有可能的情況即可；（2）列出抽到兩個球都是黑球的所有可能情況，利用古典概型的概率公式計算即可（1）試驗的樣本空間；（2）設事件“抽到兩個黑球”，則對于有放回簡單隨機抽樣，．因為樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．因此．所以抽到的兩個球都是黑球的概率為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·北京豐臺·高二期中）袋子中有4個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，1個黃球，從中隨機抽取2個球，則抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出從有4個大小質地完全相同的球的袋子中隨機抽取2個球和抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球的基本事件的個數，再根據古典概型公式即可得解.【詳解】解：從有4個大小質地完全相同的球的袋子中隨機抽取2個球有種情況，抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球有，所以抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球的概率是.故選：B.2．（2021·北京市第八中學怡海分校高二期中）某人打靶時連續射擊兩次，下列事件中與事件“只有一次中靶”互斥而不對立的是（）A．至少一次中靶 B．至多一次中靶C．至多兩次中靶 D．兩次都中靶【答案】D【分析】事件A和B互斥而不對立所需要的條件是且，一一驗證A、B、C、D四個選項，選出答案.【詳解】設“只有一次中靶”為事件A設“至少一次中靶”為事件B，則事件B包含：“有一次中靶”和“有兩次中靶”兩種情況，，顯然，不互斥，A選項錯誤；設“至多一次中靶”為事件C，則事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，顯然，不互斥，B選項錯誤；設“至多兩次中靶”為事件D，則事件D包含事件：“有兩次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，顯然，不互斥，C選項錯誤；設“兩次都中靶”為事件E，則，，滿足互斥而不對立所需要的條件，故選項D正確.故選：D3．（2021·全國·高三月考（文））2019年版高中數學人教版教材一共有5本.分別是《必修第一冊》《必修第二冊》《選擇性必修第一冊》《選擇性必修第二冊》《選擇性必修第三冊》，在一次數學新教材培訓會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現從中隨機抽出了3本送給在場的培訓學員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】應用組合數計算隨機抽出了3本恰有1本選擇性必修的新教材的抽取方法，再應用古典概型的概率求法求出概率即可.【詳解】由題設，隨機抽出了3本恰有1本選擇性必修的新教材的概率為.故選：B4．（2021·廣西南寧·高三月考（文））哥尼斯堡“七橋問題”是著名的古典數學問題，它描述的是:在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來(如圖1).問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點?瑞士數學家歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把該問題歸結為如圖2所示的“一筆畫”問題，并證明了上述走法是不可能的.假設在圖2所示七條線中隨機選取兩條不同的線，則這兩條線都與A直接相連的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合古典概型公式和組合公式直接求解.【詳解】由題可知，若從7條線路中選2條，則有種方法，若選出的兩條線都與相連，則共有種方法，則這兩條線都與A直接相連的概率為.故選：D5．（2021·廣東·廣州市協和中學高二期中）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負互不影響，在甲已經先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲獲得冠軍有兩種情況,第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍,第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，求出兩種情況下的概率，相加即可.【詳解】在甲已經先勝一局的情況下，甲獲得冠軍有兩種情況，第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍，第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，故甲獲得冠軍的概率為.故選：B.6.（2021·廣東·仲元中學高一期末）數學多選題A，B，C，D四個選項，在給出的選項中，有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯的得0分.已知某道數學多選題正確答案為BCD，小明同學不會做這道題目，他隨機地填涂了1個，或2個，或3個選項，則他能得分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合數求得隨機地填涂了1個或2個或3個選項，每種可能性都是相同的，然后列舉計數能得分的涂法種數，求得所求概率.【詳解】解：隨機地填涂了1個或2個或3個選項，共有種涂法，能得分的涂法為（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7種，故他能得分的概率為．故選：A.7.（2021·上海市松江二中高二月考）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為___________．【答案】【分析】首先排好4個1,，即可產生5個空，再利用插空法求出2個0相鄰與2個0不相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：將4個1和2個0隨機排成一行，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為故答案為：8．（2021·北京市第八中學怡海分校高二期中）1.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋子中依次不放回地摸出2個球.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求摸出的2個球顏色相同的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）列舉法把所有情況寫出來，用集合表示，就是試驗的樣本空間；（2）有古典概率的公式進行計算（1）試驗的樣本空間為：（2）設事件“摸出的兩個球的顏色相同”所以，，所以9．（2021·浙江·臺州市路橋區東方理想學校高二月考）從編號為A、B、C、D的4名男生和編號為m、n的2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；（3）求所選3人中至少有一名女生的概率【答案】（1）答案見解析（2）（3）【分析】（1）列舉法寫出基本事件；（2）結合古典概型概率公式即可求出結果；（3）結合古典概型概率公式即可求出結果.（1）設4名男生分別為A，B，C，D，兩名女生分別為m，n，則從6名學生中任3人的所有情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，（2）由（1）可知共有20種情況，其中所選3人中恰有一名女生的有12種，所以所求概率為，（3）由（1）可知共有20種情況，所選3人中至少有一名女生的有16種，所以所求概率為10．（2021·陜西·西安中學高二月考（理））福州某中學高一（10）班男同學有45名，女同學有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個由4人組成的課外學習興趣小組.（1）求課外興趣小組中男?女同學的人數；（2）經過一個月的學習?討論，這個興趣小組決定從該組內選出2名同學分別做某項試驗，求選出的2名同學中恰有1名女同學的概率；（3）試驗結束后，同學A得到的試驗數據為68，70，71，72，74；同學B得到的試驗數據為69，70，70，72，74；請問哪位同學的試驗更穩定？并說明理由.【答案】（1）男?女同學的人數分別為3，1（2）（3）B同學的實驗更穩定，理由見解析【分析】（1）按照分層抽樣的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，從而解決；（2）先算出選出的兩名同學的基本事件數，再算出恰有一名女同學事件數，兩者比值即為所求概率；（3）欲問哪位同學的試驗更穩定，只要算出他們各自的方差比較大小即可.（1）解：因為每個同學被抽到的概率為，課外興趣小組中男、女同學的人數分別為3，1；（2）解：把3名男同學和1名女同學記為a1，a2，a3，b，則選取兩名同學的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6種，其中有一名女同學的有3種，所以，選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為；（3）解：，，∴，，∴B同學的實驗更穩定.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·山東·高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】應用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率即可.【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點的種數為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的種數為2，∴甲、乙兩位同窗恰好選取