七種零點問題方法技巧方法技巧1.轉化思想在函數零點問題中的應用方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.2.判斷函數零點個數的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.(3)將函數y＝f(x)－g(x)的零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數來判斷.3.正弦型函數的零點個數問題，可先求出零點的一般形式，再根據零點的分布得到關于整數的不等式組，從而可求相應的參數的取值范圍.4.涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性、最值等，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.5.函數零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．6.對于復合函數的零點個數問題，求解思路如下：（1）確定內層函數和外層函數；（2）確定外層函數的零點；（3）確定直線與內層函數圖象的交點個數分別為、、、、，則函數的零點個數為.能力拓展能力拓展題型一：零點存在定理法判斷函數零點所在區間一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））若實數，，滿足，，，則（

）A． B．C． D．2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））函數的零點所在的區間為（

）A． B． C． D．3．（2022·北京密云·高三期末）心理學家有時使用函數來測定在時間內能夠記憶的量，其中A表示需要記憶的量，表示記憶率．假設一個學生有200個單詞要記憶，心理學家測定在5min內該學生記憶20個單詞．則記憶率所在區間為（

）A． B．C． D．4．（2022·河南焦作·一模（理））設函數的零點為，則（

）A． B． C． D．5．（2021·江蘇·泰州中學高三階段練習）已知，函數的零點為，的極小值點為，則（

）A． B．C． D．6．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））函數的零點所在的區間為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）函數在區間的最小值為，且在區間唯一的極大值點．則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）設函數的定義域為R，如果存在常數，對于任意，都有，則稱函數是“類周期函數”，T為函數的“類周期”．現有下面四個命題，正確的是（

）A．函數是“類周期函數”B．函數是“類周期函數”C．如果函數是“類周期函數”，那么“，”D．如果“類周期函數”的“類周期”為，那么它是周期為2的周期函數9．（2021·江西·模擬預測）已知實數，設方程的兩個實數根分別為，則下列結論正確的是（

）A．不等式的解集為B．不等式的解集可能為空集C．D．三、填空題10．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中，正確的是___________．(寫出所有正確命題的編號)①在中，是的充要條件；②函數的最大值是；③若命題“，使得”是假命題，則；④若函數，，則函數在區間內必有零點．11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，且，為的導函數，下列命題：①存在實數，使得導函數為增函數；②當時，函數不單調；③當時，函數在上單調遞減；④當時，函數有極值．在以上命題中，正確的命題序號是______．12．（2021·福建·三明一中高三學業考試）已知函數的零點，則__________．13．（2022·全國·高三專題練習）已知，均為正實數，且滿足，，則下面四個判斷：①；②；③；④.其中一定成立的有__（填序號即可）.14．（2020·湖南邵陽·三模（理））在數學中，布勞威爾不動點定理是拓樸學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，簡單來講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使，那么我們稱該函數為“不動點”函數，給出下列函數：①；②③；④（）；⑤；其中為“不動點”函數的是_________.（寫出所有滿足條件的函數的序號）15．（2020·全國·高三專題練習（理））函數f(x)＝1＋x－＋，g(x)＝1－x＋－，若函數F(x)＝f(x＋3)g(x－4)，且函數F(x)的零點均在[a，b](a<b，a，b∈Z)內，則b－a的最小值為________.四、解答題16．（2022·陜西西安·高三階段練習（文））已知函數（e為自然對數的底數，）.(1)若，求證：在區間內有唯一零點；(2)若在其定義域上單調遞減，求a的取值范圍.17．（2022·貴州遵義·高三開學考試（理））已知函數.(1)討論的導函數零點的個數；(2)若的最小值為e，求a的取值范圍.題型二：方程法判斷零點個數一、單選題1．（2022·福建福州·三模）已知函數，以下結論中錯誤的是（

）A．是偶函數 B．有無數個零點C．的最小值為 D．的最大值為2．（2022·北京·模擬預測）已知函數，且，則的零點個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））聲音是由物體振動產生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數．若某聲音對應的函數可近似為，則下列敘述正確的是（

）A．為的對稱軸 B．為的對稱中心C．在區間上有3個零點 D．在區間上單調遞增4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=x+2,x<1,x+2xA．0 B．1 C．2 D．3二、多選題5．（2022·海南?？凇つM預測）已知函數，則（

）A．的定義域為R B．是奇函數C．在上單調遞減 D．有兩個零點6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，下列說法正確的是（

）.A．是周期函數B．若，則（）C．在區間上是增函數D．函數在區間上有且僅有一個零點7．（2022·全國·高三專題練習）若和都是定義在上的函數，且方程有實數解，則下列式子中可以為的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習（理））關于函數有下述四個結論，則（

）A．是偶函數 B．的最小值為C．在上有4個零點 D．在區間單調遞增三、填空題9．（2022·福建·模擬預測）已知函數，其中，若在區間(，)上恰有2個零點，則的取值范圍是____________.10．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學研究室二模（文））已知函數有3個零點，則實數m的取值范圍為______．四、解答題11．（2022·全國·模擬預測（文））已知函數.(1)討論的單調性；(2)當時，證明在上有且僅有兩個零點.12．（2022·四川省高縣中學校模擬預測（文））已知函數.(1)當時，判定的零點的個數；(2)是否存在實數，使得當時，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.題型三：數形結合法判段函數零點個數一、單選題1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函數，則下列關于函數的描述中，其中正確的是（

）．①當時，函數沒有零點；②當時，函數有兩不同零點，它們互為倒數；③當時，函數有兩個不同零點；④當時，函數有四個不同零點，且這四個零點之積為1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數，則關于的方程有個不同實數解，則實數滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且3．（2022·安徽·模擬預測（文））已知函數，若有4個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南河南·三模（理））函數的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6二、多選題5．（2022·廣東·普寧市華僑中學二模）對于函數，下列結論中正確的是（

）A．任取，都有B．，其中；C．對一切恒成立；D．函數有個零點；6．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，且對任意，有，當時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數B．點是函數的一個對稱中心C．D．函數有3個零點三、填空題7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函數，則函數的零點個數是______個．8．（2022·內蒙古呼和浩特·一模（理））下面四個命題：①已知函數的定義域為，若為偶函數，為奇函數，則；②存在負數，使得恰有3個零點；③已知多項式，則；④設一組樣本數據的方差為，則數據的方差為其中真命題的序號為___________.9．（2022·四川成都·二模（文））定義在R上的奇函數f（x）滿足，且當時，．則函數的所有零點之和為______．10．（2022·全國·高三專題練習）已知，給出下列四個結論：（1）若，則有兩個零點；（2），使得有一個零點；（3），使得有三個零點；（4），使得有三個零點．以上正確結論的序號是__．四、解答題11．（2022·北京·高三學業考試）給定集合，為定義在D上的函數，當時，，且對任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，補充在橫線處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問題：（1）寫出和的值；（2）寫出在上的單調區間；（3）設，寫出的零點個數．12．（2021·河北·高三階段練習）已知函數的最小正周期為.（1）求函數的單調遞增區間；（2）若先將函數圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將其圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，求方程在上根的個數.13．（2021·遼寧·高三階段練習）已知函數的最小正周期為．（I）求函數的解析式；（II）若先將函數的圖象向左平移個單位長度，再將其圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的零點個數．題型四：轉化法判斷函數零點個數一、單選題1．（2022·安徽·巢湖市第一中學高三期中（文））已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．2 D．13．（2021·天津市實驗中學濱海學校高三期中）已知函數則函數的零點個數不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習）對于任意正實數，關于的方程的解集不可能是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·江蘇無錫·高三期末）高斯被人認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱.有這樣一個函數就是以他名字命名的：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，又稱為取整函數.如：，.則下列結論正確的是（

）A．函數是上的單調遞增函數B．函數有個零點C．是上的奇函數D．對于任意實數，都有6．（2022·全國·高三專題練習）定義域和值域均為（常數）的函數和圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（

）A．方程有且僅有三個解B．方程有且僅有三個解C．方程有且僅有九個解D．方程有且僅有一個解三、填空題7．（2022·全國·高三專題練習）已知是定義在R上的奇函數，當時，=，則方程解的個數為___________.8．（2021·全國·模擬預測）已知函數若直線與函數的圖象交于A，B兩點，且滿足，其中O為坐標原點，則k值的個數為___________.四、解答題9．（2021·全國·高三專題練習）證明：函數的圖象與的圖象有且僅有一個公共點．10．（2020·安徽·淮南市第五中學高三階段練習（理））已知是定義在上的偶函數，當時，（1）求，的值；（2）求的解析式并畫出函數的簡圖；（3）討論方程的根的情況.題型五：零點存在定理與函數性質結合判斷零點個數一、單選題1．（2022·廣東韶關·二模）已知直線既是函數的圖象的切線，同時也是函數的圖象的切線，則函數零點個數為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或22．（2022·天津·高三專題練習）設函數有5個不同的零點，則正實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2021·江蘇·泰州中學高三階段練習）已知函數f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，則以下結論正確的是（

）A．f(x)的圖象關于直線對稱 B．f(x)是最小正周期為2π的偶函數C．f(x)在區間上單調遞減 D．方程恰有三個不相等的實數根5．（2021·湖北恩施·高三開學考試）已知函數，則以下說法正確的是（

）A．是偶函數B．在上單調遞增C．當時，D．方程有且只有兩個實根6．（2022·全國·高三專題練習）函數，則下列說法正確的有（

）A．函數是上的單調遞增函數B．對于任意實數，不等式恒成立C．若，且，則D．方程有3個不相等實數解三、解答題7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函數.(1)當時，求函數的單調區間；(2)若，證明：方程有且僅有一個正根.8．（2022·河北·模擬預測）已知函數.(1)請研究函數在上的零點個數并證明；(2)當時，證明：.9．（2022·全國·高三專題練習）設為實數，函數.(1)若，求的取值范圍；(2)討論的單調性；(3)當時，討論在上的零點個數.10．（2022·全國·高三專題練習）已知函數.(1)若，求函數在上的零點個數；(2)當時都有，求實數的取值范圍.題型六：利用函數零點（方程有根）求參數值或參數范圍一、單選題1．（2022·四川成都·三模（理））若函數的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．22．（2022·湖南岳陽·三模）已知函數，若不等式有且僅有2個整數解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·山西·模擬預測（文））已知函數若函數有三個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2021·遼寧·東北育才學校二模）一般地，若函數的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區間”；若函數的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區間”.下列結論正確的是（

）A．若為的跟隨區間，則B．函數存在跟隨區間C．若函數存在跟隨區間，則D．二次函數存在“3倍跟隨區間”三、填空題5．（2022·福建南平·三模）已知函數有零點，則實數___________.6．（2022·四川·石室中學三模（文））若函數的圖象關于直線對稱，且直線與函數的圖象有三個不同的公共點，則實數k的值為______．四、解答題7．（2021·遼寧·東北育才學校二模）已知二次函數滿足以下條件：①經過原點;②，;③函數只有一個零點(1)求二次函數的解析式；(2)若函數與的圖象有兩個公共點，求實數的取值范圍.題型七：利用函數的交點（交點個數）求參數一、單選題1．（2022·河南安陽·模擬預測（理））已知函數（且），若函數的零點有5個，則實數a的取值范圍為（

）A． B．或C．或或 D．或2．（2022·山東濟寧·二模）已知函數，若函數有5個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·模擬預測（理））已知函數的圖象關于直線對稱，對，都有恒成立，當時，，當時，若函數的圖象和直線有個交點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·福建莆田·三模）已知函數，函數，則下列結論正確的是（

）A．若有3個不同的零點，則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點，則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點，則D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是5．（2022·遼寧鞍山·二模）已知函數，若有四個不同的實數解，，，，且滿足，則下列命題正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題6．（2022·貴州畢節·三模（文））已知函數在有且僅有個零點，則的取值范圍為__________．7．（2022·福建寧德·模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，當時，.若的圖象與x軸恰有三個交點，則實數a的值為___________.8．（2022·全國·三模（理））已知是定義在R上的奇函數，且是偶函數，當時，．設，若關于x的方程有5個不同的實根，則實數m的取值范圍是__________．9．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函數，若關于x的方程有三個不同的實根，則m的取值范圍為______．四、解答題10．（2022·北京密云·高三期中）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求證：函數存在極小值；(3)請直接寫出函數的零點個數.七種零點問題方法技巧方法技巧1.轉化思想在函數零點問題中的應用方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.2.判斷函數零點個數的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.(3)將函數y＝f(x)－g(x)的零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數來判斷.3.正弦型函數的零點個數問題，可先求出零點的一般形式，再根據零點的分布得到關于整數的不等式組，從而可求相應的參數的取值范圍.4.涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性、最值等，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.5.函數零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．6.對于復合函數的零點個數問題，求解思路如下：（1）確定內層函數和外層函數；（2）確定外層函數的零點；（3）確定直線與內層函數圖象的交點個數分別為、、、、，則函數的零點個數為.能力拓展能力拓展題型一：零點存在定理法判斷函數零點所在區間一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））若實數，，滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合對數函數、函數零點存在性定理等知識求得正確答案.【詳解】，，對于函數，在上遞增，，所以存在唯一零點，，使，所以對于，有，所以.故選：A2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））函數的零點所在的區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據零點存在定理，先判斷函數的單調性，再計算函數在端點處的函數值，即可得到答案.【詳解】,由對數函數和冪函數的性質可知，函數在時為單調增函數，，，，，因為在內是遞增，故，函數是連續函數，由零點判斷定理知，的零點在區間內，故選：B．3．（2022·北京密云·高三期末）心理學家有時使用函數來測定在時間內能夠記憶的量，其中A表示需要記憶的量，表示記憶率．假設一個學生有200個單詞要記憶，心理學家測定在5min內該學生記憶20個單詞．則記憶率所在區間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據題意解方程，解出，在和端點值比較大小，由函數單調性和函數連續得到結果.【詳解】將代入，解得：，其中單調遞減，而，，而在上單調遞減，所以，結合單調性可知，即，而，其中為連續函數，故記憶率所在區間為.故選：A4．（2022·河南焦作·一模（理））設函數的零點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據零點存在性定理進行求解.【詳解】易知在R上單調遞增且連續．由于，，，當時，，所以．故選：B5．（2021·江蘇·泰州中學高三階段練習）已知，函數的零點為，的極小值點為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出的值，利用零點存在定理得出，然后比較、、的大小關系，結合函數的單調性可得出結論.【詳解】因為的定義域為，，則函數在其定義域上為增函數，，則，則，因為，由零點存在定理可知，由可得，.當或時，；當時，.所以，.因為，所以，，故.故選：A.6．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））函數的零點所在的區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據函數零點存在定理去判斷的零點所在的區間即可.【詳解】為上的遞增函數，，，，則函數的零點所在的區間為故選：B二、多選題7．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）函數在區間的最小值為，且在區間唯一的極大值點．則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題可得，由可知，，進而可求，然后再證明即得；再利用數形結合可得在上存在唯一的零點，利用零點存在定理及三角函數的性質即得.【詳解】∵，∴，又函數在區間的最小值為，∴函數在區間上不單調，又，∴時，函數在區間上取得最小值，可得原條件的一個必要條件，∴，即，下面證明充分性：當時，，，令，則，∴函數在上單調遞增，又，∴函數在上存在唯一的零點，且在上，在上，∴函數在區間的最小值為，綜上，故A正確；∵，令，得，由函數圖象可知在區間上只有一個交點，即存在唯一，使得，又，故，且當時，，當時，，∴在區間上，唯一的極大值點，，∵，，∴.故CD正確.故選：ACD.8．（2022·全國·高三專題練習）設函數的定義域為R，如果存在常數，對于任意，都有，則稱函數是“類周期函數”，T為函數的“類周期”．現有下面四個命題，正確的是（

）A．函數是“類周期函數”B．函數是“類周期函數”C．如果函數是“類周期函數”，那么“，”D．如果“類周期函數”的“類周期”為，那么它是周期為2的周期函數【答案】ACD【分析】根據類周期函數的定義，分別進行判斷即可．【詳解】解：對于A，若函數是“類周期函數”，則存在非零常數，使，即，即，即，令，因為，且函數在上連續，所以函數在上存在零點，即方程在上有解，即存在常數，對于任意，都有，所以函數是“類周期函數”，故A正確；對于B，若函數是“類周期函數”，則存在非零常數，使，即，則，即對任意的恒成立，則，矛盾，所以不存在常數，對于任意，都有，所以函數不是“類周期函數”，故B錯誤.對于C，若函數是“類周期函數”，則存在非零常數，使，即；故或，當時，，由誘導公式得，；當時，，由誘導公式得，；故“，”，故C正確；對于D，如果“類周期函數”的“類周期”為，則，即；故它是周期為2的周期函數；故D正確.故選：ACD.9．（2021·江西·模擬預測）已知實數，設方程的兩個實數根分別為，則下列結論正確的是（

）A．不等式的解集為B．不等式的解集可能為空集C．D．【答案】AD【分析】構造二次函數，分析函數的圖象特征即可判斷作答.【詳解】令，，因，則函數的圖象對稱軸，且在上遞減，在上遞增，又，，，于是得函數有兩個零點，且滿足，不等式的解集為，所以A正確，B不正確，C不正確，D正確.故選：AD三、填空題10．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中，正確的是___________．(寫出所有正確命題的編號)①在中，是的充要條件；②函數的最大值是；③若命題“，使得”是假命題，則；④若函數，，則函數在區間內必有零點．【答案】①③④【分析】①利用大邊對大角和正弦定理可證；②變形后利用基本不等式進行求解最大值；③先把命題否定，得到對，恒成立，分與兩種情況求出的取值范圍；④先根據得到，得到，接下來分與，利用零點存在性定理得到答案.【詳解】在中，因為，所以，由正弦定理得：，所以，同理可證，當時，，故在中，是的充要條件，①正確；因為，所以，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以函數的最大值是，②錯誤；命題“，使得”是假命題，則對，恒成立，當時，不恒成立，當時，只需，解得：，綜上：若命題“，使得”是假命題，則；③正確；，所以，因為，，當時，，因為，所以，故，由零點存在性定理得：在區間上，至少存在一個零點，當，，，由零點存在性定理得：在區間上至少存在一個零點，綜上：函數在區間內必有零點，④正確.故答案為：①③④11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，且，為的導函數，下列命題：①存在實數，使得導函數為增函數；②當時，函數不單調；③當時，函數在上單調遞減；④當時，函數有極值．在以上命題中，正確的命題序號是______．【答案】①②③④【分析】求，令可判斷①；根據零點存性定理可判斷使得，可判斷②；令，求，由的符號判斷的單調性，可求得恒成立即恒成立可判斷③；求的單調性，根據零點存在性定理可知，使得可判斷④，進而可得正確答案.【詳解】由可得，對于①，若時，為增函數，故①對；對于②，若時，，，，使得，所以函數不單調，故②對；對于③，令，則，當時，由得，由得所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而，要使，則令，則，所以，令，，則在單調遞減，在單調遞增，而，所以恒成立，從而，即恒成立，即在上單調減．故③正確；對于④，當時，，，可知在單調遞減，在單調遞增，因為，，，使得，所以函數有極值，故④對．綜上所述：①②③④都正確，故答案為：①②③④.12．（2021·福建·三明一中高三學業考試）已知函數的零點，則__________．【答案】-3或2【分析】對函數求導，借助導數探討其單調性，再用零點存在性定理分析計算即得.【詳解】對函數求導得：，由得，解得，當時，，當時，，于是得在上遞減，在上遞增，顯然，，則函數在區間上存在一個零點，又，即函數在區間上存在一個零點，因函數的零點，則或，所以或.故答案為：-3或213．（2022·全國·高三專題練習）已知，均為正實數，且滿足，，則下面四個判斷：①；②；③；④.其中一定成立的有__（填序號即可）.【答案】②③④【分析】令，利用零點存在性定理可得，，從而可得，然后利用不等式的性質和函數的單調性逐個分析判斷【詳解】令，則在上單調遞減，因為（1），，，所以.，，，，，①：可能小于等于0，①錯誤，②：，，②正確，③：，，，③正確，④：，，，，.④正確，故答案為：②③④.14．（2020·湖南邵陽·三模（理））在數學中，布勞威爾不動點定理是拓樸學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，簡單來講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使，那么我們稱該函數為“不動點”函數，給出下列函數：①；②③；④（）；⑤；其中為“不動點”函數的是_________.（寫出所有滿足條件的函數的序號）【答案】①②③④【分析】對于選項①②⑤，直接代入求解即可判斷；對于選項③④，先根據條件構造函數，判斷函數的單調性，利用零點存在性定理判斷即可.【詳解】①，得或滿足條件，故①滿足題意；②，當時，或；當時，或，即；滿足條件，故②滿足題意；③，令，易知為上的增函數，又，由零點存在性定理得在區間存在唯一的零點.故③滿足題意；④（），，令，又，則，易知為上的增函數，又，由零點存在性定理得在區間存在唯一的零點.故④滿足題意；⑤無實數解，故⑤滿足題意；故答案為：①②③④.【點睛】本題主要考查了對布勞威爾不動點定理的理解，考查了零點存在性定理；考查學生的邏輯推理能力，運算求解能力.屬于中檔題.15．（2020·全國·高三專題練習（理））函數f(x)＝1＋x－＋，g(x)＝1－x＋－，若函數F(x)＝f(x＋3)g(x－4)，且函數F(x)的零點均在[a，b](a<b，a，b∈Z)內，則b－a的最小值為________.【答案】10【分析】分別求出f(x)、g(x)零點所在區間，即可得到f(x＋3)、g(x－4)的零點所在區間，結合題意，即可得到b－a的最小值.【詳解】∵f(x)＝1＋x－＋，∴，∵恒成立，∴f(x)＝1＋x－＋在R上是單調遞增函數.∵f(0)＝1>0，f(－1)＝，∴f(x)在區間[－1，0]上存在唯一零點，∴f(x＋3)在區間[－4，－3]上存在唯一零點；又∵g(x)＝1－x＋－，∴，∵恒成立，∴g(x)＝1－x＋－在R上是單調遞減函數，∵g(2)＝，g(1)＝，∴g(x)在區間[1，2]上存在唯一零點，∴g(x－4)在區間[5，6]上存在唯一零點，由F(x)＝f(x＋3)g(x－4)＝0，得f(x＋3)＝0或g(x－4)＝0，故函數F(x)的零點均在[－4，6]內，則b－a的最小值為10.故答案為：10.【點睛】本題考查利用導數判斷函數的單調性、函數零點與方程，考查分析理解，求值計算的能力，屬中檔題.四、解答題16．（2022·陜西西安·高三階段練習（文））已知函數（e為自然對數的底數，）.(1)若，求證：在區間內有唯一零點；(2)若在其定義域上單調遞減，求a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）把代入，求出并探討其單調性，再結合零點存在性定理判斷作答.（2）利用給定單調性建立不等式，再分類分離參數，構造函數，討論求解作答.(1)當時，，求導得：，令，則，則函數在R上單調遞增，即函數在R上單調遞增，而，，由函數零點存在性定理知，存在唯一，有，所以在區間內有唯一零點.(2)函數的定義域是R，依題意，，成立，當時，成立，，當時，，令，，，即函數在上單調遞增，又當時，恒成立，于是得，當時，，令，，，當時，，當時，，因此，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，于是得，綜上得：，所以a的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以探討函數的最值，借助函數最值轉化解決問題.17．（2022·貴州遵義·高三開學考試（理））已知函數.(1)討論的導函數零點的個數；(2)若的最小值為e，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）對求導有，再研究的單調性，結合及零點存在性定理，討論a的范圍判斷零點的個數.（2）討論、、、，結合的符號研究的單調性并結合求參數a的范圍.(1)，令，則，故在上單調遞增，而，當時，無解；當時，由，，故有一個在上的解；當時，由，故的解為1；當時，由，，故有一個在上的解；綜上，當或時，導函數只有一個零點.當或時，導函數有兩個零點.(2)當時，，則函數在處取得最小值.當時，由（1）知：在上單調遞增，則必存在正數使得.若則，在上，則，在上，則，在上，則，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，又，不合題意.若則，在上，則在上單調遞增，又，不合題意.若則，在上，則，在上，則，在上，則，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，則，解得，即.綜上，.題型二：方程法判斷零點個數一、單選題1．（2022·福建福州·三模）已知函數，以下結論中錯誤的是（

）A．是偶函數 B．有無數個零點C．的最小值為 D．的最大值為【答案】C【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令可確定B正確；根據定義域為，，可知若最小值為，則是的一個極小值點，根據可知C錯誤；由時，取得最大值，取得最小值可確定D正確.【詳解】對于A，定義域為，，為偶函數，A正確；對于B，令，即，，解得：，有無數個零點，B正確；對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；，，不是的極小值點，C錯誤；對于D，，；則當，，即時，取得最大值，D正確.故選：C.2．（2022·北京·模擬預測）已知函數，且，則的零點個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】解三角方程求得的零點即可解決【詳解】由可得或，又，則，或，或則的零點個數為3故選：C3．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））聲音是由物體振動產生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數．若某聲音對應的函數可近似為，則下列敘述正確的是（

）A．為的對稱軸 B．為的對稱中心C．在區間上有3個零點 D．在區間上單調遞增【答案】D【分析】利用知關于直線對稱的性質驗證A；求得可判斷B；化簡，令，得，進而判斷C；利用導數研究函數的單調性可判斷D.【詳解】對于A，由已知得，即，故不關于對稱，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數在區間內有4個零點，故C錯誤；對于D，求導，令，由，知，即，利用二次函數性質知，即，可知在區間上單調遞增，故D正確；故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=x+2,x<1,x+2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】當時和時，分別化簡函數的解析式可直接判斷零點的個數.【詳解】當時，，所以不存在零點；當時，，也不存在零點，所以函數的零點個數為0.故選：A.二、多選題5．（2022·海南海口·模擬預測）已知函數，則（

）A．的定義域為R B．是奇函數C．在上單調遞減 D．有兩個零點【答案】BC【分析】根據函數解析式，結合函數性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：的定義域為，錯誤；對：，且定義域關于原點對稱，故是奇函數，正確；對：當時，，單調遞減，正確；對：因為，，所以無解，即沒有零點，錯誤．故選：.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，下列說法正確的是（

）.A．是周期函數B．若，則（）C．在區間上是增函數D．函數在區間上有且僅有一個零點【答案】AB【分析】寫出的分段函數形式，A應用正余弦函數的性質判斷的周期性，B由已知可得，則，（），即可判斷正誤；根據解析式，應用特殊值法判斷C、D的正誤.【詳解】將函數化作分段函數，即，A，，是周期為的函數，對；B，由得，則，此時，（），可得，對；C，由解析式得，在上不單調，錯；D，由解析式知，即在上至少有兩個零點，錯.故選：AB.7．（2022·全國·高三專題練習）若和都是定義在上的函數，且方程有實數解，則下列式子中可以為的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由方程有實數解可得，再用替代，即有解，逐個判斷選項即可得出答案.【詳解】由方程有實數解可得，再用替代，即有解.對于A，，即，方程有解，故A正確；對于B，，即，方程無解，故B錯誤；對于C，當令，因為，，由零點的存在性定理可知，在上存在零點，所以方程有解，故選項C正確；對于D，當時，為方程的解，所以方程有解，故選項D正確.故選：ACD.8．（2022·全國·高三專題練習（理））關于函數有下述四個結論，則（

）A．是偶函數 B．的最小值為C．在上有4個零點 D．在區間單調遞增【答案】ABC【分析】對A：根據偶函數的定義即可作出判斷；對B：由有界性，，且時即可作出判斷；對C：當時，，可得函數有兩個零點，根據偶函數的對稱性即可作出判斷；對D：當時，，利用三角函數的圖象與性質即可作出判斷.【詳解】解：對A：因為，所以是偶函數，故選項A正確；對B：因為，，所以，而時，所以的最小值為，故選項B正確；對C：當時，，令，可得，，又由A知函數為偶函數，所以函數在區間上也有兩個零點，，所以函數在區間上有4個零點，故選項C正確；對D：當時，，因為，所以，而在上單調遞增，在上單調遞減，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題9．（2022·福建·模擬預測）已知函數，其中，若在區間(，)上恰有2個零點，則的取值范圍是____________.【答案】或.【分析】先求出零點的一般形式，再根據在區間(，)上恰有2個零點可得關于整數的不等式組，從而可求的取值范圍.【詳解】令，則，故，故，因為在區間(，)上恰有2個零點，所以存在整數，使得：，若為偶數，則，整理得到：①，因為，故，當時，，故①無解，當時，有即.若為奇數，則，整理得到：②，因為，故，當時，，故②無解，當時，有，無解.當時，有，故.綜上，或.故答案為：或.【點睛】思路點睛：對于正弦型函數的零點個數問題，可先求出零點的一般形式，再根據零點的分布得到關于整數的不等式組，從而可求相應的參數的取值范圍.10．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學研究室二模（文））已知函數有3個零點，則實數m的取值范圍為______．【答案】[0,1)【分析】根據m的范圍分類討論f(x)的零點即可.【詳解】①m＝0時，，令f(x)＝0，則x＝0或x＝－3或x＝1，即f(x)有三個零點，滿足題意；②m≠0時，令f(x)＝0，則x＞0時，，則(*)，x≤0時，(**)，顯然x≤0時的方程(**)最多有兩個負根，而x＞0時的方程(*)最多只有一正根，為了滿足題意，則x＞0時必有1根，則1－m＞0，且根為x＝，∴m＜1；x≤0時方程必然有兩個負根，則，∴0＜m＜1；綜上所述，m∈.故答案為：.四、解答題11．（2022·全國·模擬預測（文））已知函數.(1)討論的單調性；(2)當時，證明在上有且僅有兩個零點.【分析】（1）求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的增區間和減區間；（2）由可得出，由結合判別式可判斷出方程的根的個數，由此可證得結論成立.(1)解：函數的定義域為，.當時，則，由可得，由可得，此時函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，由可得或.①當時，，由可得或，由可得，此時函數的單調遞減區間為、，單調遞增區間為；②當時，，由可得，由可得或，此時函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為.綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為、，單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為.(2)解：由可得，因為，則，即關于的方程有兩個不等的實根，所以，當時，在上有且僅有兩個零點.【點睛】思路點睛：討論含參函數的單調性，通常注意以下幾個方面：（1）求導后看最高次項系數是否為，須需分類討論；（2）若最高次項系數不為，通常是二次函數，若二次函數開口方向確定時，再根據判別式討論無根或兩根相等的情況；（3）再根據判別式討論兩根不等時，注意兩根大小比較，或與定義域比較.12．（2022·四川省高縣中學校模擬預測（文））已知函數.(1)當時，判定的零點的個數；(2)是否存在實數，使得當時，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)個(2)存在，且的取值范圍是.【分析】（1）解方程，即可得解；（2）由，分析可知當且時，由可得，分、、三種情況分析，結合一次函數的基本性質可得出關于實數的不等式，綜合可求得實數的取值范圍.(1)解：當時，，令，可得或，此時函數有個零點.(2)解：當時，由.當時，對任意的，，滿足題意；當且時，由可得，若，則有，合乎題意；若，當時，，則對任意的不可能恒成立，舍去；若，則有，解得，此時.綜上所述，當時，當時，恒成立.題型三：數形結合法判段函數零點個數一、單選題1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函數，則下列關于函數的描述中，其中正確的是（

）．①當時，函數沒有零點；②當時，函數有兩不同零點，它們互為倒數；③當時，函數有兩個不同零點；④當時，函數有四個不同零點，且這四個零點之積為1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】畫出函數圖象即可判斷①，令解方程即可判斷③，將零點問題轉化成函數圖象交點的問題，利用數形結合即可判斷②和④.【詳解】當時，，函數圖象如下圖所示，由此可知該函數只有一個零點，故①不正確；當時，則函數的零點為和，∵函數有兩個不同零點，∴由函數的圖象可知，解得，當時，則函數的零點為和，此情況不存在有兩不同零點，則函數有兩不同零點時的取值范圍是，設對應的兩個零點為，，即或，解得，，則，所以它們互為倒數，故②正確；當時，函數解析式為，令，解得，令，解得或，由此可知函數有三個零點，故③不正確；當時，則函數的零點為和，∵函數有四個不同零點，∴由函數的圖象可知，解得，當時，則函數的零點為和，此情況不存在有兩不同零點；設對應的兩個零點為，，，，即或，解得，，當時，整理得，當時，，則該方程存在兩個不等的實數根和，由韋達定理得，所以，則故④正確；故選：.2．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數，則關于的方程有個不同實數解，則實數滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】令，利用換元法可得，由一元二次方程的定義知該方程至多有兩個實根、，作出函數的圖象，結合題意和圖象可得、，進而得出結果.【詳解】令，作出函數的圖象如下圖所示：由于方程至多兩個實根，設為和，由圖象可知，直線與函數圖象的交點個數可能為0?2?3?4，由于關于x的方程有7個不同實數解，則關于u的二次方程的一根為，則，則方程的另一根為，直線與函數圖象的交點個數必為4，則，解得.所以且.故選：C.3．（2022·安徽·模擬預測（文））已知函數，若有4個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在同一坐標系中作出的圖象，根據有4個零點求解.【詳解】解：令，得，在同一坐標系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個零點，則實數a的取值范圍是，故選：A4．（2022·河南河南·三模（理））函數的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】結合函數的對稱性求得正確答案.【詳解】令，得，圖象關于對稱，在上遞減.，令，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，所以圖象關于對稱，，在上遞增，所以與有兩個交點，兩個交點關于對稱，所以函數的所有零點之和為.故選：B二、多選題5．（2022·廣東·普寧市華僑中學二模）對于函數，下列結論中正確的是（

）A．任取，都有B．，其中；C．對一切恒成立；D．函數有個零點；【答案】ACD【分析】作出函數的圖象.對于A：利用圖象求出，即可判斷；對于B：直接求出，即可判斷；對于C：由，求得，即可判斷；對于D：作出和的圖象，判斷出函數有3個零點.【詳解】作出函數的圖象如圖所示.所以.對于A：任取，都有.故A正確；對于B：因為，所以.故B錯誤；對于C：由，得到，即.故C正確；對于D：函數的定義域為.作出和的圖象如圖所示：當時,;當時,函數與函數的圖象有一個交點;當時,因為,，所以函數與函數的圖象有一個交點,所以函數有3個零點.故D正確.故選：ACD6．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，且對任意，有，當時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數B．點是函數的一個對稱中心C．D．函數有3個零點【答案】BD【分析】首先根據函數的對稱性求出的周期和對稱中心，然后求得.利用圖象法即可判斷D.【詳解】依題意，為偶函數，且，有，即關于對稱，則，所以是周期為4的周期函數，故A錯誤；因為的周期為4，關于對稱，所以是函數的一個對稱中心，故B正確；因為的周期為4，則，，所以，故C錯誤；作函數和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數圖象有3個交點，所以函數有3個零點，故D正確.故選：BD.三、填空題7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函數，則函數的零點個數是______個．【答案】3【分析】函數的零點個數等價于函數函數與的交點個數，作出函數與的圖象，結合圖象即可求出結果.【詳解】函數有的零點個數等價于函數函數與的交點個數，作出函數與的圖象，如圖：，由圖可知，函數與有3個交點，故函數有的零點個數為3，故答案為：3.8．（2022·內蒙古呼和浩特·一模（理））下面四個命題：①已知函數的定義域為，若為偶函數，為奇函數，則；②存在負數，使得恰有3個零點；③已知多項式，則；④設一組樣本數據的方差為，則數據的方差為其中真命題的序號為___________.【答案】①③【分析】對于①利用函數奇偶性性質求解即可；對于②數形結合判斷即可；對于③利用二項式定理求解即可；對于④利用平均數和方差公式求解即可.【詳解】對于①：因為為偶函數，即，令，所以，又因為為奇函數，所以，令，所以，所以，故①正確；對于②：存在負數，使得恰有3個零點等價于和，有三個不同交點，且恒過點，畫出圖像如下所示：根據圖像判斷至多有兩個交點，故②不正確；對于③：，，所以的系數為：5，故③正確；對于④：設的平均數為，則其方差為：，則的平均數為，則其方差為：，故④不正確.故答案為：①③.9．（2022·四川成都·二模（文））定義在R上的奇函數f（x）滿足，且當時，．則函數的所有零點之和為______．【答案】【分析】判斷出的對稱性、周期性，畫出的圖象，結合圖象求得的所有零點之和.【詳解】依題意，定義在R上的奇函數f（x）滿足，，所以關于對稱，，所以是周期為的周期函數.，所以關于點對稱.關于點對稱.當時，，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，有個公共點，所以的所有零點和為.故答案為：10．（2022·全國·高三專題練習）已知，給出下列四個結論：（1）若，則有兩個零點；（2），使得有一個零點；（3），使得有三個零點；（4），使得有三個零點．以上正確結論的序號是__．【答案】（1）（2）（4）【分析】將函數零點個數問題轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，作圖可解.【詳解】函數的零點的個數可轉化為函數與直線的交點的個數；作函數與直線的圖象如圖，若，則函數與直線的圖象在與上各有一個交點，則有兩個零點，故（1）正確；若，則當函數與直線的圖象相切時，有一個零點，故（2）正確；當時，函數與直線的圖象至多有兩個交點，故（3）不正確；當且足夠小時，函數與直線的圖象在與上分別有1個、2個交點，故（4）正確；故答案為：（1）（2）（4）．四、解答題11．（2022·北京·高三學業考試）給定集合，為定義在D上的函數，當時，，且對任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，補充在橫線處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問題：（1）寫出和的值；（2）寫出在上的單調區間；（3）設，寫出的零點個數．【分析】判斷條件③不合題意.選擇條件①②、則先求得當時，的表達式，然后結合函數的解析式、單調性、零點，對（1）（2）（3）進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意的定義域為，當時，.對于條件③，對任意，都有，以替換，則，這與矛盾，所以條件③不合題意.若選條件①，當時，，.（1）.（2）對于函數，任取，，其中，當時，，，所以在上遞減.當時，，，所以在上遞增.所以在區間，.同理可證得：在上遞增，在上遞減，.當時，，由上述分析可知，在上遞增，在上遞減.且.（3），由（2）的分析可畫出的大致圖象如下圖所示，所以，當或或時，的零點個數是0；當或時，的零點個數是1；當或時，的零點個數是2．若選條件②，當時，，由得，（1）.（2）對于函數，根據上述分析可知：在上遞減，在上遞增，且在區間，.對于，任取，.其中.當時，，遞增；當時，，遞減.所以的增區間為，減區間為.且.（3），結合上述分析畫出的大致圖象如下圖所示，所以當時，的零點個數是0；當時，的零點個數是2．【點睛】利用函數的單調性的定義求函數的單調性，主要是計算出的符號.求解函數零點問題，可利用分離參數法，結合函數圖象來進行求解.12．（2021·河北·高三階段練習）已知函數的最小正周期為.（1）求函數的單調遞增區間；（2）若先將函數圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將其圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，求方程在上根的個數.【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）由題意利用三角恒等變換，化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性求出，可求出解析式，進而結合函數函數的圖象與性質即可求出單調遞增區間；（2）根據伸縮變換求得的解析式，進而本題等價于求和在上交點的個數，作出函數圖象，數形結合即可求出結果.【詳解】解：（1）;因為的最小正周期，所以，故.令，，得，，所以的單調遞增區間為，.（2）由題意可得.方程在上根的個數，即方程的根的個數.結合和的圖像，如圖所示：因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以結合圖像可知函數在上有4個零點，即方程在上根的個數為4.13．（2021·遼寧·高三階段練習）已知函數的最小正周期為．（I）求函數的解析式；（II）若先將函數的圖象向左平移個單位長度，再將其圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的零點個數．【答案】（I）；（II）函數在上有個零點．【分析】（I）由已知解析式，應用二倍角余弦公式、輔助角公式可得，由最小正周期即可求，寫出的三角函數解析式.（II）由圖像平移可得，在上的零點即為和圖象交點的橫坐標，應用數形結合及對數函數、正弦函數的性質即可判斷交點的個數.【詳解】（I）由題意得：．∵的最小正周期，故，∴．（II）由（I）得：，．求函數在上的零點個數，即求方程的根的個數．和的圖象，如下圖示，∴在上單調遞減，在上單調遞增，且，又，∴由圖象知：函數在上有個零點．題型四：轉化法判斷函數零點個數一、單選題1．（2022·安徽·巢湖市第一中學高三期中（文））已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質求出對應區間的值域及單調性，令并將問題轉化為與交點橫坐標對應值的個數，結合數形結合法求零點個數即可.【詳解】令，當時，且遞增，此時，當時，且遞減，此時，當時，且遞增，此時，當時，且遞增，此時，所以，的零點等價于與交點橫坐標對應的值，如下圖示：由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.綜上，的零點共有4個.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】令，令，得出，求出關于的方程的根或，然后再考查直線或與函數的圖象的交點個數，即可得出答案．【詳解】令，令，則,當時，則，所以，，當時，，則，作出函數的圖象如下圖所示，直線與函數的圖象只有1個交點，線，與函數的圖象只有2個交點，因此，函數只有3個零點，故選：．3．（2021·天津市實驗中學濱海學校高三期中）已知函數則函數的零點個數不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函數的圖象，換元，問題轉化為解得個數，分類討論，結合二次方程根個數的判斷及數形結合求解.【詳解】函數的圖象如圖，令，則函數的零點即方程組的解．設，則．若，則，有兩個零點，且由知，此時方程組有2個解；若，則，有一個零點，此時方程組有1個解；若，則，沒有零點，此時方程組無解；若，則，有一個零點，此時方程組有2個解；若，則，有兩個零點，且由知，此時方程組有4個解，故選：C4．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習）對于任意正實數，關于的方程的解集不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別將等式左側和右側看做函數的形式，可得函數的單調性和對稱軸，并求得左右兩側函數的最值；通過單調性和最值的大小關系可得解的個數有個，個或個的情況，由此可得結果.【詳解】函數是開口向上且關于直線對稱的二次函數，；函數關于直線對稱，且在上單調遞增，在上單調遞減，；若，則方程無解；若，則方程有唯一解；若，則方程有兩解，且兩解關于對稱；綜上所述：方程的解集不可能是.故選：C.二、多選題5．（2022·江蘇無錫·高三期末）高斯被人認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱.有這樣一個函數就是以他名字命名的：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，又稱為取整函數.如：，.則下列結論正確的是（

）A．函數是上的單調遞增函數B．函數有個零點C．是上的奇函數D．對于任意實數，都有【答案】BD【分析】對于AC，舉例判斷，對于B，利用取整函數和零點的定義判斷即可，對于D，定義這樣一個函數，就會有，然后結合高斯函數的定義判斷即可【詳解】對于A，，，，在上不是單調增函數，所以A錯.對于B，由，可得，所以，若函數要有零點，則，得，因為要想為，必須也為整數，在這個范圍內，只有兩個點，所以B正確，對于C，，，不是奇函數，所以C錯，對于D，如果我們定義這樣一個函數，就會有，同時有，當時，會有，當時，，所以D正確，故選：BD.6．（2022·全國·高三專題練習）定義域和值域均為（常數）的函數和圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（

）A．方程有且僅有三個解B．方程有且僅有三個解C．方程有且僅有九個解D．方程有且僅有一個解【答案】AD【分析】通過利用或，結合函數和的圖象，分析每個選項中外層函數的零點，再分析外層零點對應的直線與內層函數圖象的交點個數，即可得出結論.【詳解】解：對于A中，設，則由，即，由圖象知方程有三個不同的解，設其解為，，，由于是減函數，則直線與函數只有1個交點，所以方程，，分別有且僅有一個解，所以有三個解，故A正確；對于B中，設，則由，即，由圖象可得有且僅有一個解，設其解為b，可知，則直線與函數只有2個交點，所以方程只有兩個解，所以方程有兩個解，故B錯誤；對于C中，設，若，即，方程有三個不同的解，設其解為，，，設，則由函數圖象，可知，，由圖可知，直線和直線分別與函數有3個交點，直線與函數只有1個交點，所以或或共有7個解，所以共有七個解，故C錯誤；對于D中，設，若，即，由圖象可得有且僅有一個解，設其解為b，可知，因為是減函數，則直線與函數只有1個交點，所以方程只有1解，所以方程只有一個解，故D正確.故選：AD.三、填空題7．（2022·全國·高三專題練習）已知是定義在R上的奇函數，當時，=，則方程解的個數為___________.【答案】3【分析】根據函數為奇函數求得解析式，再根據解析式作出的圖像即可得解.【詳解】當時，，所以，因為是定義在R上的奇函數，所以=，所以，所以，所以=，由的圖象知，有3個零點，所以方程解的個數為3.故答案為：3.8．（2021·全國·模擬預測）已知函數若直線與函數的圖象交于A，B兩點，且滿足，其中O為坐標原點，則k值的個數為___________.【答案】2【分析】原題可轉換為存在，使得→函數與的圖象有公共點，當時，，時，與的圖象的交點個數即所求，作出圖像，即可求出k值的個數【詳解】由題意知，函數的圖象上有關于原點O對稱的點，因此存在，使得，即函數與的圖象有公共點.當時，，，，作出，在上的圖象，如圖所示，則當時，與的圖象的交點個數即所求k值的個數，數形結合可知，當時，與的圖象有2個交點，所以k值的個數為2.故答案為：2四、解答題9．（2021·全國·高三專題練習）證明：函數的圖象與的圖象有且僅有一個公共點．【分析】把要證兩函數的圖象有且僅有一個公共點轉化為證明方程有且僅有一個實根.易觀察出為其一根，再假設是函數圖象的另一個公共點，然后得出矛盾即可.【詳解】要證明兩函數和的圖象有且僅有一個公共點，只需證明方程有且僅有一個實根，觀察上述方程，顯然有，則兩函數的圖象必有交點．設是函數圖象的另一個公共點．則，，，∴，即，令，易知函數為指數型函數．顯然在內是減函數，且，故方程有唯一解，從而，與矛盾，從而知兩函數圖象僅有一個公共點．10．（2020·安徽·淮南市第五中學高三階段練習（理））已知是定義在上的偶函數，當時，（1）求，的值；（2）求的解析式并畫出函數的簡圖；（3）討論方程的根的情況.【答案】（1）；（2），圖像見解析；（3）當，方程無實根、當或，有2個根、當，有3個根、當，有4個根；【分析】（1）函數求值只需將自變量值代入函數式計算即可；（2）求時的解析式時，轉化為，將其代入已知關系式，再借助于偶函數得到函數解析式，最后將解析式化成分段函數形式；（3）結合做出的函數圖像可知函數值取不同值時對應的自變量個數是不同的，本題求解主要利用數形結合法【詳解】解：（1）是定義在R上的偶函數，（2）當時，于是是定義在上的偶函數，，圖像如圖所示：（3）數形結合易知：當，方程無實根；當或，有2個根；當，有3個根；當，有4個根；【點睛】本題考查根據奇偶函數性質求函數解析式，數形結合解決方程根的個數問題，考查運算求解能力，數形結合思想，是中檔題.本題解題的關鍵在于利用數形結合思想求解.題型五：零點存在定理與函數性質結合判斷零點個數一、單選題1．（2022·廣東韶關·二模）已知直線既是函數的圖象的切線，同時也是函數的圖象的切線，則函數零點個數為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或2【答案】B【分析】設是函數圖象的切點，則由導數的幾何意義可求得，設是函數的切點，同樣利用導數的幾何意義可求出，然后根據零點存在性定理可求得結果【詳解】設是函數圖象的切點，則，∴（1）又（2），將（1）代入（2）消去整理得：，∴，設是函數的切點，據題意，又故，令，，∴，故，在定義域上為增函數，又，故，故，∴，在上是增函數當時，；當時，；由零點存在性定理可得，g(x)存在唯一一個函數零點個數是1，故選：B．2．（2022·天津·高三專題練習）設函數有5個不同的零點，則正實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分段函數分段處理，顯然有1個零點，所以有4個零點，利用三角函數求出所有的零點，保證之間有4個零點即可.【詳解】易知函數、在上為增函數，所以當時，函數單調遞增，當無限接近0時，，當時，，所以函數在上存在一點，使得，即在上有且只有一個零點；所以當時，函數有4個零點，令，即Z，解得Z，由題可得區間內的4個零點分別是，所以即在之間，即，解得故選：A3．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】顯然需要參數分離，將原題改造成為，求與有兩個交點?！驹斀狻坑傻玫剑?；令，由題意可以看做是與有兩個交點；則，其中，，是單調遞減的，并且時，=0；因此函數存在唯一零點，；當時，；時，；；得如下函數圖像：顯然當時，與有兩個交點；故答案為：B.二、多選題4．（2021·江蘇·泰州中學高三階段練習）已知函數f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，則以下結論正確的是（

）A．f(x)的圖象關于直線對稱 B．f(x)是最小正周期為2π的偶函數C．f(x)在區間上單調遞減 D．方程恰有三個不相等的實數根【答案】ACD【分析】根據對稱性，周期性，復合函數單調性可判斷選項ABC，結合單調性和周期性對函數和的圖象交點情況討論可判斷D.【詳解】，，，故A正確；，故B不正確；當時，單調遞減，單調遞增，所以，單調遞減，同理，單調遞減，故函數在區間上單調遞減，所以C正確；易知為偶函數，綜上可知：的周期為，且在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.令，因為，，故函數與的圖象在區間內有且只有一個交點；又，故函數與的圖象在區間內有且只有一個交點；又，故函數與的圖象在區間內有且只有一個交點.因為，由周期性和單調性可知，當或時，兩函數圖象無交點.綜上所述，方程恰有三個不相等的實數根故選：ACD5．（2021·湖北恩施·高三開學考試）已知函數，則以下說法正確的是（

）A．是偶函數B．在上單調遞增C．當時，D．方程有且只有兩個實根【答案】ABD【分析】A．利用奇偶性定義進行判斷；B．利用導數分析的正負并進行判斷；C．根據條件分析在上的單調性，由此確定出最小值并判斷；D．利用在上的單調性結合零點的存在性定理分析在上的零點數，由此確定出的實數根個數.【詳解】A．的定義域為關于原點對稱，，所以為偶函數，故正確；B．當時，，，，所以，所以在上單調遞增，故正確；C．因為為偶函數且在上單調遞增，所以在上單調遞減，所以，，故錯誤；D．因為在上單調遞增，且，所以在上有唯一零點，又因為為偶函數，所以方程有且僅有兩根，故正確；故選：ABD．6．（2022·全國·高三專題練習）函數，則下列說法正確的有（

）A．函數是上的單調遞增函數B．對于任意實數，不等式恒成立C．若，且，則D．方程有3個不相等實數解【答案】BD【分析】對于A，通過比較零左右兩邊的函數值來判斷；對于B，分和兩種情況分析判斷；對于C，舉反例判斷；對于D，由零點存在性定理判斷即可【詳解】解：函數是和上的單調遞增函數，但是，在上不單調，A錯誤；當時，，，；當時，，由函數在上單調遞增知；B正確；令，，，且，C錯誤；當時，；當時，在上單調遞增，，，故存在1個解；同理知時也存在1個解；是函數的一個零點，故方程共有3個解，D正確，故選：BD．三、解答題7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函數.(1)當時，求函數的單調區間；(2)若，證明：方程有且僅有一個正根.【答案】(1)增區間為，無減區間；(2)證明見解析【分析】（1）時，求導，分析導函數的符號即可得出單調區間；（2）先證明出一個點，當，，再證時函數遞增，結合零點存在定理即可說明.(1)因為，所以，則，當時，所以函數在上單調遞增，即函數的增區間為，無減區間；(2)因為，所以，設，，所以，當時，，則在為減函數；當時，，則在為增函數；因為，當時，，所以存在，使得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；因為，所以當時，，；且當時，，所以在區間有且僅有一個零點，即方程有且僅有一個正根.8．（2022·河北·模擬預測）已知函數.(1)請研究函數在上的零點個數并證明；(2)當時，證明：.【答案】(1)4，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）函數是奇函數，所以只要考慮上的零點，利用函數的單調性即可；（2）構造函數，用縮放法可以證明不等式.(1)為奇函數，所以只需要研究函數上的零點個數，當時，，是單調遞減的，，，所以當時，有一個零點；當時，令，，是單調遞增的，，，所以存在，使得，所以當時，，單調遞減的，當時，，是單調遞增的，又，所以，，所以存在使得，當時，無零點，綜上可知，當時，函數有兩個零點，即在上，函數有四個零點；(2)當時，，兩邊取自然對數得：構造函數，即，即，即，則，于是，，所以.【點睛】一般來說當三角函數和其他基本初等函數同時出現在同一解析式時，由于三角函數是周期函數，而其他函數往往沒有周期性，所以需要一個區間一個區間取討論，不論是單調性還是零點，最好在討論之前先畫一個草圖；對于第二問難點在于構造函數，因為對數函數是非線性函數，直接計算難度很大，因此考慮縮放的方法，構造一個新函數，將原對數函數轉化為一個比較容易計算的函數，像，等比較多見.9．（2022·全國·高三專題練習）設為實數，函數.(1)若，求的取值范圍；(2)討論的單調性；(3)當時，討論在上的零點個數.【答案】(1)，(2)在上單調遞增，在上單調遞減(3)有2個零點【分析】（1）寫出，討論a的取值情況，解得答案；（2）分類討論去掉絕對值符號，再根據二次函數的性質，求得答案；（3）分段討論去掉絕對值符號，得到的解析式，結合二次函數圖象的對稱軸確定函數的單調性，結合零點存在定理即可得答案.(1),當時，不等式為恒成立，滿足條件，當時，不等式為，，綜上所述的取值范圍為，；（2）當時，函數，其對稱軸為，此時在時是減函數，當時，，其對稱軸為：，在時是增函數，綜上所述，在上單調遞增，在上單調遞減，（3）設g(x)=f(x)+|x|=x當時，其對稱軸為，當時，其對稱軸為，當時，其對稱軸為，在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，，（a），又，（a）在上單調遞減，（a）（2），在和上各有一個零點，綜上所述時，在上有2個零點.10．（2022·全國·高三專題練習）已知函數.(1)若，求函數在上的零點個數；(2)當時都有，求實數的取值范圍.【答案】(1)只有一個零點(2)【分析】（1）首先利用導數確定函數的單調性，再利用零點存在定理即可判斷函數的零點個數（2）可通過討論在的最小值，使恒成立，來確定實數的取值范圍(1)因為，所以，，因為，所以，所以在上是單調增函數，又因為，，所以在上只有一個零點.(2)因為，所以，令，，因為，所以，為增函數，，當時，即時，，即，所以在上為增函數，，所以時滿足時都有；當時，即時，，又，所以，使，所以時，即，為減函數，，與矛盾，所以不成立，綜上實數的取值范圍是【點睛】本題為函數綜合問題，針對函數不等式恒成立問題，我們經常轉化為函數最值問題，而函數最值問題，熟練地應用單調性法是突破的關鍵.題型六：利用函數零點（方程有根）求參數值或參數范圍一、單選題1．（2022·四川成都·三模（理））若函數的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由已知有，根據零點得到，利用指對數的關系及運算性質得到關于t的表達式，進而由指數函數的單調性確定t值即可.【詳解】由題設，由得：，若，可得，若，可得，綜上，，故.故選：B2．（2022·湖南岳陽·三模）已知函數，若不等式有且僅有2個整數解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉化不等式有且僅有2個整數解有兩個整數解，數形結合列出不等式及可求得答案.【詳解】解：由題意得：不等式有且僅有2個整數解，即可知有兩個整數解于是有兩個整數解令，當時，，則，此時有無數個整數解，不成立；當時，如圖所示，