學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共5頁2025屆湖南省長沙市師大附中教育集團數學九年級第一學期開學統考試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，在中，，是的中點，，，若，，①四邊形是平行四邊形；②是等腰三角形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是1．則以上結論正確的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④2、（4分）在如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰直角三角形,則這樣的點C有()A．6個 B．7個 C．8個 D．9個3、（4分）下列曲線中能表示y是x的函數的為（）A． B． C． D．4、（4分）如圖，在中，對角線、相交于點，且，，則的度數為（）A．35° B．40° C．45° D．55°5、（4分）某同學粗心大意,因式分解時,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的兩個數字弄污了,則式子中“■”和“▲”對應的一組數字可能是（）A．8和1 B．16和2C．24和3 D．64和86、（4分）如圖,在的方格紙中,兩點在格點上,線段繞某點逆時針旋轉角后得到線段,點與對應,則角的大小為()A． B． C． D．7、（4分）歐幾里得是古希臘數學家，所著的《幾何原本》聞名于世．在《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：如圖，以和b為直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝，則圖中哪條線段的長是方程x2+ax＝b2的解？答：是（

）A．AC B．AD C．AB D．BC8、（4分）把多項式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，則a、b的值分別是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，在?ABCD中，∠A=45°，BC=2，則AB與CD之間的距離為________

．10、（4分）若一組數據1，3，x，4，5，6的平均數是4，則這組數據的眾數是_____．11、（4分）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD與點E，AB=2，BC=3，則CE=_____.12、（4分）已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是_____________．13、（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=4，則點A的坐標為____________，直線OA的解析式為______________.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）先化簡，再求值：，其中.15、（8分）如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延長線于點E，點F為點B關于CE的對稱點，連接CF，分別延長DC，CF至點G，H，使FH=CG，連接AG，DH交于點P．（1）依題意補全圖1；（2）猜想AG和DH的數量關系并證明；（3）若∠DAB=70°，是否存在點G，使得△ADP為等邊三角形？若存在，求出CG的長；若不存在，說明理由．16、（8分）某文具店準備購進A、B兩種型號的書包共50個進行銷售，兩種書包的進價、售價如下表所示：書包型號進價（元/個）售價（元/個）A型200300B型100150購進這50個書包的總費用不超過7300元，且購進B型書包的個數不大于A型書包個數的．（1）該文具店有哪幾種進貨方案？（2）若該文具店購進的50個書包全部售完，則該文具店采用哪種進貨方案，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（利潤＝售價﹣進價）17、（10分）上午6：00時，甲船從M港出發，以80和速度向東航行。半小時后，乙船也由M港出發，以相同的速度向南航行。上午8：00時，甲、乙兩船相距多遠？要求畫出符合題意的圖形.18、（10分）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（公里）與甲車行駛時間（小時）之間的函數關系如圖，請根據所給圖象關系解答下列問題：（1）求甲、乙兩車的行駛速度；（2）求乙車出發1.5小時后，兩車距離多少公里？（3）求乙車出發多少小時后，兩車相遇？B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）甲、乙兩人進行射擊測試，每人射擊10次．射擊成績的平均數相同，射擊成績的方差分別為S甲2＝5，S乙2＝3.5，則射擊成績比較穩定的是_____（填“甲”或“乙“）．20、（4分）新學期，某校欲招聘數學教師一名，對兩名候選老師進行了兩項基本素質的測試，他們的測試成績如表所示.根據教學能力的實際需要，學校將筆試、面試的得分按2：3的比例計算兩人的總成績，那么__________（填“李老師”或“王老師”）將被錄用.測試項目測試成績李老師王老師筆試9095面試858021、（4分）據統計，2019年全國高考報名人數達10310000人，比去年增加了560000，其中數據10310000用科學計數法表示為_________22、（4分）已知一次函數y=x+b的圖象經過第一、二、三象限，寫出一個符合條件的b的值為_____.23、（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面積是4cm2，四邊形BCED的面積是5cm2，那么AB的長是．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，點在等邊三角形的邊，延長至，使，連接交于.求證：.25、（10分）我市某火龍果基地銷售火龍果，該基地對需要送貨且購買量在2000kg～5000kg（含2000kg和5000kg）的客戶有兩種銷售方案（客戶只能選擇其中一種方案）：方案A：每千克6.8元，由基地免費送貨；方案B：每千克6元，客戶需支付運費2000元.（1）請分別寫出按方案A，方案B購買這種火龍果的應付款y（元）與購買數量x（kg）之間的函數表達式；（2）求購買量在什么范圍時，選擇方案A比方案B付款少？（3）某水果批發商計劃用30000元，選用這兩種方案中的一種，購買盡可能多的這種火龍果，他應選擇哪種方案？26、（12分）已知一次函數，.（1）若方程的解是正數，求的取值范圍；（2）若以、為坐標的點在已知的兩個一次函數圖象上，求的值；（3）若，求的值.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、A【解析】

證明AC∥DE，再由條件CE∥AD可證明四邊形ACED是平行四邊形；根據線段的垂直平分線證明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函數計算出AD=4，CD=2，再算出AB長可得四邊形ACEB的周長是10+2，利用△ACB和△CBE的面積和可得四邊形ACEB的面積．【詳解】①，，，，，四邊形是平行四邊形，故①正確；②是的中點，，，是等腰三角形，故②正確；③，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形的周長是故③正確；④四邊形的面積：，故④錯誤，故選．此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，以及三角函數的應用，關鍵是利用三角函數值計算出CB長．2、A【解析】

根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有2個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：C．本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數學知識來求解．數形結合的思想是數學解題中很重要的解題思想．3、D【解析】

根據函數的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，據此即可判斷．【詳解】A、B、C選項，一個x的值對應有兩個y值，故不能表示y是x的函數，錯誤，D選項，x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，正確，故選D．本題考查了函數的定義．函數的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數，x叫自變量．4、A【解析】

由在中，對角線、相交于點，且可推出是矩形，可得∠DAB=90°進而可以計算的度數.【詳解】解：在中∵∴AC=BD∵在中，AC=BD∴是矩形所以∠DAB=90°∵∴故選A本題考查的是矩形的判定和性質.掌握是矩形的判定和性質是解題的關鍵.5、B【解析】

可以看出此題是用平方差公式分解因式，可以根據整式乘法與因式分解是互逆運算變形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．【詳解】由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，則（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-1，則■=1．故選B．此題考查了學生用平方差公式分解因式的掌握情況，靈活性比較強．6、C【解析】

如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′，∠AOA′即為旋轉角．【詳解】解：如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′∠AOA′即為旋轉角，∴旋轉角為90°故選：C．考查了旋轉的性質，解題的關鍵是能夠根據題意確定旋轉中心的知識，難度不大．7、B【解析】

解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，則AD等于AB和BD之差，比較AD的長度和x的解即可知結論.【詳解】x2+ax＝b2,即x2+ax-b2=0,∴∵∠ACB=90°，∴AB=，則故答案為：B.本題主要考查一元二次方程的根，與勾股定理，解題關鍵在于能夠求出AB的長度.8、B【解析】分析：根據整式的乘法，先還原多項式，然后對應求出a、b即可.詳解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故選B．點睛：此題主要考查了整式的乘法和因式分解的關系，利用它們之間的互逆運算的關系是解題關鍵.二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、2【解析】

先由平行四邊形對邊相等得AD=BC,作DE⊥AE，由題意可知△ADE為等腰直角三角形，根據勾股定理可以求出DE的長度，即AB和CD之間的距離.【詳解】如圖，過D作DE⊥AB交AB于E，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC=2，∵∠A=45∴△ADE為等腰直角三角形，∴AE=DE，根據勾股定理得AE2∴2DE∴DE∴DE=2即AB和CD之間的距離為2，故答案為：2本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，熟練利用勾股定理求直角三角形中線段長是解題的關鍵.10、5【解析】

根據題意可知這組數據的和是24，列方程即可求得x，然后求出眾數．【詳解】解：由題意可知，1+3+x+4+5+6=4×6，解得：x=5，所以這組數據的眾數是5.故答案為5.此題考查了眾數與平均數的知識．眾數是這組數據中出現次數最多的數．11、【解析】

根據矩形的性質可得∠AEB=∠EBC，由BE是∠ABC的角平分線可得∠ABE=∠EBC，即可證明∠ABE=∠AEB，進而可得AE=AB，即可求出DE的長，利用勾股定理即可求出CE的長.【詳解】∵ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=2，AD=BC=3，∴∠AEB=∠EBC，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=2，∴DE=AD-AE=1，在Rt△CDE中，CE==，故答案為：本題考查矩形的性質、勾股定理及等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12、且【解析】

由題意可知方程根的判別式△＞0，于是可得關于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍，再結合二次項系數不為0即得答案．【詳解】解：根據題意，得：，且，解得：且．故答案為：且．本題考查了一元二次方程的根的判別式和一元一次不等式的解法，屬于基本題型，熟練掌握一元二次方程根的判別式和方程根的個數之間的關系是解題的關鍵．13、(2,2),y=【解析】分析：根據銳角三角函數即可求出點A的坐標，把點A坐標代入直線OA的解析式可直接求出其解析式.詳解：如圖：過A點作x軸，y軸的垂線，交于點B,C.∵OA=4,且∠AOC=30°，∴AC=2,OC=2.∴點A（2）.設直線OA的解析式為y=kx,∵點A（2，2），∴k=，∴直線OA的解析式：y=x.點睛：本題主要考查了銳角三角函數的定義，難點在于用待定系數法求正比例函數解析式.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、；.【解析】

根據分式的運算法則進行計算，即可求出答案．【詳解】解：原式當時，原式本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．15、(1)見解析;(2)AG=DH,理由見解析;(3)不存在．理由見解析.【解析】【分析】(1)依題意畫圖；（2）根據菱形性質得，∥，；由點為點關于的對稱點，得垂直平分，故，，所以，再證，由，，得．可證△≌△．（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，證得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等邊三角形．【詳解】（1）補全的圖形，如圖所示．（2）AG=DH．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∥，．∵點為點關于的對稱點，∴垂直平分．∴，．∴．又∵，∴．∵，，∴．∴△≌△．∴．（3）不存在．理由如下：由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．∴△ADP不可能是等邊三角形．【點睛】本題考核知識點：菱形，軸對稱,等邊三角形.解題關鍵點：此題比較綜合，要熟記菱形性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱性質，等邊三角形判定.16、（1）有4種進貨方案，分別是：①A，20個，B，30個；②A，21個，B，29個；③A，22個，B28個；④A，1個，B27個；（2）購進A型1個，B型27個獲利最大，最大利潤為3元．【解析】

（1）設購進A型書包x個，則B型（50﹣x）個，由題意得關于x的不等式組，解得x的范圍，再根據x為正整數，可得x及（50﹣x）的值，則進貨方案可得．（2）設獲利y元，根據利潤等于（A的售價﹣進價）×A的購進數量+（B的售價﹣進價）×B的購進數量，列出函數關系式，根據一次函數的性質可得答案．【詳解】解：（1）設購進A型書包x個，則B型（50﹣x）個，由題意得：，解得：20≤x≤1．∴A型書包可以購進20，21，22，1個；B型書包可以購進（50﹣x）個，即30，29，28，27個．答：有4種進貨方案，分別是：①A，20個，B，30個；②A，21個，B，29個；③A，22個，B28個；④A，1個，B27個．（2）設獲利y元，由題意得：y＝（300﹣200）x+（150﹣100）（50﹣x）＝100x+50（50﹣x）＝50x+2．∵50＞0，∴y隨x的增大而增大．∴當x＝1時，y最大，y最大值＝50×1+2＝3．答：購進A型1個，B型27個獲利最大，最大利潤為3元．本題考查了一次函數實際應用問題的方案設計和選擇問題，根據題意列出相關的不等式，利用一次函數性質選取最佳方案即可．17、兩船相距200，畫圖見解析.【解析】

根據題意畫出圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，∵甲船從港口出發，以80的速度向東行駛，∴MA=80×2=160（km），∵半個小時后，乙船也由同一港口出發，以相同的速度向南航行，∴MB=80×1.5=120（km），∴（km），∴上午8：00時，甲、乙兩船相距200km.本題考查的是勾股定理的應用，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．18、（1）甲車的行駛速度60（km/h），乙車的行駛速度80（km/h）；（2）兩車距離170公里；（3）乙車出發小時后，兩車相遇.【解析】

（1）根據速度=路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度即可；（2）根據時間=路程÷速度即可求解；（3）根據時間=路程÷速度和即可求解．【詳解】（1）甲車的行駛速度：＝60（km/h）乙車的行駛速度：＝80（km/h）（2）乙車出發1.5小時后，離C地距離：200－80×1.5＝80（km），甲離C地距離：240－60×（1＋1.5）＝90（km），80＋90＝170（km）乙車出發1.5小時后，兩車距離170公里。（3）設乙車出發x小時后，兩車相遇，則80x＋60（x＋1）＝200+240，解得：x＝小時，所以，乙車出發小時后，兩車相遇.本題考查了一次函數的應用，根據函數圖象逐一分析是解題的關鍵．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、乙．【解析】

根據方差反應了數據的波動情況，即可完成作答。【詳解】解：因為S甲2＝5＞S乙2＝3.5，即乙比較穩定，故答案為：乙。本題考查了方差在數據統計中的作用，即方差是反映數據波動大小的量。20、李老師.【解析】

利用加權平均數的計算方法求出李老師、王老師的最后總成績，比較得出答案．【詳解】解：李老師總成績為：90×+85×=87，

王老師的成績為：95×+80×=86，

∵87＞86，

∴李老師成績較好，

故答案為：李老師．考查加權平均數的計算方法，以及利用加權平均數對事件作出判斷，理解權對平均數的影響．21、1.031×1【解析】

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：將10310000科學記數法表示為：1.031×1．故答案為：1.031×1．此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．22、2【解析】

圖象經過一、三象限，還過第二象限，所以直線與y軸的交點在正半軸上，則b＞2．【詳解】解：∵圖象經過第一、二、三象限，∴直線與y軸的交點在正半軸上，則b＞2．∴符合條件的b的值大于2即可．∴b=2，故答案為2．考查了一次函數圖象與系數的關系，一次函數的圖象經過第幾象限，取決于x的系數及常數是大于2或是小于2．23、6cm．【解析】試題分析：由∠ADE=∠C，∠A是公共角，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可得，然后由AE=2，△ADE的面積為4，四