21.2.2解一元二次方程（公式法）教學設計一、內容和內容解析1.內容本節課是人教版《義務教育教科書?數學》九年級上冊（以下統稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.2公式法第1課時，內容包括：利用公式法解一元二次方程。2.內容解析公式法是在前面學的配方法的基礎上學習的，對于任意的一元二次方程，只要將方程化為一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它為進一步學習一元二次方程的簡單應用起到鋪墊作用。基于以上分析，確定本節課的教學重點為：熟練使用公式法求解一元二次方程。二、目標和目標解析1.目標（1）會用公式法解一元二次方程。（2）理解用根的判別式判別根的情況。（3）通過推導求根公式的過程，加強推理能力的訓練，進一步發展邏輯思維能力，體驗類比、轉化、降次的數學思想。2.目標解析本節課我們利用配方法求解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，經歷推導的過程，使學生理解當一元二次方程中b2－4ac的結果不同，根的情況不同。進一步得出當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0）的實數根為x=?用公式法解一元二次方程的關鍵是先將方程化為一般形式，然后將a、b、c的值代入求根公式計算即可。對于一元二次方程，公式法是解法中的通法，它的推導建立在配方法的基礎上。通過配方法推導一元二次方程求根公式的過程，進一步讓學生體會解一元二次方程時降次的基本策略和轉化思想。達成1）目標的標志是：熟練運用公式法解一元二次方程。達成2）目標的標志是：利用根的判別式判別根的情況，進而通過根的情況計算方程中未知數的值或取值范圍。達成3）目標的標志是：過配方法推導一元二次方程求根公式的過程，體會了可以把一些問題轉化為已經掌握的知識、方法來解決問題的思想方法。三、教學問題診斷分析在推導一元二次方程求根公式過程中，先由具體方程變成抽象的方程引導學生從配方法入手，注意強調被開方數一定是非負數。在(x+b2a)2=b2?4ac4a2中，因為a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分以下三種情況進行討論：①b2－4ac＞0②b2－4ac=0,③b2－4ac<0，從而得出當【注意】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。基于以上分析，確定本節課的教學難點為：1）正確推導出一元二次方程的求根公式。2）理解b2－4ac對一元二次方程根的影響。四、教學過程設計（一）復習舊知，引入新課【提問】簡述通過配方法解一元二次方程的步驟。師生活動：師生共同回顧配方法解一元二次方程的步驟，從而引出本節課所學內容。【設計意圖】先回顧配方法解一元二次方程的步驟，為本節課的學習利用配方法推導一元二次方程求根公式做好鋪墊。（二）探究新知【問題】用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)？師生活動：學生積極思考，教師板演。根據化簡后的結果，教師需提醒學生：因為a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情況討論：(x+b2a)2=b1）若b2－4ac＞0，則b2?4ac4a2方程有兩個不相等的實數根x12）若b2－4ac=0，則b2?4ac4a方程有兩個相等的實數根x1=x2=﹣b2a3）若b2－4ac＜0，則b2而x取任何實數都不能使x+由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。通常用希臘字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.[總結]由前面的推導過程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實根。2）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實根。3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實根。【設計意圖】通過教師板演配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的過程，學生再次鞏固配方法求解一元二次方程的方法，引導學生回顧已有的知識，主動參與到本節課的學習中來。再通過分情況討論，讓學生理解如何通過根的判別式判別根的情況的方法。通過總結環節，引起學生的探究欲望和學習興趣，激發學生的學習熱情。師生活動：經過前面的推導過程，教師歸納與小結一元二次方程求根公式與公式法的概念：當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根為x=?b±b2?解一元二次方程時，把各系數直接代入求根公式，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。【設計意圖】學生通過觀察配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的過程，讓學生理解一元二次方程求根公式是如何推導而得出的，從而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。（三）典例分析例11）x2-4x-7=02）2x2-22x+1=03)5x2-3x=x+14)x2+17=8x師生活動：請學生板演，然后師生共同糾錯，使學生明確自己的錯誤與薄弱環節，在后續的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。【設計意圖】讓學生加深對公式法求解一元二次方程方法的掌握。（四）知識歸納【提問】簡述通過公式法解一元二次方程的步驟。1）將原方程化為一般形式，確定a、b、c的值【小技巧】若系數是分數通常將其化為整數，方便計算。2）求出b2-4ac的值，根據b2-4ac值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式。【易錯點】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。4）最后求出原方程的解。【設計意圖】教師引導學生歸納公式法解一元二次方程的步驟及注意事項。使學生鞏固對課堂知識的理解和掌握，同時需重點強調：a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。（五）典例分析例2一元二次方程4x2?2x?1=0A．沒有實數根 B．只有一個實數根C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根答案：∵△＝（-2）2-4×（-1）×4＝4+16=20＞0∴一元二次方程4x故答案為D．例3求本章引言中的問題，雕像下部高度x(m)滿足方程x2+2x-4=0答案：解：用公式法解方程得x=即x如果結果保留小數點后兩位，那么x1≈1.24，x2≈－3.24（舍）所以雕像下部高度應設計為約1.24m【針對訓練】1．x=?7±A．2x2+7x+3=0C．2x2+7x?3=02下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=03．下列一元二次方程中，沒有實數根的是（

）．A．x2?2x=0 C．3x2?5x+2=04一元二次方程mx2+mx﹣12A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2答案：1.C2.B3.D4.C【能力提升】1.關于x的一元二次方程x2?mx+2m?4=0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．[解析]1)∵a=1,b=?m,c=2m?4，∴△=∵無論m取何值時，(m?4)2（2）解：∵△=(m?4)2≥0∴x∵此方程有一個根小于1，且x2=2≥1．∴m<3．2.關于x的方程x2?2x+2m?1=0有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根．[解析]解：∵關于x的方程x2-2x+2m-1=0有實數根，∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，∵m為正整數，∴m=1，∴此時二次方程為：x2-2x+1=0，則（x-1）2=0，解得：x1=x2=1．師生活動：學生思考，獨立完成，教師借助多媒體展示具體求解過程。【設計意圖】通過配套練習，使學生加強對利用判別式判斷根的情況、求根公式等問題的理解和解決方法。把研究的對象從具體數字抽象到字母表示的數字，體現從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程，鞏固對公式法的認識。（五）直擊中考1．(2020臨沂市中考)一元二次方程x2?4x?8=0A．x1=?2+23，x2=?2?2C．x1=2+22，x2=2?2答案：B2．(2022成都市中考）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0【詳解】解：∵一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0的兩個實數根，∴由公式法解一元二次方程x2?6x+4=0可得∴根據勾股定理可得直角三角形斜邊的長是(3+5故答案為：273．（2022·四川巴中·統考中考真題）對于實數a，b定義新運算：a※b=ab2?b，若關于x的方程1※A．k>?14 B．k<?14 C．k>?14且k≠0 [解析]解：∵1※x=k，∴x2?x=k，即x∵關于x的方程1※x=k有兩個不相等的實數根，∴解得：k＞?14，故【設計意圖】通過對最近幾年的中考試題的