專題05.線段、角、對角線的計數模型本專題主要培養學生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構建數學模型解決實際問題等。線段的條數、直線的交點數、角的個數、對角線條數等計數規律，可以自己推導后進行記憶。本專題就線段（角度）的計數、平面內直線相交所得交點與平面的計數、多邊形的對角線條數和三角形個數的計數模型進行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計數模型1）線段的計數模型結論：線段數量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數，不回頭）；結論拓展：若有n個點，則線段數量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級校考期中）下面圖形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023秋·山西太原·七年級校考階段練習）往返于太原、運城兩地的高鐵列車，若中途停靠太谷、介休和臨汾站則有（）種不同票價．A．7 B．8 C．9 D．10例3．（2023秋·湖南長沙·七年級校考期末）2022年12月26日上午10時06分，渝廈高鐵常德至益陽段開通運營。某列車從常德至長沙運行途中停靠的車站依次是：常德—常德漢壽—益陽南—寧鄉西—長沙南，59分鐘即可抵達長沙，這標志著渝廈高鐵常益長段實現了全線開通。每兩站之間由于方向不同，車票也不同，那么鐵路運營公司要為常德至長沙南往返最多需要準備（

）張車票.A．10 B．15 C．20 D．30例4．（2023秋·四川瀘州·七年級統考期末）閱讀理解題問題：在一條直線上有A，B，C，D四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點的線段有，，共3條，同樣以B為端點，以C為端點，以D為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3，即（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復一次，所以一共有6條線段．那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有_________條線段；若在一條直線上有n個點，則這條直線上共有_________條線段．知識遷移：兩條直線相交只有1個交點，三條直線相交最多有3個交點，四條直線相交最多有_________個交點，n條直線相交最多有_________個交點．學以致用：某班45名同學在畢業后的一次聚會中，如果每兩人握手一次問好，全班同學共握手______次．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學習：數形規律探究學習(1)發現規律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發現的和與第一個數、最后一個數及數的個數有關．如果，我們設則我們可以看出此等式的右邊是若干個的和，∴_________．則_______．(2)運用規律，計算表達．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學生列隊以“單擊掌”形式（每兩個學生擊掌一次）祝賀獲獎；活動結束后該班同學又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個階段進行．32支球隊平均分成8個進行小組循環賽（小組內每兩支球隊舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊進入1/8決賽，然后實行淘汰賽，勝者進入1/4決賽．．．．．．請你計算2022年足球世界杯共進行多少場比賽？2）角度的計數模型結論：線段數量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數，不回頭）；結論拓展：若有n條射線，則角度數量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個）例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習）如圖，總共有個角．例2．（2023·四川內江·七年級月考）在銳角∠AOB內部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規律，畫10條不同射線，可得銳角個．例3．（2023秋·重慶七年級課時練習）（1）在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖1中有個不同的角；（2）在∠AOB內部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個不同的角；（3）在∠AOB內部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個不同的角；（4）在∠AOB內部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角；（5）在∠AOB內部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統考期末）如圖1，從點分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點分別引三條射線，則圖中得到________個角；②如圖3，從點分別引四條射線，則圖中得到________個角；③依此類推，從點分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；(2)應用：利用③中發現的規律解決問題：某校七年級共有16個班進行足球比賽，準備進行單循環賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？3）平面內直線相交所得交點與平面的計數模型直線的條數最多交點個數平面最多分成部分數102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級期中）已知條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，…由此猜想，條直線最多有個交點（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·安徽蕪湖·七年級校聯考期中）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數為（）A．3 B．5 C．7 D．9例3．（2023春·廣東七年級期中）平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數最少為個，最多為個，n條直線兩兩相交的直線最多有個交點．例4．（2023春·廣東七年級期中）觀察下列圖形，閱讀下面相關文字并填空：（1）在同一平面內，兩條直線相交最多有1個交點，3條直線相交最多有______個交點，4條直線相交最多有______個交點，……，像這樣，8條直線相交最多有______個交點，n條直線相交最多有______個交點：（2）在同一平面內，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【觀察發現】如圖，我們通過觀察后可以發現：兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；那么四條直線相交，最多有______個交點；n條直線相交，最多有______個交點（用含n的代數式表示）；【實踐應用】在實際生活中同樣存在數學規律型問題，請你類比上述規律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進行多少場比賽？4）多邊形的對角線條數和三角形個數的計數模型結論：從n邊形一個頂點出發可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）六邊形共有多少條對角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023秋·甘肅蘭州·七年級校考期末）如果一個多邊形從一個頂點出發最多能畫五條對角線，則這個多邊形的邊數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）過某個多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成6個三角形，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形例4．（2023秋·廣東梅州·七年級統考期末）一個多邊形從一個頂點出發引出8條對角線，那么這個多邊形對角線的總數是（）A．88 B．44 C．45 D．50例5．（2023·山東·八年級專題練習）多邊形的對角線：多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點的線段，從n邊形的一個頂點出發有條對角線，將n邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對角線．例6．（2023春·重慶七年級月考）樂樂和數學小組的同學們研究多邊形對角線的相關問題，邀請你也加入其中！請仔細觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點數45678…n從一個頂點出發的對角線的條數12345…________多邊形對角線的總條數2591420…________(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數式將上面的表格填寫完整；(2)實際應用：數學社團共分為6個小組，每組有3名同學．同學們約定，大年初一時不同組的兩位同學之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數學社團的同學們一共將撥打電話多少個？(3)類比歸納：樂樂認為(1)，(2)之間存在某種聯系，你能找到這兩個問題之間的聯系嗎？請用語言描述你的發現．課后專項訓練1．（2023·湖北·七年級階段練習）平面內10條直線把平面分成的部分個數最多是（）A．46個 B．55個 C．56個 D．67個2．（2023秋·四川成都·七年級校考階段練習）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點點P沿直線l從右向左移動，當出現點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，就會發出警報，則直線l上會發出警報的點P最多有A．4個 B．5個 C．6個 D．7個3．（2023秋·山東青島·七年級校考期末）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個點表示5個車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．224．（2023·河北邯鄲·七年級校考期末）由邯鄲到北京的某一次列車，運行途中停靠的車站依次是：邯鄲—邢臺—石家莊—保定—北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．9種 B．20種 C．10種 D．72種5．（2023·湖北荊門·七年級統考期中）兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內，它們的交點個數是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或36．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖所示，2條直線相交只有1個交點，3條直線相交最多能有3個交點，4條直線相交最多能有6個交點，5條直線相交最多能有10個交點，……，（≥2，且是整數）條直線相交最多能有（

）A．個交點B．個交點C．個交點D．個交點7．（2023春·山東淄博·七年級統考期中）從五邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．58．（2023春·浙江·八年級專題練習）過某個多邊形一個頂點的所有對角線，將此多邊形分成4個三角形，則此多邊形的邊數為（）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023秋·廣東七年級月考）平面內有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．1810．（2023春·山東泰安·七年級校考階段練習）如圖，2條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點按這樣的規律若n條直線相交交點最多有36個，則此時n的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．711．（2023·四川成都·七年級校考期末）成都與重慶之間往返的動車，除起始站和終點站外中途都有3個停靠站，則鐵路部門針對此動車需要發售種不同行程的動車票.12．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）過五邊形的一個頂點有條對角線．13．（2023秋·河南鄭州·七年級校考期末）一個正八邊形，從它的一個頂點可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則．14．（2023秋·重慶·七年級期中）如圖所示，過六邊形的頂點的所有對角線可將六邊形分成個三角形．15．（2023秋·山東德州·八年級校考期中）從多邊形的一個頂點所引的對角線，把這個多邊形分成7個三角形，則這個多邊形共條對角線．16．（2023秋·黑龍江綏化·八年級校考期中）從十二邊形的一個頂點作對角線，把這個十二邊形分成三角形的個數是，十二邊形的對角線的條數是17．（2023秋·河南許昌·七年級統考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區段鳴笛出發，鄭許市域鐵路開始空載試運行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準備種不同的車票．18．（2023·北京·七年級校考階段練習）表反映了平面內直線條數與它們最多交點個數的對應關系：圖形…直線條數234…最多交點個數13=1+26=1+2+3…按此規律，6條直線相交，最多有個交點；n條直線相交，最多有個交點．（n為正整數）19．（2023·浙江嘉興·七年級統考期末）若平面內互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了個部分．20．（2023秋·四川自貢·七年級校考階段練習）已知：四點A、B、C、D的位置如圖所示，根據下列語句，畫出圖形．(1)畫直線、射線相交于點O，畫線段；(2)圖中以字母A、B、C、D、O為端點的線段共有____條．21．（2023秋·四川瀘州·七年級統考期末）如圖，為直線上一點，，平分．(1)請你數一數，圖中有___________個小于平角的角；(2)求的度數．22．（2023秋·山西七年級月考）小明在一條直線上選了若干個點，通過數線段的條數，發現其中蘊含了一定的規律，下邊是他的探究過程及聯想到的一些相關實際問題.（1）一條直線上有2個點，線段共有1條；一條直線上有3個點，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個點，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個點，線段共有條.（2）總結規律：一條直線上有n個點，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點的兩條射線OA、OB形成1個角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內部再加一條射線OC，此時具有公共端點的三條射線OA、OB、OC共形成3個角；以此類推，具有公共端點的n條射線OA、OB、OC…共形成個角（4）解決問題：曲沃縣某學校九年級1班有45名學生畢業留影時，全體同學拍1張集體照，每2名學生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學都需要1張照片留作紀念，又應該沖印多少張紙質照片？23．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點．(1)請畫出滿足上述條件的一個圖形，并數出圖形中各直線之間的交點個數；(2)請再畫出各直線之間的交點個數不同的圖形（至少兩個）；(3)你能否畫出各直線之間的交點個數為n的圖形，其中n分別為6，21，15？(4)請盡可能多地畫出各直線之間的交點個數不同的圖形，從中你能發現什么規律？24．（2023·北京市七年級課時練習）如圖，線段上的點數與以這些點為端點的線段的總數有如下關系：

(1)當線段上有3個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；當線段上有4個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；當線段上有5個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；(2)當線段上有個點時，以這些點為端點的線段總共有多少條？(3)根據上述信息解決下面的問題：①某學校七年級共有20個班級進行辯論賽，規定進行單循環賽（每兩個班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進行多少場？②乘火車從站出發，沿途經過10個車站方可到達站，那么在，兩站之間需要設置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點站與終點站之分）？25．（2023秋·廣東惠州·七年級校考階段練習）如圖，線段AB上的點數與線段的總數有如下關系：如果線段上有3個點時，線段共有3條；如果線段上有4個點時，線段共有6條；如果線段上有5個點時，線段共有10條；(1)當線段上有6個點時，線段共有條？(2)當線段上有n個點時，線段共有多少條？（用n的代數式表示）(3)當，線段共有多少條？

26．（2023秋·浙江·七年級專題練習）觀察思考：

（1）在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角；（2）在∠AOB內部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個不同的角？（3）3條射線呢？你能發現什么規律，表示出n條射線能有幾個不同的角？27．（2023春·廣東肇慶·七年級校考階段練習）觀察如圖所示中的各圖，尋找對頂角（不含平角）：（1）如圖a，圖中共有＿＿＿對對頂角；（2）如圖b，圖中共有＿＿＿對對頂角；（3）如圖c，圖中共有＿＿＿對對頂角.（4）研究（1）～（3）小題中直線條數與對頂角的對數之間的關系，若有

n條直線相交于一點,則可形成＿＿＿對對頂角？（5）若有2008條直線相交于一點，則可形成＿＿＿對對頂角？28．（2023秋·山東七年級課時練習）下面各個圖形中，分別有多少個小于平角的角，請用適當的方法表示這些角．（1）圖（1）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________；（2）圖（2）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________；（3）圖（3）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________．29．（2023·云南保山·七年級統考期末）如圖所示，從一點O出發，引兩條射線可以得到一個角，引三條射線可以得到三個角，引四條射線可以得到六個角，引五條射線可以得到十個角，如果從一點出發引n（n為大于等于2的整數）條射線，則會得到多少個角？如果n=8時，檢驗你所得的結論是否正確．30．（2023秋黑龍江七年級月考）找規律：一次足球比賽中，有n（n≥2）個球隊參加比賽，假設此次比賽為單循環比賽（參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場），球隊總數與總的比賽場數如表．球隊數（n）23456比賽場數1361015（1）8個球隊總共比賽的總場數為．（2）當有n個球隊參加時，共比多少場？（2）當n＝10時，共有多少場比賽？31．（2023秋·河北八年級課時練習）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點，首先連接BA1，圖中出現了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形…

（1）完成下表：連接個數出現三角形個數若出現了45個三角形，則共連接了多少個點？若一直連接到An，則圖中共有__________個三角形．32．（2023春·山東青島·七年級校考期中）數學中，常對同一個量用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”．[探究一]如圖1，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為的正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？陰影部分的面積是______．如圖2，也可以把陰影部分沿著虛線AB剪開，分成兩個梯形，陰影部分的面