專題05相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形中，點D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點F，交于點G，求．

例3．（2023秋·江西上饒·九年級校聯考期末）完成下列各題．(1)課本中有一道練習題：如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形（），邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在上，則這個正方形零件的邊長是mm．拓展應用：(2)若原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形兩條邊，如圖2所示，求此時EF的長．

例4.（2022·上海九年級期中）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的長．（2）在△ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．小明認為DPBQ例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．例2．（2021·上海·中考真題）如圖，在梯形中，是對角線的中點，聯結并延長交邊或邊于E．（1）當點E在邊上時，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長．例3.（2023·廣東九年級期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1.（2022·成都市九年級期中）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長度．例2．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F分別為BC，AC上的一點，連接EF交CD于點P．（1）如圖1，若F為AC的中點，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F為AC的中點，連接AE交CD于點Q，若QD＝QP，直接寫出的值．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東淄博·八年級統考期末）如圖，矩形，，，點是邊上的動點，點F是射線BC上的動點，且，連接，．若，則m的最小值為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·山西晉城·九年級統考期末）如圖，點G是的重心，連接、并延長分別交、于點D，E，連接，則．

4．（2023秋·山西長治·九年級統考期末）如圖，中，，，點E是邊上一點，且，連接，過點C作的垂線，垂足為F，交于點D，則的長為．5．（2022秋·廣東梅州·九年級統考期末）如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．

6．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，，．點M在邊上，且．點E，F分別在上，且，垂足為G，則的值為．

7．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考三模）【問題發現】小明在一次利用三角板作圖的過程中發現了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發現果然和之前發現的結論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上的動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．

8．（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點F，交于點E，于點H，連接交于點D．(1)求證：；(2)若點D為的中點，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的長．9．（2023·吉林四平·校聯考三模）在中，，分別為，上一點，，交于點．(1)設的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．

10．（2022?江蘇中考模擬）對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC與CABC環繞的方向（同為逆時針方向）相同，因此△CDE和△CAB互為順相似；如圖（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC與CBAC環繞的方向相反，因此△CDE和△CBA互為逆相似．（1）根據以上材料填空：①如圖（3），AB∥CD，則△AOB∽△COD，它們互為相似（填“順”或“逆”，下同）；②如圖（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則△ABC∽，它們互為相似；③如圖（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于點F，則△ABD∽，它們互為相似；（2）如圖（6），若△AOB∽△COD，指出圖中另外的一對相似三角形并說明理由，同時指出它們互為順相似還是互為逆相似；（3）如圖（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，點P在△ABC的斜邊上，且AP＝16，過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC相似，則滿足的截線共有條．11．（2022·上海·九年級專題練習）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點．（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯結，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值．12．（2022?綿陽市中考模擬）[閱讀理解]構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段DF的中點．[經驗運用]請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，若點E在BA的延長線上，點F在線段BC上，DF交AC于點H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請直接寫出GH的長．13．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當時，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．14．（2023·上海·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=E