專題01特殊的平行四邊形中的最值模型--將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。例1．（2022·山東德州·統考中考真題）如圖，正方形的邊長為6，點在上，，點是對角線上的一個動點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，根據正方形的對稱性可得，進而可知，再利用，，三點共線時，的值最小，將轉化為，最后運用勾股定理即可解答．【詳解】如圖，連接，，、關于對稱，，當，，三點共線時，的值最小，即的值最小，，，由勾股定理得：，即的最小值為，故選C．

【點睛】本題考查了運用軸對稱解決最短路徑問題、勾股定理的應用、正方形的性質，明確當，，三點共線時，有最小值是解題的關鍵．例2．（2022·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關于直線AC的對稱點B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關于直線AC對稱，，∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小∴根據“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點是的中點，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點睛】本題考查菱形性質及動點問題，解題的關鍵是構造直角三角形用勾股定理求線段長．例3．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點在上，且，點分別為邊上的動點，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作關于的對稱點，連接，根據條件求出的長度，當、、、四點共線時，最小，即可求出答案．【詳解】解：作關于的對稱點，連接，

，，沿直線翻折得到，，，，，，四邊形為矩形，，在中，，當、、、四點共線時，最小，最小為，的最小值為．故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，解答的關鍵是作出輔助線．例4．（2023·遼寧撫順·統考三模）如圖，正方形的邊長為3，E為邊上的動點，連接，將繞點E順時針旋轉得到線段，連接，則的最小值是______．

【答案】【分析】作交的延長線于點H，連接CF并延長，連接，首先證明出，進而得到，，然后得到是等腰直角三角形，得到點F在的角平分線上運動，作點D關于的對稱點G，然后得到當點A，F，G三點在一條直線上時，有最小值，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，作交的延長線于點H，連接CF并延長，連接，

∵將繞點E順時針旋轉得到線段，∴，，∵正方形的邊長為3，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點F在的角平分線上運動，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，作點D關于的對稱點G，∵點F在的角平分線上運動，∴點G在的延長線上，∴，∴，∴當點A，F，G三點在一條直線上時，有最小值，∵點D和點G關于對稱，∴，∴，∴在中，．∴的最小值是．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，軸對稱求最短路徑．能夠將線段的和通過軸對稱轉化為共線線段是解題的關鍵．變式1．（2023·湖南湘西·統考三模）如圖所示，正方形的邊長為2，點為邊的中點，點在對角線上移動，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作點E關于的對稱點為，連接交于點P，可得，，根據勾股定理求出，可得周長，即可求解．【詳解】解：作點E關于的對稱點為，連接交于點P，如圖所示，

∵E關于的對稱點為，∴，，∵正方形的邊長為2，點為邊的中點，∴，，∴，∴，∵周長，又∵，∴周長，∴周長最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，正方形的性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握軸對稱的性質．變式2．（2023春·成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動點，且，M為EF中點，P是邊AD上的一個動點，則的最小值是______．【答案】11【分析】作點C關于AD的對稱點G，連接PG、GD、BM、GB，則當點P、M在線段BG上時，GP+PM+BM最小，從而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的長，從而求得最小值．【詳解】如圖，作點C關于AD的對稱點G，連接PG、GD、BM、GB由對稱的性質得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM則當點P、M在線段BG上時，CP+PM最小，且最小值為線段BG－BM∵四邊形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°

∴CG=2CD=12∵M為線段EF的中點，且EF=4∴在Rt△BCG中，由勾股定理得：∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值為11．【點睛】本題是求兩條線段和的最小值問題，考查了矩形性質，折疊的性質，直角三角形斜邊上中線的性質，兩點間線段最短，勾股定理等知識，有一定的綜合性，關鍵是作點C關于AD的對稱點及連接BM，GP+PM+BM的最小值轉化為線段CP+PM的最小值．變式3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．【答案】【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：【點睛】本題考查菱形性質，勾股定理，軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質求線段和的最小值是解題關鍵．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點F和E．點G和H分別是和上的動點，，那么的最小值為______．

【答案】【分析】過點E作交于點I，連接．易求出，，．易證四邊形為平行四邊形，得出，即說明當最小時，最小．由當點I，H，C三點共線時，最小．結合平行四邊形的判定和性質和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作交于點I，連接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當最小時，最小．∵當點I，H，C三點共線時，最小，∴此時最小，如圖，

∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點之間線段最短等知識．正確作出輔助線，理解當點I，H，C三點共線時，最小，即此時最小是解題關鍵．例2．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，則的最小值為______．【答案】【分析】根據菱形的性質得到，根據平移的性質得到，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值的最小值，根據平移的性質得到點在過點A且平行于的定直線上，作點D關于定直線的對稱點E，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，求得，得到，于是得到結論．【詳解】解：連接，∵在邊長為2的菱形中，，∴，∵將沿射線的方向平移，得到，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的最小值的最小值，∵點在過點A且平行于的定直線上，∴作點D關于定直線的對稱點E，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，在中，，∴，∴，∴，∵∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，菱形的性質，解直角三角形，平移的性質，求得的最小值的最小值，是解題的關鍵．例3．（2022·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．變式1．（2023·貴州黔東南·統考一模）如圖，在菱形中，對角線，的長分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．【答案】【分析】連接與交于點，延長到，使得，連接，證明，，得，當點、、三點共線時，的值最小，由勾股定理求得便可．【詳解】解：如圖所示，連接與交于點，延長到，使得，連接，四邊形是菱形，，，由平移性質知，，，，，，當點、、三點共線時，的值最小，的最小值為：，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，平移的性質，勾股定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．變式2．（2022·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化．變式3．（2023秋·河南南陽·九年級校聯考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．【答案】【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據平行四邊形的性質和平移圖形的性質，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點C與點C′關于AE對稱，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，此時，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵是將兩條線段的和轉化為同一條線段求解．模型3.修橋選址模型（將軍遛馬模型）【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線m同側：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．【答案】【分析】如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F位置是解題關鍵．例2．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標為，頂點坐標為，點在軸上，線段軸，且點坐標為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．【答案】13+【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應是最小的，運用“將軍飲馬”模型，根據點E關于AD的對稱點為O，過點A作AF1∥DF，當O，A，F1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．【詳解】∵點坐標為，點坐標為，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐標為，點在軸上，線段軸，∴EF＝8，連接OA，過點A作AF1∥DF交EF于點F1，則四邊形ADFF1是平行四邊形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵點E，O關于AD對稱，∴OA=AE，當O，A，F1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【點睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質．變式1．（2022·四川內江·統考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質，根據題意作出輔助線，得出當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關鍵．變式2．（2023·黑龍江牡丹江·校考模擬預測）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運動，且．連接，．則周長的最小值是______．【答案】/【分析】作點關于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．由軸對稱的性質可得出的周長，此時最小，再結合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．，．，，∴四邊形為平行四邊形，．，，三點共線，此時的周長最小．，，即，，周長的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短路線問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質等知識．熟練運用軸對稱的性質和平行四邊形的性質是解題的關鍵．變式3．（2023春·湖北武漢·八年級統考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動點，且，則的最小值是________．

【答案】【分析】由可知為定長，在、間滑動，故由造橋選址模型進行平移，轉化為兩點間距離加上定長，再利用特殊角構造直角三角形，使用勾股定理求出兩點間距離．【詳解】作交于點E，在取，連接，延長至點，使，連接，作于點，如下圖：

，，為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，同理得四邊形與四邊形為平行四邊形，，，，，中，，中，，的最小值是．【點睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時若有特殊角，通常采用構造直角三角形利用勾股定理求解的方法．模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內側，一個點在外側：（3）兩個點都在內側：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022·江蘇連云港·校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現在要設立兩個車站E，F，則的最小值為______公里．【答案】15+10【分析】將△AEB繞A順時針旋轉60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點D逆時針旋轉60°得到△DF'M，連接CM、FM、FF'，如圖2，此時EH、EF、FM共線，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋轉的性質和等邊三角形的性質，相加即可得出結論．【詳解】解：如圖1，將△AEB繞A順時針旋轉60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點D逆時針旋轉60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF=FF'，FC=F'M，∴當H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案為：（15+10）．【點睛】本題考查了矩形的性質和最短路徑問題，旋轉的性質和等邊三角形的性質，確定最小值時點E和F的位置是本題的關鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結論．例2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在中，．如果在三角形內部有一條動線段，且，則的最小值為________．

【答案】【分析】在上取一點，使得，連接，如圖所示，首先證明，將繞點順時針旋轉得到，連接，過點作交的延長線于，證明，求出可得結論．【詳解】解：在上取一點，使得，連接，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，，將繞點順時針旋轉得到，連接，過點作交的延長線于，如圖所示：，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，旋轉變換，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．變式1．（2023·陜西漢中·統考一模）如圖，在中，，點是上的動點，連接，過點作，過點作交于點，當取得最小值時，則四邊形的周長為______．

【答案】【分析】設與交于點，由垂線段最短即時，取得最小值，根據平行四邊形的性質及等腰三角形的性質求解即可．【詳解】解：如圖，與交于點，

，，四邊形是平行四邊形．當時，取得最小值，四邊形是平行四邊形，，，，，是等腰直角三角形．，，，，，，四邊形的周長為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定，垂線段最短，勾股定理，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵．變式2．（2022·安徽合肥·統考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性質與線段的等量關系證明，，則，，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求最小的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，軸對稱等知識．解題的關鍵在于找出四邊形周長最小時點、的位置關系．模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

【答案】【分析】作的對稱點，連接并延長交于點，根據三角形三邊關系可得到，最后根據等邊三角形的性質及菱形的性質即可解答．【詳解】解：作的對稱點，連接并延長交于點，∴，∴，當在同一條直線上時，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴為的中點，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，菱形的性質，中點的定義，三角形的三邊關系，掌握等邊三角形的性質及菱形的性質是解題的關鍵．例2．（2023春·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．【答案】【分析】①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進行計算即可；②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點G，根據對稱的性質可得，再根據，點O是的中點，可得，從而求得，再利用勾股定理進行計算即可．【詳解】解：①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵點O是的中點，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，過點P作于點P，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點G，∵，點O是的中點，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值為：，故答案為：；．【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及軸對稱?最短路徑，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．例2．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【分析】作A關于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據角的和差關系得到∠ACD=75°，根據軸對稱的性質得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．【詳解】如圖，作A關于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點A與A′關于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．變式1．（2023·湖北黃岡·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中點，連接，，過點作于H點．解直角三角形求出，根據可得結論．【詳解】解：取的中點，連接，，過點作于H點．

∵四邊形是菱形，，，∴，，∵點E為的中點，點為的中點，∴，，∵四邊形是菱形，，且，，∴點E與點關于對稱，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，當且僅當F、G、三點共線時取等號，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考常考題型．變式2．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為______．【答案】5【分析】過點P作于H．過點P作直線，作點C關于直線l的對稱點，連接交直線l于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長．【詳解】解：如圖，過點作于．，，，過點作直線，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點作于．，四邊形是矩形，，，，，，的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，涉及到的知識點三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題．課后專項訓練1．（2023春·河南安陽·八年級統考期中）如圖，在菱形中，，，點P是菱形內部一點，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】在上取一點E，使得，作，作點C關于的對稱點H，交于G，連接交于P，連接，此時，的值最小．在和中，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，在上取一點E，使得，作，作點C關于的對稱點H，交于G，連接交于P，連接，此時，的值最小．的最小值，∵四邊形是菱形，，∴，，∴，則，∵，∴，∴，在中，，，∴，故選：D．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，三角形的面積，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．2．（2023春·福建廈門·八年級校聯考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】取BC的中點G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點B關于AC的對稱點F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長即為PB+PQ的最小值．【詳解】解：取BC的中點G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點B關于AC的對稱點F，連接GF，

交AC于點P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當點Q與點G重合時，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的長即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理，等邊三角形的性質，根據垂線段最短作出輔助線，確定點P，Q的位置是解答此題的關鍵．3．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關于直線BC的對稱點，再連接，運用兩點之間線段最短得到為所求最小值，再運用勾股定理求線段的長度即可．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線BC的對稱點，連接，其與BC的交點即為點E，再作交AB于點F，∵A與關于BC對稱，∴，，當且僅當，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時，∵正方形，點O為對角線的交點，∴，∵對稱，∴，∴，在中，，故選：D．【點睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質，并運用勾股定理求線段長度是解題關鍵。4．（2022·山東菏澤·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵∴F是BC的中點，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2．即的最小值是．故選：C【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形以及三角函數，確定AF的長就是的最小值是關鍵．5．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性質與線段的等量關系證明，，則，，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求最小的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，軸對稱等知識．解題的關鍵在于找出四邊形周長最小時點、的位置關系．6．（2022·重慶九龍坡·統考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】連接AE，作點D關于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性質可證明四邊形CDEG為平行四邊形，即得出，從而可得出，即CH的長為的最小值．最后根據等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質與勾股定理求出CH的長即可．【詳解】如圖，連接AE，作點D關于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移的性質可知，．∵四邊形ABCD為菱形，∴，，，∴，，∴四邊形CDEG為平行四邊形，∴．由軸對稱的性質可知，，，∴，∴，即CH的長為的最小值．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，即為頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，結合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故選B．【點睛】本題考查平移的性質，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，軸對稱變換，含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，綜合性強，為選擇題中的壓軸題．正確的作出輔助線是解題關鍵．7．（2022·遼寧大連·統考一模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F分別在對角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為______．【答案】/【分析】如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．因為EF+DE=EF′+DE，推出當D、E、F′共線，且點F′與H重合時，FE+DE的值最小．【詳解】解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．∵S△ABD=?AO?BD=?AB?DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，∴當D、E、F′共線，且點F′與H重合時，FE+DE的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是菱形的性質，軸對稱的性質、勾股定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學利用對稱解決最短問題．8．（2022·統考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．【答案】【分析】延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OC，可證得四邊形AOEH是平行四邊形，OE=AH，可得當點E、點G在OC上時，最小，即最小，再根據勾股定理即可求得．【詳解】解：如圖：延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OE、EG，，，，又，四邊形AOEH是平行四邊形，，當點E、點G在OC上時，最小，即最小，，，，，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形及正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關鍵．9．（2022·山東泰安·模擬預測）如圖，在菱形中，，，點，在上，且，連接，，則的最小值為________．【答案】【分析】連接BD交AC于點O，根據菱形的性質和勾股定理可得DO=3，當點O為MN的中點時，BM+DN的值最小，再證明得DN=BM，由勾股定理求出DN的長即可．【詳解】解：連接BD交AC于點O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AC=8∴又在Rt△AOB中，∴∴DO=5當點O為MN的中點時，BM+DN的值最小，∵MN=1∴在Rt△DON中，∴在Rt△DON和Rt△BOM中，∴∴DN=BM∴∴的最小值為故答案為【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，靈活運用菱形的性質和勾股定理求出BN=是解答本題的關鍵．9．（2023春·山東煙臺·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，點P、點Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．【答案】13【分析】證明四邊形是平行四邊形，得到，作點A關于的對稱點E，當B、Q、E在同一直線上時，取得最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，作點A關于的對稱點E，則，，當B、Q、E在同一直線上時，取得最小值，此時，，∴的最小值是13，故答案為：13．【點睛】本題考查的是最短線路問題及矩形的性質，勾股定理，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．10．（2023春·江蘇淮安·八年級校考期中）如圖，矩形中，，矩形的對角線相交于點O，點E，F為邊上兩個動點，且，則的最小值為_________．【答案】【分析】過點O作于點H，把點O向右平移2個單位至點，作點關于的對稱點，交于點K，連接交于點E，作，交的延長線于點G．由軸對稱的性質可知，即的最小值是線段的長，根據勾股定理求出的長即可．【詳解】過點O作于點H，把點O向右平移2個單位至點，作點關于的對稱點，交于點K，連接交于點E，作，交的延長線于點G．則四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴由兩點之間線段最短可知，此時的值最小，最小值是線段的長．∵四邊形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質與判定，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，兩點之間線段最短，以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．11．（2023·湖北武漢·校聯考模擬預測）如圖，己知長方體，是棱上任意一點，是側面對角線上一點，則的最小值是________．

【答案】【分析】將正方形展開，取及兩個面，過點作于點Q，交于點P，此時取最小值，由正方形的性質可得出，再利用特殊角的三角函數值即可求出的長度，此題得解．【詳解】解：將正方形展開，取及兩個面，過點作于點Q，交于點P，此時取最小值．

∵為正方形，∴．在中，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱中的最短路線問題、正方形的性質以及特殊角的三角函數值，找出點P、Q的位置是解題的關鍵．12．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）如圖，點E是線段上的一個動點，，且，則的最小值是___．【答案】【分析】作點A關于線段的對稱點F，連接，交于點O，連接，過點F作，交的延長線于點H，過點作，交的延長線于點G，由題意易得，則有，然后可得四邊形是平行四邊形，進而可得，推出，勾股定理求出的長即可得解．【詳解】解：作點A關于線段的對稱點F，連接，交于點O，連接，過點F作，交的延長線于點H，過點作，交的延長線于點G，如圖所示：由軸對稱的性質可知：，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，當點E與點O重合時，則的最小值即為的長，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴即的最小值為；故答案為．【點睛】本題主要考查軸對稱的性質、平行四邊形的性質與判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性質，熟練掌握軸對稱的性質，是解題的關鍵．13．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．【答案】6【分析】作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；然后求出和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的找到點P使得有最小值．14．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由B向C運動，點F到達點C后停止運動，E在F的左側，，連接，則周長的最小值為______．

【答案】8【分析】過點作交于點，再作點關于的對稱點，連接，連接與交于點，當運動到點時，，，三點共線，此時取最小值，即取最小值，則此時的周長最小．【詳解】解：如圖，過點作交于點，則四邊形為平行四邊形，，，再作點關于的對稱點，連接，則，連接與交于點，當運動到點時，，，三點共線，此時取最小值，即取最小值，則此時的周長最小．

過點作，過點作交于點，，，，連接，，，四邊形為矩形，

，，，周長的最小值，故答案為：．【點睛】本題考查了關于移動線段中三角形周長最小值問題，勾股定理，菱形的性質等知識，添加合適的輔助線轉化為兩點間距離問題是解題關鍵．15．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點、是邊上的動點，且，則四邊形周長的最小值為______．【答案】【分析】根據題意，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，此時四邊形的周長為，則當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，進而計算即可得解．【詳解】如下圖，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，∴，，此時四邊形的周長為，當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，，，，經過點，，，，，，，四邊形周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握相關軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關鍵．16.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC,P為對角線B