2024年人教版中學七7年級下冊數學期末試題附解析一、選擇題1．如圖，下列各組角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠42．下列所示的車標圖案，其中可以看作由基本圖案經過平移得到的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，點P（5，﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列四個命題：①5是25的算術平方根；②的平方根是-4；③經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；④同旁內角互補．其中真命題的個數是（）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．如圖，直線，，則的度數為（）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．9的立方根是3 B．算術平方根等于它本身的數一定是1C．﹣2是4的一個平方根 D．的算術平方根是27．如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉55°后得到△OCD，此時，若，則的度數是（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點出發，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點，第二次移動到點……，第次移動到點，則點的坐標是（）A． B． C． D．九、填空題9．計算_______________．十、填空題10．已知點的坐標是，且點關于軸對稱的點的坐標是，則__________．十一、填空題11．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分線AE、DF分別交BC于點E、F．若EF＝2，AB＝5，則AD的長為_______．十二、填空題12．如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝72°，則∠AED′＝__．十三、填空題13．如圖，將矩形ABCD沿MN折疊，使點B與點D重合，若∠DNM＝75°，則∠AMD＝_____．十四、填空題14．規定：[x]表示不大于x的最大整數，（x）表示不小于x的最小整數，[x）表示最接近x的整數（x≠n+0.5，n為整數），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．當﹣1＜x＜1時，化簡[x]+（x）+[x）的結果是_____．十五、填空題15．若點P（2m+4，3m+3）在x軸上，則點P的坐標為________．十六、填空題16．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，0），B（0，3），對△AOB連續作圖所示的旋轉變換，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，那么第（2013）個三角形的直角頂點坐標是______十七、解答題17．（1）計算：（2）比較與-3的大小十八、解答題18．求下列各式中的x值.（1）（2）十九、解答題19．完成下面的證明與解題．如圖，AD∥BC，點E是BA延長線上一點，∠E＝∠DCE．（1）求證：∠B＝∠D．證明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠______________（______________）∵∠E＝∠DCE，∴AB∥CD（______________）．∴∠D＝∠______________（______________）．∴∠B＝∠D．（2）若CE平分∠BCD，∠E＝50°，求∠B的度數．二十、解答題20．如圖，三角形在平面直角坐標系中．（1）請寫出三角形各點的坐標；（2）求出三角形的面積；（3）若把三角形向上平移2個單位，再向左平移1個單位得到三角形，在圖中畫出平移后三角形．二十一、解答題21．例如∵即，∴的整數部分為2，小數部分為，仿照上例回答下列問題；（1）介于連續的兩個整數a和b之間，且a＜b，那么a＝，b＝；（2）x是的小數部分，y是的整數部分，求x＝，y＝；（3）求的平方根．二十二、解答題22．（1）小麗計劃在母親節那天送份禮物媽媽，特設計一個表面積為12dm2的正方體紙盒，則這個正方體的棱長是．（2）為了增加小區的綠化面積，幸福公園準備修建一個面積121πm2的草坪，草坪周圍用籬笆圍繞．現從對稱美的角度考慮有甲，乙兩種方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圓形的．如果從節省籬笆費用的角度考慮，你會選擇哪種方案？請說明理由；（3）在（2）的方案中，審批時發現修如此大的草坪，目的是親近自然，若按上方案就沒達到目的，因此建議用如圖的設計方案：正方形里修三條小路，三條小路的寬度是一樣，這樣草坪的實際面積就減少了21πm2，請你根據此方案求出各小路的寬度（π取整數）．二十三、解答題23．已知，點在與之間．（1）圖1中，試說明：；（2）圖2中，的平分線與的平分線相交于點，請利用（1）的結論說明：．（3）圖3中，的平分線與的平分線相交于點，請直接寫出與之間的數量關系．二十四、解答題24．將兩塊三角板按如圖置，其中三角板邊，，，．（1）下列結論：正確的是_______．①如果，則有；②；③如果，則平分．（2）如果，判斷與是否相等，請說明理由．（3）將三角板繞點順時針轉動，直到邊與重合即停止，轉動的過程中當兩塊三角板恰有兩邊平行時，請直接寫出所有可能的度數．二十五、解答題25．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動,A、B不與點O重合，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，（1）點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出∠ACB的大小.（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，則∠ABO＝________,如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，則∠ABO＝________（3）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其反向延長線交于E、F，則∠EAF＝；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的倍，求∠ABO的度數.【參考答案】一、選擇題1．D解析：D【分析】根據同位角的定義分析即可，兩條直線被第三條直線所截,如果兩個角分別在兩條直線的同側,且在第三條直線的同旁,那么這兩個角叫做同位角．【詳解】A.∠1和∠2是鄰補角，不符合題意；B.∠3和∠4是同旁內角，不符合題意；C.∠2和∠4沒有關系，不符合題意；D.∠1和∠4是同位角，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了同位角的定義，理解同位角的定義是解題的關鍵．2．C【分析】根據平移的概念：在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移，即可選出答案．【詳解】解：根據平移的概念，觀察圖形可知圖案B通過平移后可以得到解析：C【分析】根據平移的概念：在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移，即可選出答案．【詳解】解：根據平移的概念，觀察圖形可知圖案B通過平移后可以得到．故選C．【點睛】本題考查生活中的平移現象，仔細觀察各選項圖形是解題的關鍵．3．D【分析】根據點的橫縱坐標的符號可得所在象限．【詳解】解：∵點P的橫坐標是正數，縱坐標是負數，∴點P（5，-1）在第四象限，故選：D．【點睛】本題主要考查點的坐標，熟練掌握各象限內點的坐標的特點是解本題的關鍵，第一、二、三、四象限內的點的坐標符號分別是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）．4．C【分析】根據相關概念逐項分析即可．【詳解】①5是25的算術平方根，故原命題是真命題；②的平方根是，故原命題是假命題；③經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故原命題是真命題；④兩直線平行，同旁內角互補，故原命題是假命題；故選：C．【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及到平方根，平行公理，以及平行線的性質，熟練掌握基本定理和性質是解題關鍵．5．B【分析】記∠1頂點為A，∠2頂點為B，∠3頂點為C，過點B作BD∥l1，由平行線的性質可得∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再結合已知條件即可求出結果．【詳解】如圖，過點B作BD∥l1，∵，∴BD∥l1∥l2，∴∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，正確作出輔助線，熟練掌握平行線性質是解題的關鍵．6．C【解析】【分析】利用立方根、平方根和算術平方根的定義進行判斷即可.【詳解】解：9的立方根是，故A項錯誤；算術平方根等于它本身的數是1和0，故B項錯誤；﹣2是4的一個平方根，故C項正確；的算術平方根是，故D項錯誤；故選C.【點睛】本題考查了平方根、算術平方根和立方根，熟練掌握各自的定義是解題的關鍵.7．D【分析】由旋轉的性質得出∠AOC＝55°，∠A＝∠C，根據平行線的性質得出∠BOC＝∠C＝35°，則可得出答案．【詳解】解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉55°后得到△OCD，∴∠AOC＝55°，∠A＝∠C，∵∠AOB＝20°，∴∠BOC＝∠AOC?∠AOB＝55°?20°＝35°，∵CD∥OB，∴∠BOC＝∠C＝35°，∴∠A＝35°，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的性質，求出∠BOC的度數是解題的關鍵．8．B【分析】根據題意可得，，，，，，，由此得出縱坐標規律：以1，1，0，0的順序，每4個為一個循環，可求出點的縱坐標，然后根據，，，，可得：，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，解析：B【分析】根據題意可得，，，，，，，由此得出縱坐標規律：以1，1，0，0的順序，每4個為一個循環，可求出點的縱坐標，然后根據，，，，可得：，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，由此得出縱坐標規律：以1，1，0，0的順序，每4個為一個循環，∵，∴點的縱坐標為1，∵，，，，由此得：，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標規律題——坐標與旋轉，解題的關鍵是理解題意找出規律解答問題．九、填空題9．11【分析】直接利用算術平方根的定義以及有理數的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：原式=2+9=11．故答案為：11．【點睛】此題主要考查了算術平方根以及有理數的乘方運算，正解析：11【分析】直接利用算術平方根的定義以及有理數的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：原式=2+9=11．故答案為：11．【點睛】此題主要考查了算術平方根以及有理數的乘方運算，正確化簡各數是解題關鍵．十、填空題10．-31【分析】平面內關于x軸對稱的兩個點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．【詳解】∵已知點的坐標是，且點關于軸對稱的點的坐標是，∴m＝?3；n＝1，故答案為?3；1解析：-31【分析】平面內關于x軸對稱的兩個點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．【詳解】∵已知點的坐標是，且點關于軸對稱的點的坐標是，∴m＝?3；n＝1，故答案為?3；1．【點睛】解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．十一、填空題11．8【分析】根據題意由平行線的性質得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是解析：8【分析】根據題意由平行線的性質得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到結論．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質和平行線的性質以及平行四邊形的性質等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質以及平行四邊形的性質．十二、填空題12．36°【分析】根據平行線的性質可知∠DEF＝∠EFB＝72°，由折疊的性質求出∠D′EF72°，然后可求∠AED′的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD//BC，∴∠DEF＝解析：36°【分析】根據平行線的性質可知∠DEF＝∠EFB＝72°，由折疊的性質求出∠D′EF72°，然后可求∠AED′的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD//BC，∴∠DEF＝∠EFB＝72°，又由折疊的性質可得∠D′EF＝∠DEF＝72°，∴∠AED′＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．【點睛】本題考查了平行線的性質，折疊的性質，熟練掌握折疊的性質是解答本題的關鍵．十三、填空題13．30°【分析】由題意，根據平行線的性質和折疊的性質，可以得到∠BMD的度數，從而可以求得∠AMD的度數，本題得以解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DN∥AM，∵∠DNM＝75o解析：30°【分析】由題意，根據平行線的性質和折疊的性質，可以得到∠BMD的度數，從而可以求得∠AMD的度數，本題得以解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DN∥AM，∵∠DNM＝75o，∴∠DNM＝∠BMN＝75o，∵將矩形ABCD沿MN折疊，使點B與點D重合，∴∠BMN＝∠NMD=75o，∴∠BMD＝150o，∴∠AMD＝30o，故答案為：30o．【點睛】本題考查了矩形的性質、平行線的性質、折疊的性質，屬于基礎常考題型，難度適中，熟練掌握這些知識的綜合運用是解答的關鍵．十四、填空題14．﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三種情況：①當時，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；②當時，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，∴[x]解析：﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三種情況：①當時，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；②當時，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，∴[x]+（x）+[x）＝0；③當時，[x]＝0，（x）＝1，[x）=0或1，∴[x]+（x）+[x）＝1或2；綜上所述，化簡[x]+（x）+[x）的結果是-2或﹣1或0或1或2.故答案為-2或﹣1或0或1或2.點睛：本題是一道閱讀理解題.讀懂題意并進行分類討論是解題的關鍵.【詳解】請在此輸入詳解！十五、填空題15．（2，0）【分析】根據x軸上點的坐標的特點y=0，計算出m的值，從而得出點P坐標．【詳解】解：∵點P（2m+4，3m+3）在x軸上，∴3m+3=0，∴m=﹣1，∴2m+4=2，∴點P解析：（2，0）【分析】根據x軸上點的坐標的特點y=0，計算出m的值，從而得出點P坐標．【詳解】解：∵點P（2m+4，3m+3）在x軸上，∴3m+3=0，∴m=﹣1，∴2m+4=2，∴點P的坐標為（2，0），故答案為（2，0）．十六、填空題16．（8052，0）．【分析】觀察圖形不難發現，每3個三角形為一個循環組依次循環，用2013除以3，根據商和余數的情況確定出第（2013）個三角形的直角頂點到原點O的距離，然后寫出坐標即可．【詳解解析：（8052，0）．【分析】觀察圖形不難發現，每3個三角形為一個循環組依次循環，用2013除以3，根據商和余數的情況確定出第（2013）個三角形的直角頂點到原點O的距離，然后寫出坐標即可．【詳解】解：∵點A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴第（3）個三角形的直角頂點的坐標是；觀察圖形不難發現，每3個三角形為一個循環組依次循環，∴一次循環橫坐標增加12，∵2013÷3＝671∴第（2013）個三角形是第671組的第三個直角三角形，其直角頂點與第671組的第三個直角三角形頂點重合，∴第（2013）個三角形的直角頂點的坐標是即．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，勾股定理的應用，觀察圖形，發現每3個三角形為一個循環組依次循環是解題的關鍵．十七、解答題17．（1）-1；（2）【分析】（1）根據算數平方根，立方根化簡，然后根據實數的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即解析：（1）-1；（2）【分析】（1）根據算數平方根，立方根化簡，然后根據實數的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即．故答案為（1）-1；（2）．【點睛】本題考查實數的運算及實數的大小比較，熟練掌握平方根和立方根的性質是解題的關鍵．十八、解答題18．（1）；（2）x=5.【詳解】分析：（1）先移項，然后再求平方根即可；（2）先求x-1立方根，再求x即可．詳解：（1），∴；（2），∴x－1=4，∴x=5．點睛：本題考查了立方解析：（1）；（2）x=5.【詳解】分析：（1）先移項，然后再求平方根即可；（2）先求x-1立方根，再求x即可．詳解：（1），∴；（2），∴x－1=4，∴x=5．點睛：本題考查了立方根和平方根的定義和性質，解題時牢記定義是關鍵，此題比較簡單，易于掌握．十九、解答題19．（1）EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）80°．【分析】（1）根據平行線的性質及判定填空即可；（2）由∠E＝∠DCE，∠E＝50°，解析：（1）EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）80°．【分析】（1）根據平行線的性質及判定填空即可；（2）由∠E＝∠DCE，∠E＝50°，可得AB∥CD，∠DCE＝50°，而CE平分∠BCD，即得∠BCD＝100°，故∠B＝80°．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD（兩直線平行，同位角相等），∵∠E＝∠DCE，∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），∴∠D＝∠EAD（兩直線平行，內錯角相等），∴∠B＝∠D；故答案為：EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）解：∵∠E＝∠DCE，∠E＝50°，∴AB∥CD，∠DCE＝50°，∴∠B+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠DCE＝100°，∴∠B＝80°．【點睛】本題考查平行線性質及判定的應用，解題關鍵是要掌握平行線的性質及判定定理，熟練運用它們進行推理和計算．二十、解答題20．（1），，；（2）7；（3）見解析【分析】（1）根據平面直角坐標系中點的位置，即可求解；（2）三角形的面積為長方形面積減去三個直角三角形的面積，即可求解；（3）根據點的平移規則，求得三點坐標解析：（1），，；（2）7；（3）見解析【分析】（1）根據平面直角坐標系中點的位置，即可求解；（2）三角形的面積為長方形面積減去三個直角三角形的面積，即可求解；（3）根據點的平移規則，求得三點坐標，連接對應線段即可．【詳解】解：（1）根據平面直角坐標系中點的位置，可得：，，；（2）三角形的面積；（3）三角形向上平移2個單位，再向左平移1個單位得到三角形可得，，，連接，三角形如圖所示：【點睛】此題考查了平面直角坐標系中點的坐標以及平移，熟練掌握平面直角坐標系中點的坐標以及平移規則是解題的關鍵．二十一、解答題21．（1），;（2）；（3）【分析】（1）根據的范圍確定出、的值；（2）求出，的范圍，即可求出、的值，代入求出即可；（3）將代入中即可求出．【詳解】解：（1），，，，故答案是：，；（解析：（1），;（2）；（3）【分析】（1）根據的范圍確定出、的值；（2）求出，的范圍，即可求出、的值，代入求出即可；（3）將代入中即可求出．【詳解】解：（1），，，，故答案是：，；（2），，，的小數部分為：，的整數部分為：3；故答案是：；（3），，的平方根為：．【點睛】本題考查了估算無理數的大小的應用、求平方根，解題的關鍵是讀懂題意及求出．二十二、解答題22．（1）dm；（2）從節省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據此方案求出小路的寬度為【分析】（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據算術平方根的定義求解即可；（2）根據正方形的周解析：（1）dm；（2）從節省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據此方案求出小路的寬度為【分析】（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據算術平方根的定義求解即可；（2）根據正方形的周長公式以及圓形的周長公式即可求出答案；（3）根據圖形的平移求解．【詳解】解：（1）∵正方體有6個面且每個面都相等，∴正方體的一個面的面積=2dm2．∴正方形的棱長=dm；故答案為：dm；（2）甲方案：設正方形的邊長為xm，則x2=121∴x=11∴正方形的周長為：4x=44m乙方案:設圓的半徑rm為，則r2==121∴r=11∴圓的周長為：2=22m∴442222(2-∵4＞∴2∴∴正方形的周長比圓的周長大故從節省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）依題意可進行如圖所示的平移，設小路的寬度為ym,則（11–y）2=12121∴11–y=10∴y=∵取整數∴y=答：根據此方案求出小路的寬度為；【點睛】本題主要考查的是算術平方根的定義，熟練掌握正方形的性質以及平移的性質是解題的關鍵；二十三、解答題23．（1）說明過程請看解答；（2）說明過程請看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，根據AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，解析：（1）說明過程請看解答；（2）說明過程請看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，根據AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，進而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）圖2中，根據∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，結合（1）的結論即可說明：∠BED=2∠BFD；（3）圖3中，根據∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結合（1）的結論即可說明∠BED與∠BFD之間的數量關系．【詳解】解：（1）如圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，即∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）圖2中，因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=2∠BFD．（3）∠BED=360°-2∠BFD．圖3中，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=360°-2∠BFD．【點睛】本題考查了平行線的性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．二十四、解答題24．（1）②③；（2）相等，理由見解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【分析】（1）根據平行線的判定和性質分別判定即可；（2）利用角的和差，結合∠CAB=∠DAE=90°進行判斷解析：（1）②③；（2）相等，理由見解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【分析】（1）根據平行線的判定和性質分別判定即可；（2）利用角的和差，結合∠CAB=∠DAE=90°進行判斷；（3）依據這兩塊三角尺各有一條邊互相平行，分五種情況討論，即可得到∠EAB角度所有可能的值．【詳解】解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，∴∠BAD=105°-30°=75°，∴∠BAD≠∠B，∴BC和AD不平行，故①錯誤；②∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正確；③若BC∥AD，則∠BAD=∠B=45°，∴∠BAE=45°，即AB平分∠EAD，故③正確；故答案為：②③；（2）相等，理由是：∵∠CAD=150°，∴∠BAE=180°-150°=30°，∴∠BAD=60°，∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；（3）若AC∥DE，則∠CAE=∠E=60°，∴∠EAB=90°-60°=30°；若BC∥AD，則∠B=∠BAD=45°，∴∠EAB=45°；若BC∥DE，則∠E=∠AFB=60°，∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；若AB∥DE，則∠D=∠DAB=30°，∴∠EAB=30°+90°=120°；若AE∥BC，則∠C=∠CAE=45°，∴∠EAB=45°+90°=135°；綜上：∠EAB的度數可能為30°或45°或75°或120°或135°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，解題的關鍵是理解題意，分情況畫出圖形，學會用分類討論的思想思考問題．二十五、解答題25．（1）∠AEB的大小不會發生變化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠