第十二章全等三角形12.2

三角形全等的判定第4課時三角形的全等的判定（四）（HL）

學習目標-新課導入-新知探究-課堂小結-課堂訓練

學習目標1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點）2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．（重點）

新課導入復習引入

1.回顧我們已經學習過的判定三角形全等的四個定理.①邊邊邊(SSS):三邊分別相等的兩個三角形全等.該判定定理的幾何語言：在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

AB=A'B'，

BC=B'C'，

CA=C'A'，

新課導入復習引入②邊角邊(SAS）:兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）.

AB=A'B'，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，該判定定理的幾何語言：

新課導入復習引入③角邊角(ASA）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

∠C=∠C′，該判定定理的幾何語言：

新課導入復習引入④角角邊（AAS）：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）.

∠A=∠A′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

該判定定理的幾何語言：

新課導入復習引入

2.我們已經總結過的找相等邊的方法.

③等邊加（減）同邊，其和（差）還是等邊.

①公共邊.②正多邊形的邊相等.④等邊減等邊，其差還是等邊.

新課導入復習引入3.我們已經總結過的找相等角的方法.①利用平行線找同位角或內錯角.②對頂角.③等角加（減）同角，其和（差）還是等角.④等角的補（余）角相等.⑤正多邊形的內角相等.

新知探究

知識點

“HL”證全等

思考

對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？結合剛才復習的判定三角形全等的方法想一想吧！

新知探究C′ABCB′A′┐┐1.對于兩個直角三角形中，滿足一直角邊及其相對的銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？你的判定根據是什么？全等，根據“AAS”.

知識點

“HL”證全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐2.對于兩個直角三角形中，滿足一直角邊及其相鄰的銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？你的判定根據是什么？全等，根據“ASA”.

知識點

“HL”證全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐3.對于兩個直角三角形中，滿足兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？你的判定根據是什么？全等，根據“SAS”.

知識點

“HL”證全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐4.對于兩個直角三角形中，滿足斜邊和一銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？你的判定根據是什么？全等，根據“AAS”.

知識點

“HL”證全等

新知探究C′ABCB′A′┐┐我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.那么滿足該條件的直角三角形是不是就不全等呢？

知識點

“HL”證全等對于兩個直角三角形中，滿足斜邊和一條直角邊對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？

新知探究

探究

任意畫出一個Rt△ABC，使∠C=90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放在Rt△ABC上，它們全等嗎？動手試一試

知識點

“HL”證全等ABC

新知探究作法：（1）畫∠MC′N=90°；M

C′NABC（2）在射線C′M上截取B′C′=BC；B′

知識點

“HL”證全等

新知探究作法：（3）以點B′為圓心，AB長為半徑畫弧，交射線C′N于點A′；（4）連接A′B′.M

C′NABCB′A′

知識點

“HL”證全等

新知探究思考

①

△A′B′C′

與△ABC全等嗎？②這兩個三角形全等滿足的是哪三個條件？全等直角、斜邊和一條直角邊M

C′NABCB′A′

知識點

“HL”證全等

新知探究斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.該基本事實可以用來判定兩個直角三角形全等

知識點

“HL”證全等

新知探究在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.

AC=A′C′，

BC=B′C′，

該判定定理的幾何語言：用“HL”證明兩個直角三角形全等的注意事項：C′ABCB′A′┐┐①應用“HL”的前提條件是在直角三角形中；②書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”;③書寫條件時，先寫斜邊（H），再寫直角邊（L）.

知識點

“HL”證全等

新知探究

知識點

“HL”證全等已知條件需尋找的條件判定方法一銳角對應相等直角與已知銳角的夾邊對應相等與銳角（或直角）的對邊對應相等斜邊對應相等一直角邊對應相等一銳角對應相等一直角邊對應相等斜邊對應相等已知邊相鄰的銳角對應相等已知邊所對的銳角對應相等ASAAASHLAASHLASAAAS

新知探究例

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證：BC=AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴BC=AD.DABC

知識點

“HL”證全等跟蹤訓練

新知探究如圖，∠ACB=∠ADB=90°，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應的括號內填寫出判定它們全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）

DABCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS

課堂小結三角形的全等的判定（四）（HL）斜邊、直角邊（HL）內容斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等前提條件是在直角三角形中；書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”；書寫條件時，先寫斜邊（H），再寫直角邊（L）.注意事項根據已知條件選擇適合證明兩個直角三角形全等的方法隱含條件：兩直角相等

課堂訓練1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,以下結論:(1)△ABD≌△ACD;(2)BD=CD;(3)∠B=∠C;(4)AD是△ABC的一條角平分線.其中正確的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

D

課堂訓練2.（2021?上海二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列條件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°C【解析】∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴A.由BC＝B′C′可根據“SSS”判定；B.由∠A＝∠A′可根據“SAS”判定；C.由∠C＝∠C′不可判定，因為沒有“SSA”；D.由∠B＝∠B′＝90°可根據“HL”判定．故選C．

課堂訓練3.（2021?北京一模）如圖，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一個條件即可證明△ABC≌△ADC，這個條件可以是

．（寫出一個即可）【解析】∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°．∵AC＝AC（公共邊），∴當添加CB＝CD或AB＝AD時，則可根據“HL”判斷；當添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC時，則可根據“AAS”判斷．故答案為CB＝CD或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC（選擇其中一個條件即可）．

課堂訓練4.（2021?西安模擬）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別在AB，CD上，且AE＝CF，分別過點A，C向EF作垂線，垂足分別為點G，H，且AG＝CH．求證：AB∥CD．證明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G＝∠H＝90°.在Rt△AGE和Rt△CHF中，

∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL）.,,

課堂訓練4.（2021?西安模擬）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別在AB，CD上，且AE＝CF，分別過點A，C向EF作垂線，垂足分別為點G，H，且AG＝CH．求證：AB∥CD．∴∠AEG＝∠CFH.∵∠AEG＝∠BEF，∴∠BEF＝∠CFH.∴AB∥CD．

課堂訓練5.（2021?佛山一模）如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M，N，且BM＝AN．（1）求證△AMB≌△CNA；證明：∵BM⊥直線l，CN⊥直線l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°.在Rt△AMB和Rt△CNA中，

∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；,,

課堂訓練5.（2021?佛山一模）如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M，N，且BM＝AN．（2）求證∠BAC＝90°．解：由（1），知Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN.∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°.∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．

課堂訓練6.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB=∠AFB=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，

AD＝AF，

AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.

課堂訓練6.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.在Rt△ABD和Rt△ABF中，

AD＝AF，

AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.

課堂訓練7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD,CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的長.證明：∵AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，∴∠AEH=∠CEB=∠CDH=90°.又∠AHE=∠CHD，∴∠EAH=∠ECB.在△EAH和△ECB中，

∠EAH=∠BCE，

∠AEH=∠CEB,

EH＝EB，

課堂訓練7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD,CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的長.∴△EAH≌△ECB(AAS)．∴AE＝CE,則CE=4.∴CH=C