1、第七章第七章 數學物理方程定解問題數學物理方程定解問題7.2 7.2 定解條件定解條件7.3 7.3 數學物理方程的分類數學物理方程的分類( (自學）自學）7.1 7.1 三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出第二篇第二篇 數學物理方程數學物理方程7.4 7.4 達朗貝公式、定解問題達朗貝公式、定解問題（一）、梯度（一）、梯度矢量矢量zkyjxi令令7.1 7.1 三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有時記有時記22222yx2222223zyx記記22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）、三

2、類數學物理方程的導出（二）、三類數學物理方程的導出1 1、弦的橫振動、弦的橫振動xx+ x1T2T1M2M12),(txFxydsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu考慮小振動考慮小振動xx+ x1T2T1M2M12xy22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(xx+ x1T2T1M2M12xyttxxdxxxdxuuuT)

3、(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau記記例：一長為例：一長為l的均勻柔軟的均勻柔軟輕繩輕繩，其一端固定在豎直軸上，其一端固定在豎直軸上，繩子以角速度繩子以角速度 轉動，試推導此繩相對于水平線的橫轉動，試推導此繩相對于水平線的橫振動方程振動方程xx+ x1T2T1M2M12xydxdm弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)xy lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT2lxxdxxTlT2)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(lxxd

4、xxT2)()(21222xlttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222220)(21222xttuxlxu整理得：整理得：2 2、均勻桿的縱振動、均勻桿的縱振動將細桿分成許多段將細桿分成許多段t時刻，時刻，A段伸長段伸長),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt時刻，時刻，B段伸長段伸長相對伸長相對伸長dxtxutdxxu),(),(xu事實上，相對伸長事實上，相對伸長是位置的函數，如是位置的函數，如xxudxxxu相對伸長相對伸長由虎克定律，由虎克定律，B兩端的兩端的張應力（單位橫截面張應力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為x

5、xudxxxuxxuYdxxxuYB段運動方程為段運動方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段運動段運動方程為方程為ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 202xxttuau記記22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3、擴散方程、擴散方程由于濃度不同引起的分子運動由于濃度不同引起的分子運動uDq擴散流強度擴散流強度q ，即單位，即單位 時間內流時間內流過單位面積的分子數或質量，與過單位面積的分子數或質量，與濃度濃度 u(單位體積內的粒子數）單位體積內的粒子數） 的的下降成正比下降成正

6、比 D 為擴散系數為擴散系數)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqz 負號表擴散方向負號表擴散方向與濃度梯度相反與濃度梯度相反nuDq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqz),(zyxxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 時間時間流流入六面體的流量為入六面體的流量為流出六面體的流量為流出六面體的流量為dydzdtqdxxxdydzdtqxx x方向左表面，單位時間方向左表面，單位時間流入六面體的流量為流入六面體的流量為單位時間流出六面體的流量為單位時間流出六面體的流量為dydzdtqdxxx凈流入量為凈流入量為dydzdtqdydzqdxxxxxd

7、ydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內無源和匯如立方體內無源和匯dxdydzuutdtt)(dt時間內粒子增加數為時間內粒子增加數為dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydz

8、dttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一維一維02uaut02xxtuau若單位時間內單位體積中產生的粒子數為若單位時間內單位體積中產生的粒子數為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無關無關),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若單位時間內單位體積中產生的粒子數為若單位時間內單位體積中產生的粒子數為 b2u ubuaut22022ubuaut3、熱傳導方程、熱傳導方程),(),

9、()(txuttxuxAcQ0t設有一根恒截面為設有一根恒截面為A的均勻細桿，沿桿長有溫度差，的均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側面絕熱其側面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時刻溫度，時刻溫度， 為桿密度為桿密度xxx+ x （1）、）、dt 時間時間內引起小段內引起小段 x溫溫度升高所需熱量度升高所需熱量為為txAucQtxxx+ x （2）、）、Furier s實驗定理：單位實驗定理：單位 時間內流過單位時間內流過單位面積的熱量面積的熱量 q (熱熱流強度量）流強度量）與溫與溫度的下降成正比度的下降成正比nnukq k 為熱傳導系數為熱傳導系數 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqx

10、nukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 時間時間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體的熱量為dt 時間時間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 時間凈流時間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka24 4、泊松方程、泊松方程電通量的高斯定理電通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V稱為泊松方程稱為泊松方程02/V稱為泊松方程稱為泊松方程稱為稱為 Laplace La

11、place 方程方程002V),(2tzyxFuaut對于對于穩定濃度分布有穩定濃度分布有0tu),(),(zyxFtzyxF2/ ),(azyxFu為泊松方程為泊松方程0),(zyxF0u為為 Laplace Laplace 方程方程5 5、穩定濃度分布、穩定濃度分布和和若若若若7.2 7.2 定解條件定解條件對于輸運方程對于輸運方程（一）、初始條件（一）、初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt對于弦振動方程對于弦振動方程02uautt初始條初始條件要求件要求已知已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移滿足

12、位移滿足速度滿足速度滿足x=l / 2xyx=lhx00)(ttxu0),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足2/, 0)/2(lxlh, 2/)(2llxllh（二）、邊界條件（二）、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊第一類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊第二類邊界條件界條件第三類邊第三類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點位移端點位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0

13、),(lxtxu（1 1）、第一類邊界條件）、第一類邊界條件如細桿熱傳導端點溫度如細桿熱傳導端點溫度l0 x00),(utxuxllxutxu),(（如擴散端點濃度）（如擴散端點濃度）A）、如細）、如細桿的縱振動，桿的縱振動，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二類邊界條件）、第二類邊界條件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細桿熱傳導端如細桿熱傳導端點有熱量流出點有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細桿熱傳導端如細桿熱傳導端點有熱量流入點有熱量流入axa

14、xxxukq)(tfB B）、熱傳導）、熱傳導axxuk0 xa如細桿熱傳導，如細桿熱傳導，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axuh則熱流強度與桿端則熱流強度與桿端 u|x=a 和周圍介質溫度和周圍介質溫度 差有關系差有關系axaxxnukq（3 3）、第三類邊界條件）、第三類邊界條件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xahkH/x=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）、銜接條件（三）、銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txut

15、xu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu例：半徑為例：半徑為a,表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，陽光的方向垂直于柱軸，熱流強度為陽光的方向垂直于柱軸，熱流強度為M，寫出熱傳導的，寫出熱傳導的邊界條件。邊界條件。dSdtMQsin1解：解：xy陽光照射，陽光照射，流出流出圓柱的熱量為圓柱的熱量為dS由于溫度梯度，由于溫度梯度，流出流出圓柱的熱流為圓柱的熱流為dSdtkuQan2dtdSukadSdtMQsin1xy設柱面外溫度為設柱面外溫

16、度為u0dtdSukQa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律dSdtuuhQQa)(021dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0令令kMm khH 0sin)(HumHuua0)(HuHuua02dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0當當M=0，m=0 xy例：一根導熱桿由兩段構成，兩段例：一根導熱桿由兩段構成，兩段熱傳導系數、比熱、密熱傳導系數、比熱、密度分別為度分別為kI, cI, I, kII, cII, II, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫出熱傳導問題的定解方程。溫度為零，寫出熱傳導問題的定解方程。

17、解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達朗貝公式、定解問題達朗貝公式、定解問題（一）、（一）、 達朗貝公式達朗貝公式02xxttuau考慮弦的振動方程考慮弦的振動方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatx

18、atx02u對對 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a a沿沿x x正負方向的行波正負方向的行波函數函數 f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問題考慮定解問題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatxfu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導有求導有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)

19、()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),()cos(),(00ttttxuxtxu例：求定例：求定解問題解問題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例：求定解問題例：求定解問題)(),(0 xtxut1

20、2102xxxxu12202xxxxu02211xxxx2212xxxx21,xxxx)()(21),(atxatxtxu1x2x0u)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt例：求一端固定弦的振動情況例：求一端固定弦的振動情況（反射波定解問題）（反射波定解問題）)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始條件代入初始條件O Ox（二）、端點反射（二）、端點反射2)(21)(

21、21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)0( x)0( x代入邊界條件代入邊界條件0)()(21atfatf)0(at令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x2)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02Cdaatxatxftaxx（1）、）、x at, 即即 x - at 0taxtaxdaatxatxu)(21)()(212)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(210Cdaxatxtax（2）、）、x at, 即即 x -at 0taxxtadaxatatxu)(

22、21)()(21)()(22xatfatxf)(1xatf)()(12xfxf)0( xtaxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 物理意義：物理意義：為討論方便計設初速為為討論方便計設初速為0 00)(xaxt . 1解與達朗貝爾解一致，說明端點的解與達朗貝爾解一致，說明端點的影響未傳到。影響未傳到。axt . 2)(21)(21xatatxu)(21)(21xatatxuO Ox)(atx )(xat )(atx )(xat )(21)(210atatux0 x =0處處為波節。為波節。x =0處處入射波與反射

23、波位相相反，有半波損失入射波與反射波位相相反，有半波損失。為入射波。為入射波。為反射波。為反射波。（三）、延拓（三）、延拓02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux)()(12xfxf)0( x半無限長問題半無限長問題求解中有求解中有0),(0 xtxu提示無限長桿提示無限長桿u(x,t)是奇函數是奇函數提示無限長桿初始位移提示無限長桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函數是奇函數)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxa

24、txu)(21)()(21)(axt 稱為稱為沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdada)(axt 00)(21)(21)()(21xtataxdadaxatatxu00)(21)(21xtataxdadataxxatdaxatatx)(21)()(21taxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0

25、(0),(0ttxuxx例：求解半無限長問題例：求解半無限長問題桿端點自由，桿端點自由，相對伸長量相對伸長量為為0 0提示無限長桿提示無限長桿u(x,t)是偶函數是偶函數提示無限長桿初始位移提示無限長桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函數是偶函數)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtata

26、xdadaxtada0)(21)(axt taxdaxatatxu0)(21)()(21xtataxdada00)(21)(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求例：求定解問定解問題題考慮初始條件與半無限考慮初始條件與半無限長，這一擾動產生的波長，這一擾動產生的波沿沿x正向正向)(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中0atx若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin

27、(aatxA)(sinaxtA)0(00tux)(sinaxtA),(txu0axt/axt/（四）、達朗貝解的適定性（四）、達朗貝解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有直到二階導數，有直到二階導數， (x)有直到一階導數，有直到一階導數，達朗貝解存在達朗貝解存在1 1、達朗貝解的存在性、達朗貝解的存在性2 2、達朗貝解的穩定性、達朗貝解的穩定性)(2x0),(ttxu)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x)()(21xx)()(21xxtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21)()(212121atxatxuu)()(2121atxatxtaxtaxda)()(2121taxtaxda212121)1 (t達朗貝解的穩定達朗貝解的穩定解：解