專題01分式重難點專練（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列分式中不是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據最簡分式的定義逐一判斷即可.【詳解】解：A.分子分母沒有公因式，不能約分，所以它是最簡分式，故A選項不符合題意；B.是最簡分式，故B選項不符合題意；C.==,故C選項符合題意;D.是最簡分式,故D選項不符合題意.故應選C.【點睛】本題考查了最簡分式的概念及分式的化簡,掌握相關知識是解題的關鍵.2．若分式的值總是正數，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分兩種情況分析:當時;或當時,,再分別解不等式可得．【詳解】若分式的值總是正數：當時，，解得;當時，，解得，此時a的取值范圍是;所以的取值范圍是或.故選：D．【點睛】考核知識點：分式值的正負.理解分式取值的條件是解的關鍵點：分式分子和分母的值同號，分式的值為正數．3．下列代數式中，最簡分式的個數有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據最簡分式的定義對每項進行判斷即可．【詳解】，不是最簡分式；，不是最簡分式；，是最簡分式；，不是最簡分式；，不是分式；∴最簡分式的個數有1個故答案為：A．【點睛】本題考查了最簡分式的問題，掌握最簡分式的定義是解題的關鍵．4．下列各式中是最簡分式的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據最簡分式的定義，只要判斷出分子分母是否有公因式即可．【詳解】A、該分式的分子分母中含有公因式（x﹣5），不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、該分式符合最簡分式的定義，故本選項符合題意；C、該分式的分子分母中含有公因式（a﹣b），不是最簡分式，故本選項不符合題意；D、該分式的分子分母中含有公因數4，不是最簡分式，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．5．下列變形從左到右一定正確的是()．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式的基本性質依次計算各項后即可解答．【詳解】選項A，根據分式的基本性質，分式的分子和分母都乘以或除以同一個不是0的整式，分式的值不變，分式的分子和分母都減去2不一定成立，選項A錯誤；選項B，當c≠0時，等式才成立，即，選項B錯誤；選項C，隱含著x≠0，由等式的右邊分式的分子和分母都除以x，根據分式的基本性質得出，選項C正確；選項D，當a=2，b=3時，左邊≠右邊，選項D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了分式的基本性質的應用，主要檢查學生能否正確運用性質進行變形，熟練運用分式的基本性質是解決問題的關鍵．6．下列分式是最簡分式的是（）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】直接利用最簡分式的定義進而判斷得出答案．【詳解】A、=，不是最簡分式，不合題意；B、=，不是最簡分式，不合題意；C、無法化簡，是最簡分式，符合題意；D、=，不是最簡分式，不合題意.故選：C【點睛】此題主要考查了最簡分式，正確把握最簡分式的定義是解題關鍵．7．下列式子正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式的基本性質，即可解答．【詳解】A．分子乘以b，分母乘以a，所以，故A錯誤；B．1，故B錯誤；C．1，故C正確；D．，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了分式的基本性質，解決本題的關鍵是熟記分式的基本性質．8．若分式的值為0，則x的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．0【答案】A【分析】根據分式的值為零的條件可以求出x的值．【詳解】解：根據題意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故選：A．【點睛】若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．9．分式有意義的條件是（）A．x≠3 B．x≠9 C．x≠±3 D．x≠﹣3【答案】C【分析】根據分式有意義的條件是分母不等于零列出關于x的不等式，解之可得．【詳解】解：當x2﹣9≠0時，分式有意義，由x2﹣9≠0得：x2≠9，則x≠±3，故選：C．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，解題的關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．10．在代數式，，，中，分式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據分式的定義逐個判斷即可得．【詳解】常數是單項式，是多項式，和都是分式，綜上，分式有2個，故選：B．【點睛】本題考查了分式的定義，掌握理解分式的定義是解題關鍵．11．下列變形不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】答題首先清楚分式的基本性質，然后對各選項進行判斷．【詳解】解：A、，故A不正確；B、，故B正確；C、，故C正確；D、，故D正確．故答案為：A．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題的關鍵．12．下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分式的基本性質變形化簡得出答案．【詳解】A．，從左邊到右邊是分子和分母同時平方，不一定相等，故錯誤；B．，從左邊到右邊分子和分母同時減1，不一定相等，故錯誤；C．，從左邊到右邊分子和分母同時除以，分式的值不變，故正確；D．，從左邊到右邊分子和分母的部分同時乘以3，不一定相等，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查分式的性質．熟記分式的性質是解題關鍵，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．13．張華在一次數學活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結論，推導出“式子的最小值是”．其推導方法如下：在面積是的矩形中設矩形的一邊長為，則另一邊長是，矩形的周長是；當矩形成為正方形時，就有，解得，這時矩形的周長最小，因此的最小值是．模仿張華的推導，你求得式子的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】在面積是4的矩形中，設矩形的一邊長為x，則另一邊是，矩形的周長是2（x+），當矩形成為正方形時，就有x=，解得x=2，這時矩形的周長2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，而=x+，所以的最小值是4.故選B.點睛：本題關鍵在于理解已知結論的推導過程.14．如果m為整數，那么使分式的值為整數的m的值有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】分式，討論就可以了，即是2的約數即可完成.【詳解】∵若原分式的值為整數，那么由得，；由得，；由得，；由得，；∴，共4個故選C【點睛】本題主要考查分式的值，熟練掌握相關知識點并全面討論是解題關鍵.15．已知：，，，，……，若（a、b為正整數）符合前面式子的規律，則a+b的值是（）．A．109 B．218 C．326 D．436【答案】A【分析】通過觀察已知式子可得分子與第一個加數相同，分母等于分子的平方減1，即可求解．【詳解】解：由，，，，……，可知分子與第一個加數相同，分母等于分子的平方減1，∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，∴a＋b＝109，故選：A．【點睛】本題考查數字的變化規律；能夠通過所給例子，找到式子的規律是解題的關鍵．16．若是整數，則使分式的值為整數的值有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先將假分式分離可得出，根據題意只需是6的整數約數即可．【詳解】解：由題意可知，是6的整數約數，∴解得：，其中x的值為整數有：共4個．故選：C．【點睛】本題考查的知識點是分式的值是整數的條件，分離假分式是解此題的關鍵，通過分離假分式得到，從而使問題簡單．二、填空題17．如果，那么的值是______．【答案】0【分析】先將分式方程每一部分的分母通分，然后觀察方程的左邊和右邊，使方程兩邊的分子部分相同即可解決.【詳解】解：所以，故答案是：0【點睛】本題考查了分式通分，將方程兩邊變為同分母，然后比較分子得出結論是解決本題的關鍵.18．若分式的值為零，則的值為______________.【答案】2【分析】根據分式的值為零的條件可以求出x的值．【詳解】解：由分式的值為零的條件得2=0，x22x8≠0，

∴x=2且x≠4且x≠2，

∴x=2時，分式的值為0，

故答案為2．【點睛】本題考查了分式值為0的條件，若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．19．若，則分式的值為_________．【答案】【分析】根據分式基本性質，分子和分母同時除以xy可得．【詳解】若則故答案為：【點睛】考核知識點：分式基本性質運用．熟練運用分式基本性質是關鍵．20．當_________時，分式的值為0．【答案】【分析】分式有意義的條件是分母不為0；分式的值是0的條件是分母≠0且分子=0．【詳解】若分式的值為0，

則2x≠0且=0，

即x=2．故答案為:2．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件：當分母不為0時，分式有意義，并考查了分式值是0的條件．21．如果分式值為零，那么_________．【答案】【分析】根據分式的值為零，可得且，求解即可．【詳解】∵∴且∴且∴且∴故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的問題，掌握解分式方程的方法是解題的關鍵．22．分式中的同時擴大為原來的倍，則分式的值擴大為原來的_____________倍．【答案】3【分析】將同時擴大為原來的倍得到，與進行比較即可．【詳解】分式中的同時擴大為原來的倍，可得故答案為：3．【點睛】本題考查了分式的運算，掌握分式的運算法則是解題的關鍵．23．已知，則__________．【答案】3【分析】將兩邊同時除以x，即可得出答案．【詳解】解：∵∴兩邊同時除以x．,得：∴故答案為：3【點睛】本題考查了代數式求值，利用分式的性質，兩邊同時除以x，將式子進行變形是解題的關鍵．24．下列各式中，最簡分式有_____個．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】1．【分析】根據最簡分式的定義，只要判斷出分子分母是否有公因式即可．【詳解】①符合最簡分式的定義，符合題意．②的分子、分母中含有公因數2，不是最簡分式，不符合題意；③⑤不是分式，不符合題意；④的分子、分母中含有公因式（5+2a），不是最簡分式，不符合題意；⑥的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最簡分式，不符合題意；故答案為：1．【點睛】此題考查了最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．25．當x_____________時，分式的值為0；【答案】=－1【解析】由題意得：x+1=0，且x2x≠0，解得：x=1，故答案為=1.26．當x=__________時，分式的值為零.【答案】1【分析】根據分式的解為0的條件，即可得到答案.【詳解】解：∵分式的值為零，∴，解得：，∴；故答案為：.【點睛】本題主要考查分式的值為0的條件，由于該類型的題易忽略分母不為0這個條件，所以常以這個知識點來命題．27．當______時，分式的值為0.【答案】3【分析】根據分式的值為零的條件可以求出的值．【詳解】由分式的值為零的條件得，，

由，得，

∴或，

由，得．

綜上，得．

故答案是：．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．28．如果分式的值為零，那么x＝________．【答案】1【分析】根據分式的值為零可得，解方程即可得．【詳解】由題意得：，解得，分式的分母不能為零，，解得，符合題意，故答案為：1．【點睛】本題考查了分式的值為零，正確求出分式的值和掌握分式有意義的條件是解題關鍵．29．要使分式有意義，那么x應滿足的條件是________．【答案】【分析】根據分式有意義的條件是分母不等于零可得答案．【詳解】由題意得：，

解得：，

故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．30．已知，那么________．【答案】【分析】將變形為=5a，根據完全平方公式將原式的分母變形后代入=5a，即可得到答案．【詳解】∵，∴=5a，∴

故答案為：．【點睛】此題考查分式的化簡求值，完全平方公式，根據已知等式變形為=5a，將所求代數式的分母變形為形式，再代入計算是解題的關鍵．31．化簡：＝_____．【答案】【分析】直接利用分式的性質化簡得出答案．【詳解】解：＝＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了分式的化簡，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵．32．已知:滿足方程,則代數式的值是_____.【答案】【解析】因為，則.故答案：.33．下列結論：①不論為何值時都有意義；②時，分式的值為0；③若的值為負，則的取值范圍是；④若有意義，則x的取值范圍是x≠﹣2且x≠0．其中正確的是________【答案】①③【解析】【分析】根據分式有意義的條件對各式進行逐一分析即可．【詳解】①正確．∵a不論為何值不論a2+2＞0，∴不論a為何值都有意義；②錯誤．∵當a=﹣1時，a2﹣1=1﹣1=0，此時分式無意義，∴此結論錯誤；③正確．∵若的值為負，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此結論正確；④錯誤，根據分式成立的意義及除數不能為0的條件可知，若有意義，則x的取值范圍是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此結論錯誤．故答案為：①③．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，解答此題要注意④中除數不能為0，否則會造成誤解．34．已知，則_______.【答案】【解析】【分析】先根據絕對值的非負性求出a和b的值，代入代數式中根據分數的性質對原式進行變形即可求出答案.【詳解】∵，所以，∴a=1，b=2，∴原式====【點睛】本題考查非負數的性質，絕對值.本題解題關鍵有兩個，①任意數的絕對值都大于或等于0，而兩個非負數（或式）的和要等于0，那么這兩個數（或式）都要為0；②注意分數的等量變形.35．端午節前后，人們除了吃粽子、插艾葉以外，還會佩減香囊以避邪驅瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“樂群”香囊、“創造”香囊三種產品，所有香囊的外包裝都由回收材料制成，不計成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾葉，“樂群”香囊的里料是10克艾葉和20克薄荷，“創造”香囊的里料是20克艾葉和20克薄荷．端午節當天，店長發現“樂群”香囊的銷量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊與“樂群”香囊的利潤和是“創造”香囊利潤的倍，當天的總利潤率是50%．第二天店內促銷，“求真”香囊、“樂群”香囊的售價均不變，“創造”香囊的售價打八折，當三種產品的銷量分別與前一天相同時，總利潤率為___________．【答案】【分析】設艾葉成本價為a元，利潤率為x，薄荷成本價為b元，利潤率為y，端午節當天“求真”香囊的銷量為m件，則“樂群”香囊的銷量為件，“創造”香囊的銷量為件，先根據利潤倍數關系可求出，再根據端午節當天的總利潤率可得，然后根據新的售價和銷量列出總利潤率的計算式子，化簡求值即可得．【詳解】設艾葉成本價為a元，利潤率為x，薄荷成本價為b元，利潤率為y，端午節當天“求真”香囊的銷量為m件，則“樂群”香囊的銷量為件，“創造”香囊的銷量為件，“求真”香囊與“樂群”香囊的利潤和是“創造”香囊利潤的倍，，整理得：，端午節當天的總利潤率是，，即，整理得：，第二天店內促銷，“求真”香囊、“樂群”香囊的售價均不變，“創造”香囊的售價打八折，且三種產品的銷量分別與前一天相同，第二天總利潤率為，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了分式求值，依據題意，正確設立未知數得出已知等式和所求分式是解題關鍵．36．若，．則的值為______【答案】【分析】先由題意2x?y+4z=0，4x+3y?2z=0，得出用含x的式子分別表示y，z，然后帶入要求的式中，化簡便可求出.【詳解】2xy+4z=0①，4x+3y2z=0②，將②×2得:8x+6y4z=0③．①+③得:10x+5y=0，∴y=2x，將y=2x代入①中得:2x(2x)+4z=0∴z=x將y=2x，z=x，代入上式=

=

==

故答案為：【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是根據題目，得出用含x的式子表示y，z.本題較難，要學會靈活化簡.三、解答題37．計算：．（結果用正整數指數冪的形式表示）【答案】【分析】根據冪的乘方法則是底數不變，指數相乘，負指數次可以把底數變為原來的倒數.負指數變為正的，最后將式子化成最簡.【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了冪的乘方和負指數冪的預算，解決本題的關鍵是熟練掌握冪的乘方運算和負指數冪的運算法則.38．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根據分式的除法運算法則計算即可；（2）將分式的分子、分母約去相同的因式即可；（3）將分式的分子、分母分別因式分解后約去相同的因式即可；（4）將分式的分母因式分解后約去相同的因式即可；（5）將分式的分子、分母分別應用分組分解法因式分解后約去相同的因式即可；（6）將分式的分母因式分解后約去相同的因式即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）．【點睛】本題主要考查了分式加減乘除混合運算，解題的關鍵是對分式的分子與分母分別因式分解，然后約去公因式，分式的約分是分式運算的基礎，應重點掌握．39．對于正數x，規定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并證明你的結論；（3）求值：．【答案】（1），，1；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）根據給出的規定計算即可；（2）根據給出的規定證明；（3）運用加法的交換律結合律，再根據規定的運算可求得結果．【詳解】解：（1）=，=，,+=1，（2），理由為：，則．（3）原式．【點睛】本題考查的是分式的加減，根據題意找出規律是解答此題的關鍵．40．先化簡：，再選一個你喜歡的數代入并求值．【答案】,.【解析】【分析】根據分式的混合運算，先算括號里面的，再算除法，然后取一個分式有意義的數值代入求解即可.【詳解】解：原式，

，1，，

時，原式．【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值，把分式通分、約分進行化簡是關鍵，代入求值時，代入的數值必須讓分式有意義，容易出錯.41．已知＝，求2a－3b的值．【答案】0【詳解】試題分析：根據分式的基本性質，約去分子分母的公因式，得到a、b的關系，然后代入求值即可.試題解析：原式＝＝，∴2a＝3b，∴2a－3b＝0.42．若＝＝≠0，求的值．【答案】【詳解】試題分析：根據比例的基本性質，設出參數，直接代入可求解.試題解析：設a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，∴＝＝.43．為進一步落實《中華人民共和國民辦教育促進法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發展基金會，其中一部分作為獎金發給了n所民辦學校．獎金分配方案如下：首先將n所民辦學校按去年完成教育、教學工作業績（假設工作業績均不相同）從高到低，由1到n排序，第1所民辦學校得獎金元，然后再將余額除以n發給第2所民辦學校，按此方法將獎金逐一發給了n所民辦學校．（1）請用n、b分別表示第2所、第3所民辦學校得到的獎金；（2）設第k所民辦學校所得到的獎金為元（1），試用k、n和b表示（不必證明）；（3）比較和的大?。╧=1，2，……，），并解釋此結果關于獎金分配原則的實際意義．【答案】（1）,；（2）；（3）．獎金分配的實際意義：名次越靠后，獎金越少．【解析】【試題分析】（1）根據第1所民辦學校得獎金元，然后再將余額除以n發給第2所民辦學校，得：（2）根據（1）中的兩個式子，；（3），，則，則.獎金分配的實際意義：名次越靠后，獎金越少.【試題解析】（1）根據題意得：（2）根據（1）中的兩個式子，（3），，則，則.獎金分配的實際意義：名次越靠后，獎金越少.【方法點睛】本題目是一道分式的實際應用問題，第一個問題有難度，依據獎金的分配規則，寫出的表達式；第二問在第一問的基礎上，找出規律，直接寫出的表達式即可；第三問用作差法比較兩個分式的大小，若差為正數，則被減數大于減數；若差為0，則被減數等于減數；若差為負數，則被減數小于減數.44．已知分式（1）當x取什么值時，分式有意義？（2）當x取什么值時，分式為零？（3）當x取什么值時，分式的值為負數？【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3【解析】【分析】（1）根據分式有意義的條件即可求出答案．（2）根據分式值為零的條件是：分子等于零且分母不等于零。（3）根據分子和分母異號時值為負數．【詳解】（1）∵分式有意義，∴x+30，∴x3，∴當x3時，分式有意義。（2）∵分式.的值為零，∴218=0且x+30，∴x=3，∴當x=3時，分式為零。（3）∵=2（x3），∵分式.的值為負數，∴2（x3）0且x+30∴x＜3且x≠－3，∴當x＜3且x≠－3時，分式.的值為負數?！军c睛】本題主要考查的是分式的值，熟練掌握分式有意義的條件，分式值為零的條件，以及分式為正數和負數的條件是解題關鍵．45．給定下面一列分式：，，，．．．，（其中）（1）把任意一個分式除以前面一個分式，你發現了什么規律？（2）根據你發現的規律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式．【答案】（1）規律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于；（2）第7個分式應該是【解析】【分析】（1）將任意一個分式除以前面一個分式，可得出規律．

（2）由（1）可知任意一個分式除以前面一個分式恒等于一個代數式，由此可得出第7個分式．【詳解】解：（1）第二個分式除以第一個分式得，第三個分式除以第二個分式得，

同理，第四個分式除以第三個分式也是．故規律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于；

（2）由（1）可知該第7個分式應該是×()6=．【點睛】本題考查了數字的變化類的相關知識，根據題干的規律找到一般表達式是解題的關鍵，難度中等．46．在初中數學學習階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．例：已知：，求代數式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸雲怠発”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當變形解決問題．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則根據材料回答問題：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．【答案】（1）5；（2）；（3）【分析】（1）仿照材料一，取倒數，再約分，利用等式的性質求解即可；（2）仿照材料二，設＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本題介紹兩種解法：解法一：（3）解法一：設＝＝＝（k≠0），化簡得：①，②，③，相加變形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，從而得結論；解法二：取倒數得：＝＝，拆項得，從而得x＝，z＝，代入已知可得結論．【詳解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；（2）∵設＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；（3）解法一：設＝＝＝（k≠0），∴①，②，③，①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：＝，，k＝4，∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；解法二：∵，∴，∴，∴，∴，將其代入中得：＝＝，y＝，∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．【點睛】本題考查了