高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《二項(xiàng)分布》同步學(xué)案情境導(dǎo)入很多新手司機(jī)拿到駕駛證后開車上路,如果不遵守交通規(guī)則,將會面臨扣分的處罰.為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定,某市交警部門結(jié)合機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷(滿分100分),發(fā)放給新手司機(jī)解答,從中隨機(jī)抽取了12名新手司機(jī)的成績,其成績分別為,(單位:分),并規(guī)定成績低于95分的為不合格,需要加強(qiáng)學(xué)習(xí),成績不低于95分的為合格.將頻率視為概率,根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,若從該市新手司機(jī)中任選4名參加座談會,用表示成績合格的人數(shù),則的分布列如何求解呢?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.伯努利試驗(yàn)我們把只包含_________可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)。重伯努利試驗(yàn)將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地_________所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).重伯努利試驗(yàn)的特征：(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果_________.4.二項(xiàng)分布一般地,在重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為_________.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作._________.5.一般地,確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件的意義,確定事件發(fā)生的_________;(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù),并判斷各次試驗(yàn)的_________;(3)設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的_________;則.6.二項(xiàng)分布的均值與方差若,則_________,_________.答案1.兩個(gè)2.重復(fù)進(jìn)行次3.(2)相互獨(dú)立4.5.(1)概率(2)獨(dú)立性(3)次數(shù)6.預(yù)習(xí)測評1.下面關(guān)于重伯努利試驗(yàn)的陳述中錯(cuò)誤的是()A.一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果,即“成功”和“失敗”B.每次試驗(yàn)成功的概率都是相同的C.試驗(yàn)結(jié)果都是相互獨(dú)立的D.在次試驗(yàn)中,“成功”的次數(shù)對應(yīng)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量2.隨機(jī)變量,則()A.B.C.D.3.已知某品種的幼苗每株成活率為,則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為()A.B.C.D.4.已知,則()A.6B.2C.4D.35.隨機(jī)變量,且,則()A.B.C.D.6.已知小明投籃10次,每次投籃的命中率均為0.7,記10次投籃中命中的次數(shù)為,則()答案1.D2.解析:隨機(jī)變量,則.3.D解析:令為栽種3株這種幼苗成活的株數(shù),則,故.解析:由題意可得隨機(jī)變量,則.因?yàn)?所以.5.A解析:因?yàn)殡S機(jī)變量,且,,所以解得.6.2.1解析:由題意知,則.新知探究探究點(diǎn)1重伯努利試驗(yàn)知識詳解1.伯努利試驗(yàn)我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).2.重伯努利試驗(yàn)將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).特別提示重伯努利試驗(yàn)要從三方面考慮:(1)每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.重伯努利試驗(yàn)的特征：(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.典例探究例1下列試驗(yàn)是重伯努利試驗(yàn),請寫出相應(yīng)的伯努利試驗(yàn)、每次試驗(yàn)中的事件A、“成功”的概率及重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù).其運(yùn)動(dòng)員的職業(yè)生涯中投籃命中率為0.4,現(xiàn)假設(shè)投籃10次,且每次命中率相同.研究命中次數(shù).解析:根據(jù)重伯努利試驗(yàn)的概念及特征解答即可.答案:伯努利試驗(yàn):投籃.每次試驗(yàn)中的事件:投籃命中.“成功”的概率:0.4.重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù).變試訓(xùn)練1判斷下列試驗(yàn)是否是重伯努利試驗(yàn),如果是,請寫出相應(yīng)的伯努利試驗(yàn)、每次試驗(yàn)中的事件、“成功”的概率及重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù).擲一枚均勻的骰子4次,其中6點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù).答案:是重伯努利試驗(yàn)。伯努利試驗(yàn):的骰子.每次試驗(yàn)中的事件:出現(xiàn)6點(diǎn).“成功”的概率.重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù).探究點(diǎn)2二項(xiàng)分布知識詳解1.二項(xiàng)分布的定義一般地,在重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為,.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作.特別提示1.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系:兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布,即是的二項(xiàng)分布;二項(xiàng)分布可以看作兩點(diǎn)分布的一般形式.2.二項(xiàng)分布和二項(xiàng)式定理的聯(lián)系如果把看成看成,則就是的展開式的通項(xiàng),且.3.一般地,確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下:(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件的意義,確定事件發(fā)生的概率;(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù),并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性;(3)設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),則.2.二項(xiàng)分布的計(jì)算一般地,在二項(xiàng)分布模型中,用表示這次試驗(yàn)中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為,則的分布列可以表示為.特別提示1.在上述公式中,是試驗(yàn)的總次數(shù),是一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率,是在重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生的次數(shù),只有弄清公式中的意義,才能正確地運(yùn)用公式.2.利用二項(xiàng)分布解決問題的三個(gè)步驟(1)判斷:依據(jù)重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為重伯努利試驗(yàn).(2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆或找出對立事件.(3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.典例探究例2下列說法正確的是________(填序號).①某同學(xué)投籃的命中率為0.3,他投籃10次,命中的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,且;②某福彩的中獎(jiǎng)概率為,某人一次買了8張,中獎(jiǎng)張數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,且;③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?則摸球次數(shù)是隨機(jī)變量,且.解析:①②顯然滿足重伯努利試驗(yàn)的條件,而③雖然是有放回地摸球,但隨機(jī)變量的定義是直到摸出白球?yàn)橹?也就是說前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項(xiàng)分布的定義.答案:①②變式訓(xùn)練2下列隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布嗎?如果服從,其參數(shù)各為多少?(1)100件產(chǎn)品中有3件不合格品,每次取1件,有放回地抽取3次,取得不合格品的件數(shù);(2)一個(gè)箱子內(nèi)有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,從中依次取2個(gè)球,取得白球的個(gè)數(shù).答案(1)服從二項(xiàng)分布,其參數(shù);(2)不服從二項(xiàng)分布,因?yàn)槊看稳〉冒浊虻母怕什幌嗤?探究點(diǎn)3二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用知識詳解1.利用二項(xiàng)分布解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是在實(shí)際問題中建立二項(xiàng)分布的模型,也就是看它是否是重伯努利試驗(yàn),隨機(jī)變量是否是在這重伯努利試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布,否則就不服從二項(xiàng)分布.2.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,則可利用公式求相關(guān)概率,得出隨機(jī)變量的分布列.典例探究例3高二(1)班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn).(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下1粒種子),求第一小組所做試驗(yàn)中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下1粒種子),如果在1次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止試驗(yàn),否則將繼續(xù)進(jìn)行下次試驗(yàn),直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗(yàn)的次數(shù)${X}$的分布列.解析:(1)至少有3次發(fā)芽成功,包含3種情況,即3次、4次、5次發(fā)芽成功,利用互斥事件的概率和求解;(2)寫出第二小組所做種子發(fā)芽試驗(yàn)的次數(shù)的所有可能取值,然后求出對應(yīng)的概率值,即可得分布列.答案:(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設(shè)5次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機(jī)變量,則所以至少有3次發(fā)芽成功的概率為4).(2)隨機(jī)變量的可能取值為.根據(jù)題意可得的分布列用表格表示為方法歸納1.二項(xiàng)分布的簡單應(yīng)用是求重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率.解題的一般思路是根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布找到參數(shù),將值代入求解概率寫出二項(xiàng)分布的分布列.2.利用二項(xiàng)分布求解“至少”“至多”問題的概率,其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率,一般轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率.變式訓(xùn)練3在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做1道題.設(shè)4名考生選做這兩題中的每一題的可能性均為.(1)求其中甲、乙兩名考生選做同一道題的概率;(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的考生人數(shù)為,求的分布列.答案:(1)設(shè)事件表示“甲選做第14題”,事件表示“乙選做第14題”,則甲、乙兩名考生選做同一道題的事件為“”,且事件相互獨(dú)立.所以.(2)隨機(jī)變量的可能取值為,且.所以變量的分布列為..變量的分布列用表格表示為探究點(diǎn)4二項(xiàng)分布的均值和方差知識詳解1.二項(xiàng)分布的均值與方差若,則.特別地,若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布,則.2.求二項(xiàng)分布均值和方差的步驟:(1)先判定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布;(2)代入二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算均值和方差.典例探究例4一個(gè)袋中裝有除顏色外完全相同的8個(gè)球,其中紅球2個(gè),白球6個(gè).(1)不放回地從袋中任取3個(gè)球,求恰有1個(gè)紅球的概率;(2)有放回地每次取1個(gè)球,直到取到2次紅球即停止,求恰好取4次停止的概率;(3)有放回地每次取1個(gè)球,共取3次,記取到紅球的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析:(1)不放回地抽樣,用計(jì)數(shù)原理可知樣本的總數(shù),再表示出恰有1個(gè)紅球的取法種數(shù),于是可得概率.(2)恰好取4次停止代表的事件為前3次取得1次紅球,2次白球,第四次取得紅球,據(jù)此可求其概率.(3)隨機(jī)變量的可能取值為且,求出取每個(gè)值時(shí)對應(yīng)的概率,列出分布列,進(jìn)而可以求得的數(shù)學(xué)期望.答案:(1)由題意,從8個(gè)球中不放回地取3個(gè)球,有種不同的取法,其中恰有1個(gè)紅球有種不同的取法,所以不放回地從袋中任取3個(gè)球,恰有1個(gè)紅球的概率為.(2)由題意,恰好取4次停止,即前3次中有1次取到紅球,且第4次取到紅球.因?yàn)橛蟹呕氐孛看稳?球,取到紅球的概率為,所以所求概率為.(3)根據(jù)題意可得隨機(jī)變量的可能取值為,且的分布列用表格表示為所以數(shù)學(xué)期望.方法歸納如果能分析出所給隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,可直接用它的均值公式、方差公式進(jìn)行計(jì)算.變式訓(xùn)練4某商場為刺激消費(fèi),擬按以下方案進(jìn)行促銷:顧客消費(fèi)每滿500元便得到獎(jiǎng)券1張,每張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為,且每張獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,若中獎(jiǎng),則商場返回顧客現(xiàn)金100元.某顧客現(xiàn)購買單價(jià)為2300元的臺式電腦一臺,得到獎(jiǎng)券4張.(1)設(shè)4張獎(jiǎng)券中中獎(jiǎng)的張數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè)該顧客購買臺式電腦的實(shí)際支出為(單位:元),用表示,并求的數(shù)學(xué)期望和方差.答案:(1)因?yàn)槊繌埅?jiǎng)券是否中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,所以由題意可得.所以的分布列為.的分布列用表格表示為(2)因?yàn)?所以,.又由題意可知,所以,.解析:(1)由題意,服從二項(xiàng)分布,從而可得的分布列;(2)由二項(xiàng)分布的均值和方差公式可得和,又,根據(jù)公式即可求解和.易錯(cuò)易混解讀例9粒種子分種在3個(gè)坑內(nèi),每坑放3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為.若1個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若1個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,求需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列.錯(cuò)解:設(shè)需要補(bǔ)種的坑數(shù)為,則的可能取值為.所求分布列為錯(cuò)因分析:每粒種子發(fā)芽的概率與每坑不需要補(bǔ)種的概率混淆,導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解:因?yàn)閱蝹€(gè)坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為,所以單個(gè)坑不需補(bǔ)種的概率為.設(shè)需要補(bǔ)種的坑數(shù)為,則的可能取值為,3,且.需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列為糾錯(cuò)心得:審題不仔細(xì)是解題錯(cuò)誤的主要原因之一.審題時(shí)要認(rèn)真分析,弄清條件與結(jié)論,發(fā)掘一切可用的解題信息.例2冰箱中放甲、乙兩種飲料各5瓶,每次飲用時(shí)從中任意取1瓶甲或乙種飲料,且取用時(shí)取甲種或乙種飲料的概率相等.(1)求甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率;(2)求甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4的概率.錯(cuò)解:(1)5瓶甲種飲料飲用完畢,有種方法,乙種飲料還剩下3瓶即飲用了2瓶,有種方法,所以甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶共有種可能的結(jié)果,而從10瓶中選出7瓶共有種可能的結(jié)果.所以甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率為.(2)甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4包括3種情況:①甲被飲用5瓶,乙被飲用1瓶,有種;②甲被飲用5瓶,乙沒有被飲用有種;③甲被飲用4瓶,乙沒有被飲用,有種.所以甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4的概率為.錯(cuò)因分析:上述解答出錯(cuò)的原因是把飲用甲、乙兩種飲料當(dāng)作一次性取出,而取用時(shí)甲種或乙種飲料的概率相等,所以用“等可能事件的概率”來解決.但實(shí)質(zhì)上,每瓶飲料是一次次地取出飲用的,且甲、乙兩種飲料每次被飲用的概率都為,故應(yīng)用“二項(xiàng)分布”來求.正解:(1)設(shè)“飲用1瓶,飲用的是甲種飲料”為事件,則.甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率即求7重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生5次的概率,為.(2)甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4包括3種情況:①甲被飲用5瓶,乙被飲用1瓶;②甲被飲用5瓶,乙被飲用0瓶;③甲被飲用4瓶,乙被飲用0瓶.所求概率為.糾錯(cuò)心得:在應(yīng)用概率求解問題時(shí),應(yīng)該分清楚是哪種類型的概率.只有類型選用正確,才不會出現(xiàn)錯(cuò)誤.課堂檢測1.判斷正誤.(1)設(shè)為重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),則.()(2)在重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響.()(3)對于重伯努利試驗(yàn),各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同.()2.