5.3.2函數的極值與導數(二)學習目標1.能根據極值點與極值的情況求參數范圍.2.會利用極值解決方程的根與函數圖象的交點個數問題.問題導學1.極小值點與極小值(1)特征：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都

，并且f′(a)＝0.(2)符號：在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0.(3)結論：點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值.小2.極大值點與極大值(1)特征：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都

，并且f′(b)＝0.(2)符號：在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0.(3)結論：點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值.大3.用導數求函數極值的步驟(1)確定函數的定義域；(2)求函數y＝f(x)的導數f′(x)；(3)求出方程f′(x)＝0在定義域內的所有實根，并將定義域分成若干個子區間；(4)以表格形式檢查f′(x)＝0的所有實根兩側的f′(x)是否異號，若異號則是極值點，否則不是極值點.題型探究類型一由極值的存在性求參數的范圍解析

f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，得方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.(－∞，1)(2)已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)√解析

∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，且f(x)有兩個極值點，∴f′(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，∴g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，又∵當x→0時，g(x)→－∞，當x→＋∞時，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，解

f′(x)＝x2－2x＋a，由題意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，則f′(x)＝x2－2x－3，經驗證可知，f(x)在x＝－1處取得極大值.引申探究1.若本例(1)中函數的極大值點是－1，求a的值.解

由題意，得方程x2－2x＋a＝0有兩個不等正根，設為x1，x2，2.若本例(1)中函數f(x)有兩個極值點，均為正值，求a的取值范圍.故a的取值范圍是(0,1).反思與感悟函數的極值與極值點的情況應轉化為方程f′(x)＝0根的問題.當0<x<1時，f′(x)>0，當x>1時，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，∴函數f(x)在x＝1處取得極大值.類型二利用函數極值解決函數零點問題∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗且f(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增.根據函數單調性、極值情況，它的圖象大致如圖所示，解

由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個不同的交點.∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，當x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗極大值↘極小值↗反思與感悟利用導數可以判斷函數的單調性，研究函數的極值情況，并能在此基礎上畫出函數的大致圖象，從直觀上判斷函數圖象與x軸的交點或兩個函數圖象的交點的個數，從而為研究方程根的個數問題提供了方便.跟蹤訓練2若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在區間[－1,1]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍.解

令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)↗極大值↘由上表可知，函數在x＝0處取得極大值，極大值為g(0)＝2ln2＋b.故實數b的取值范圍是(－2ln2,2－2ln3].達標檢測123451.下列四個函數中，能在x＝0處取得極值的函數是①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A.①② B.②③C.③④ D.①③√解析

①④為單調函數，無極值.2.函數f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為A.1，－3 B.1,3C.－1,3 D.－1，－3√解析

∵f′(x)＝3ax2＋b，由題意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，123453.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為A.(－1,2) B.(－3,6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因為函數f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.12345√4.若函數f(x)＝x3－3ax＋1在區間(0,1)內有極小值，則a的取值范圍為_____.(0,1)解析

f′(x)＝3x2－3a.當a≤0時，在區間(0,1)上無極值.12345123455.已知函數f(x)＝x3－12x＋4，討論方程f(x)＝m的解的個數.解

由題意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)極小值＝f(2)＝－12，f(x)極大值＝f(－2)＝20.又因為f(x)的定義域是R，畫出函數圖象(圖略)，所以當m>20或m<－12時，方程f(x)＝m有一個解；當m＝20或m＝－12時，方程f(x)＝m有兩個解；當－12<m<20時，方程f(x)＝m有三個解.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗123451.研究方程根的問題可以轉化為研究相應函數的圖象問題，一般地，方程f