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第五節無窮小和無窮大無窮小量和無窮大量無窮小的階及其比較無窮小的運算一、無窮小量與無窮大量1、定義:在某種變化趨勢下，極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數.判斷下面的函數是否為無窮小量

2、定義：在某種變化趨勢下，絕對值無限增大的變量稱為無窮大量.特殊情形：正無窮大，負無窮大．例：注意:（1）無窮大是變量,不能與很大的數混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.例、函數

當時,是無界變量，但不是無窮大量。定義：如果或，則直線是函數圖形的水平漸進近線。定理4在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.無窮小量和無窮大量之間的關系意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.二、無窮小的階及其比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:設是自變量同一變化過程中的無窮小,例如，注：一般地規定例1、例2、確定當時，的階。例3、確定當時，的階。分析：解：分析：解：例4、當時比較和的階

(n為正整數）解、例

容易驗證是等價無窮小。三、無窮小運算無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);定理4在同一過程中,（1）有限個無窮小的代數和仍是無窮小.（2）有限個無窮小的乘積也是無窮小（3）有界函數與無窮小的乘積是無窮小

例5、求解：注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.定理5(等價無窮小代換定理)證推論1、推論2、意義：1、若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限．無窮小替換會使計算大大簡化。2、用等價無窮小可給出函數的近似表達式．例如,常用等價無窮小:例6、求例7、求解解例8、求解例9、求解1

解2不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數的因子作等價無窮小代換，對于代數和中各無窮小不能分別代換.注意練習：習1習2習3習1解習2解習3解解錯例10解注：可以用無窮小分析求極限四、小結1、主要內容:無窮小的定義，無窮小的階及其比較，無窮小的運算。2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小；（3）無界變量未必是無窮大.（4）并不是所有的無窮小都能比較。無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.等價無窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.

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