專題9.3橢圓題型一橢圓的定義題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三橢圓的焦點(diǎn)三角形題型四距離和差的最值問題題型五橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六求橢圓離心率題型七求橢圓離心率的取值范圍題型一 橢圓的定義例1．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4例2．（2021秋·高三單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，點(diǎn)B在橢圓上，則=________，的最小值是________．練習(xí)1．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點(diǎn)練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25練習(xí)3．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A，B．設(shè)p：為定值，q：點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件練習(xí)4．（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最小值為___________．練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）常數(shù)，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為__________．例4．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．練習(xí)6．（2023·全國·高三對口高考）根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(3)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，；(4)離心率為且過點(diǎn)；練習(xí)7．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為______.練習(xí)8．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對練習(xí)9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為__________．練習(xí)10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．題型三 橢圓的焦點(diǎn)三角形例5．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．例6．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是__________．練習(xí)11．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎本€與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長是___________.練習(xí)12．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求(1)(2)的面積練習(xí)13．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為__________

練習(xí)14．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過原點(diǎn)O作直線(不經(jīng)過焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20練習(xí)15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，正三角形面積為，則橢圓的方程為______．題型四 距離和差的最值問題例7．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別是________．例8．（2022秋·貴州遵義·高三習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為__________.練習(xí)16．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11練習(xí)17．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2練習(xí)18．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）（多選）已知點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為練習(xí)19．（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的最大值是______．練習(xí)20．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）已知是左右焦點(diǎn)分別為，的上的動(dòng)點(diǎn)，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點(diǎn)，使 D．的最大值為題型五 橢圓的簡單幾何性質(zhì)例9．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A． B．C． D．例10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)21．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學(xué)?？计谥校E圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同練習(xí)22．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．練習(xí)23．（2022秋·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？茧A段練習(xí)）一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.練習(xí)24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線y＝m與C交于A，B兩點(diǎn)（A在y軸右側(cè)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，四邊形ABF1F2為矩形C．若，則D．存在實(shí)數(shù)m使得四邊形ABF1O為平行四邊形練習(xí)25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與題型六 求橢圓離心率例11．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．例12．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點(diǎn)重合，邊過的中心，若邊上中線過點(diǎn)，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.練習(xí)26．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．練習(xí)27．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，.若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，則橢圓C的離心率為______.練習(xí)28．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓：，過中心的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，其橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的3倍，直線交于點(diǎn)，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則的離心率為（

）A． B． C． D．練習(xí)29．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（

）A． B．C． D．練習(xí)30．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．題型七 求橢圓離心率的取值范圍例13．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為圓上一點(diǎn)，橢圓焦距為6，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為_________________．練習(xí)31．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)32．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則它的離心率的取值范圍是（

）A．（0，） B．（，]C． D．練習(xí)33．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)34．（2023春·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)校考期中）已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線AF交橢圓于點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率的取值范圍是______．練習(xí)35．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為圓與的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍為______.

專題9.3橢圓題型一橢圓的定義題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三橢圓的焦點(diǎn)三角形題型四距離和差的最值問題題型五橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六求橢圓離心率題型七求橢圓離心率的取值范圍題型一 橢圓的定義例1．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由橢圓的定義可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D.例2．（2021秋·高三單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，點(diǎn)B在橢圓上，則=________，的最小值是________．【答案】/2【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合正弦定理可求得的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】由已知得，故點(diǎn)A，C為橢圓的焦點(diǎn)，由正弦定理及橢圓的定義可得，當(dāng)B點(diǎn)位于橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，最小，最小值是，故答案為：；2練習(xí)1．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點(diǎn)【答案】C【分析】由，作出判斷即可．【詳解】因?yàn)?，所以，知點(diǎn)C的軌跡是線段AB．故選：C.練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖像，結(jié)合條件可得，，再結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，同理，所以.故選:C練習(xí)3．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A，B．設(shè)p：為定值，q：點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)為定值，且定值大于時(shí)軌跡才是橢圓，從而得到答案.【詳解】當(dāng)為定值時(shí)，若定值大于時(shí)，點(diǎn)M軌跡是橢圓，若定值等于，點(diǎn)M軌跡是線段，若定值小于，則軌跡不存在；當(dāng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓時(shí)，必為定值；所以，但，故p為q的必要不充分條件．故選：B練習(xí)4．（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最小值為___________．【答案】/【分析】利用橢圓的定義和基本不等式直接求最值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.所以的最小值為.故答案為：.練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，同理的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和為定值，且大于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：C.題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）常數(shù)，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為__________．【答案】3或【分析】分，討論，根據(jù)條件列出等式，即求.【詳解】由橢圓，可得橢圓，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴，即，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴，即，綜上，實(shí)數(shù)a的值為3或.故答案為：3或.例4．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)＋＝1(2)＋＝1(3)＋＝1或＋＝1【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)結(jié)合離心率求得的值，進(jìn)一步計(jì)算得到橢圓的方程；（2）根據(jù)題意得出為等腰直角三角形，得到，再由，求得的值，即可求得橢圓的方程；（3）由所求橢圓與橢圓有相同離心率，得到，分類討論，即可求得橢圓的方程.【詳解】（1）（1）依題意，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝3，又，則a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)橢圓方程為，如圖所示，由一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8，可得為等腰直角三角形，為斜邊的中線(高線)，又由，所以，所以，故所求橢圓的方程為.

（3）由題意，橢圓，可得長半軸，短半軸，，因?yàn)樗髾E圓與橢圓有相同離心率，可得，解得，即，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，解得，所以橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，解得，所以橢圓的方程為，綜上可得，橢圓的方程為或.練習(xí)6．（2023·全國·高三對口高考）根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(3)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，；(4)離心率為且過點(diǎn)；【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）依題意可得、，即可求出，從而得解；（2）依題意可得，根據(jù)橢圓的定義及兩點(diǎn)的距離公式求出，即可求出，從而得解；（3）設(shè)橢圓方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到方程組，求出參數(shù)的值，即可得解；（4）分焦點(diǎn)在軸、軸兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意、，所以，則，所以橢圓方程是.（2）依題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，．又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，所以，則，橢圓方程是.（3）設(shè)橢圓方程為，依題意可得，解得，所以橢圓方程是.（4）若焦點(diǎn)在軸上，則，又離心率，所以，則，所以橢圓方程為；若焦點(diǎn)在軸上，則，又離心率，，解得，所以橢圓方程為；綜上可得，所求橢圓方程為或.練習(xí)7．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】（答案不唯一）【分析】先求得橢圓：的離心率，進(jìn)而可以得到橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓：的離心率為.則焦點(diǎn)在軸上離心率為的橢圓可?。?故答案為：練習(xí)8．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對【答案】B【分析】由短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形可得，由焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，結(jié)合可得.【詳解】

由題意，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得：，故選：B練習(xí)9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為__________．【答案】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，且，由題意得到，解得，結(jié)合橢圓的定義，求得，得到，即可求得橢圓的方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，且，因?yàn)槭敲娣e為的正三角形，可得，解得，所以，由橢圓的定義得，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.

練習(xí)10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的焦點(diǎn)在軸上確定，再根據(jù)即可求.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.故選：D.題型三 橢圓的焦點(diǎn)三角形例5．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義與余弦定理即可求得各邊長，再利用面積公式即可求得的面積.【詳解】由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，則，故的面積.故選：D.例6．（2023·北京·101中學(xué)校考三模）已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是__________．【答案】34【分析】由雙曲線定義可得，再利用之間的關(guān)系求得，從而得到所求周長.【詳解】因?yàn)?，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.練習(xí)11．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎本€與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長是___________.【答案】20【分析】根據(jù)題意可知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】橢圓,所以，得，則橢圓的右焦點(diǎn)為，所以直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，的周長為.故答案為：20.練習(xí)12．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求(1)(2)的面積【答案】(1)48(2)24【分析】（1）根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)果運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓方程為，則，即，可得，因?yàn)?，則即，所以.（2）由（1）得，因?yàn)椋?

練習(xí)13．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為__________

【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.練習(xí)14．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過原點(diǎn)O作直線(不經(jīng)過焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【答案】C【分析】不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，則為平行四邊形，的周長大于等于，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，則為平行四邊形，的周長為，當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：C練習(xí)15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，正三角形面積為，則橢圓的方程為______．【答案】【分析】邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程得到，求得，根據(jù)題意得到且，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入橢圓方程可得，解得，因?yàn)檎切蔚拿娣e為，可得，且，即，解得，將，且，代入，可得，解得或，因?yàn)?，所以，則，所以橢圓的方程為.故答案為：.

題型四 距離和差的最值問題例7．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別是________．【答案】4，8【分析】由題可得兩個(gè)圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定值，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到圓心距離減去半徑，最大值為點(diǎn)到圓心距離加上半徑，即可求解.【詳解】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且恰好為兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)圓的半徑相等都等于1，則由橢圓的定義可得故橢圓上動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)連線與圓相交于、時(shí)，最小，所以，.故答案為：4，8.例8．（2022秋·貴州遵義·高三習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為__________.【答案】8【分析】由題意得圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，，利用橢圓的定義，結(jié)合圖像得到，然后由即可求出的最大值.【詳解】如圖,由，得，則，則圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故答案為：8練習(xí)16．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.練習(xí)17．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2【答案】C【分析】設(shè)，由坐標(biāo)表示，由向量模的平方結(jié)合橢圓的范圍得最小值．【詳解】橢圓的左右焦點(diǎn).設(shè)，則，，∴，又，則.∴∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最小值2．故選：C．練習(xí)18．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）（多選）已知點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BD【分析】利用橢圓的定義可求的最值.【詳解】注意到Q為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)其橢圓的左焦點(diǎn)為，則，而的取值范圍是，即，因此所求最大值為，最小值為．故選：BD.練習(xí)19．（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的最大值是______．【答案】21【分析】由題意畫出圖形，利用橢圓定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形兩邊之差小于第三邊及兩點(diǎn)間的距離公式求解．【詳解】由橢圓得，則橢圓右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，如圖所示，則故答案為：21．練習(xí)20．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）已知是左右焦點(diǎn)分別為，的上的動(dòng)點(diǎn)，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點(diǎn)，使 D．的最大值為【答案】BD【分析】設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求解判斷A；根據(jù)橢圓定義判斷B；根據(jù)為短軸端點(diǎn)時(shí)，判斷C；根據(jù)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值判斷D.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，設(shè)，則，即，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對于B選項(xiàng)，由橢圓定義，，故B正確對于C選項(xiàng)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，，，故，進(jìn)而，故C錯(cuò)誤，對于D選項(xiàng)，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，故D正確.故選：BD題型五 橢圓的簡單幾何性質(zhì)例9．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為，易知，且，解得；所以，故橢圓方程為.故選：A例10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，則，記，所以，又因?yàn)殚_口向上，對稱軸，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.故選：B.練習(xí)21．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學(xué)?？计谥校E圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同【答案】C【分析】由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，∴橢圓和的長軸長和短軸長均不相等，故頂點(diǎn)不相同，焦距相等.故選：C.練習(xí)22．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．【答案】(1)；(2)長軸長為4；短軸長為；離心率為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，作圖見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；（2）根據(jù)長軸長、短軸長、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義求解，并描出頂點(diǎn)畫圖即可.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，長軸長，即，，故橢圓的方程為.（2）由橢圓的方程為可得，橢圓的長軸長，短軸長，離心率為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，作圖如下：

練習(xí)23．（2022秋·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？茧A段練習(xí)）一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】設(shè)出圓心與半徑，根據(jù)過橢圓的上頂點(diǎn)、左右頂點(diǎn)，由半徑相等列方程求解.【詳解】由及圓心位置知：圓經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)圓的圓心，半徑為，則，解得，，故圓的方程為.故答案為：.練習(xí)24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線y＝m與C交于A，B兩點(diǎn)（A在y軸右側(cè)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，四邊形ABF1F2為矩形C．若，則D．存在實(shí)數(shù)m使得四邊形ABF1O為平行四邊形【答案】ABD【分析】由橢圓的定義與對稱性可判斷A；求出，的坐標(biāo)，即可判斷B；設(shè)，若，則，又，求得，即可判斷C；若四邊形為平行四邊形，則，即的橫坐標(biāo)為即可，代入橢圓方程可得，即可判斷D.【詳解】由橢圓與關(guān)于軸對稱，可得，故A正確；當(dāng)時(shí)，可得，又，則，則四邊形為矩形，故B正確；設(shè)，則，若，則，又，聯(lián)立消元得，解得，故C錯(cuò)誤；若四邊形為平行四邊形，則，即的橫坐標(biāo)為即可，代入橢圓方程可得，故當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，故D正確．故選：ABD．練習(xí)25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值和最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：A.題型六 求橢圓離心率例11．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】

不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A例12．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點(diǎn)重合，邊過的中心，若邊上中線過點(diǎn)，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】畫出草圖，分析可知為的重心，求解即可.【詳解】如圖：邊過的中心，所以為的中點(diǎn)，則為邊上的中線，邊上中線過點(diǎn)，所以兩中線的交點(diǎn)為，即為的重心，所以，即，則，所以，所以，所以，所以.故答案為：.練習(xí)26．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點(diǎn)在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.練習(xí)27．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，.若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，則橢圓C的離心率為______.【答案】/【分析】根據(jù)，，利用斜率公式列方程組求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程構(gòu)造齊次式可解.【詳解】由題知，，，設(shè)，記直線與交于點(diǎn)Q，由題知Q為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，所以，所以...①，又，所以...②，聯(lián)立①②解得，代入橢圓方程得，將代入上式，整理可得，即，解得或（舍去），所以.故答案為：

練習(xí)28．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓：，過中心的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，其橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的3倍，直線交于點(diǎn)，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三條直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)差法可得.【詳解】

設(shè)，，則，，設(shè)、、，分別為直線、、的斜率，則，，，因直線是以為直徑的圓的切線所以，，所以，又在直線上，所以，因、在上，所以，，兩式相減得，整理得，故，即，，故，故選：D練習(xí)29．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到線段之間的關(guān)系，橢圓的離心率，根據(jù)等腰三角形三線合一先求即可.【詳解】

因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因，所以，，可得：，，，所以點(diǎn)在短軸的頂點(diǎn)上，在等腰三角形中，，故選為：D練習(xí)30．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓定義及三角形面積公式得到，設(shè)聯(lián)立橢圓消去x，應(yīng)用韋達(dá)定理得到橢圓參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而求離心率.【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)△的面積為，的面積為，因?yàn)椋裕储?，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以②，③，聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．故選：D

題型七 求橢圓離心率的取值范圍例13．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可