第函數模型的應用

■課程標準

1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具；在實際情境中，會選擇合適的函數類型

刻畫現實問題的變化規律.

2.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解

“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義.

3.感悟數學模型中參數的現實意義.

LI_____知___識____?_逐____點___夯____實___口_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_____必__備__知___識_____系__統__梳__理____基___礎__重__落__實_____…___________課__前__自___修_

知識梳理

1.幾種常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型/(x)=ax+b(〃，/?為常數，)

反比例函數模型于（x）=^+b（左，b為常數，kWQ）

二次函數模型f(x)=ax1+bx+c(〃，。，c為常數，)

函數模型函數解析式

指數函數模型/(x)=b〃+c(Q,,C為常數，〃>0且〃#1)

對數函數模型/(X)=blogax+c(Q,Z?,C為常數，#0,4>0且4W1)

幕函數模型/(x)=axn+b(4,b,〃為常數，〃WO)

對勾函數模型y=ox+g(。，b為常數，ab>0)

2.三種函數性質比較

類別y=ax(a>l)y=logaX(〃>1)y=(n>0)

在（0,+8）上的單調性單調遞增單調遞增單調遞增

增長速度越來越快越來越慢相對平穩

隨X值增大,圖象與_隨尤值增大，圖象與X軸

圖象的變化隨"值變化而各有不同

y軸接近平行接近平行

對點自測

1.判斷正誤.（正確的畫“V,錯誤的畫“X”）

（1）函數y=2,的函數值恒比的函數值大.（X）

(2)黑函數的增長速度比一次函數的增長速度快.(X)

(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型.(X)

2.在某個試驗中，測得變量x和變量y的幾組數據如下表所示：

X0.501.092.013.98

y-0.990.010.982.00

則對尤，y最適合的擬合函數是()

A.y=2xB.y=f-1

C.y=2x-2D.y=log2X

解析：D在直角坐標系中，描點連線畫出圖象(圖略)，觀察圖象知選D.

3.下面對函數〃無)=1。%尤與g(x)=()在區間(0,+8)上的衰減情況的說法中正確的是()

A/(無)的衰減速度越來越慢，g(無)的衰減速度越來越快

B.7(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越慢

C./(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越慢

D./(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越快

解析：C在同一平面直角坐標系中畫出/(x)與g(x)圖象如圖所示，由圖象可判斷出衰減情況為：/(x)衰減

速度越來越慢；g(無)衰減速度越來越慢，故選C.

4.(2024.壽光模擬)某桶裝水經營部每天的固定成本為420元，每桶水的進價為5元，日均銷售量y(單位：桶)

與銷售單價x(單位：元)的關系式為y=-30x+450,則該桶裝水經營部要使利潤最大，銷售單價應定為10

元.

解析：由題意得該桶裝水經營部每日利潤為W(尤)=(-30x+450)(x-5)-420=-30f+600x-2670=-

30(x-10)2+330,則當尤=10時，利潤最大.

L考點?分類突破口------精選考點典例研析技法重悟通-課堂演練

1—

用函數圖象刻畫變化過程

考點一

(師生共研過關)

［例1］如圖，一高為反目裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完

所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t,則函數h=f（t）的圖象大致是（）

解析：B水勻速流出，所以魚缸水深力先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來越快.

解題技法

用函數圖象刻畫變化過程的2種方法

（1）構建函數模型法：先建立函數模型，再結合模型選圖象；

（2）驗證法：根據實際問題中變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實

際情況的答案.

G訓練

已知正方形ABCD的邊長為4,動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動.設點P運動的路程為x,AABP的面

積為S,則函數S=〃x）的圖象是（）

解析：D依題意知，當0WxW4時，/(x)=2x；當4<xW8時，/(x)=8；當8<xW12時，/(x)=24-2x,

觀察四個選項知D項符合要求.

二次函數模型的應用

考點二

（師生共研過關）

［例2］為了給消費者帶來放心的蔬菜，某地計劃投入資金200萬元，搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大

棚至少要投入資金40萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜.根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入產

（單位：萬元），種黃瓜的年收入。（單位：萬元）與各自的投入資金內，（單位：萬元）滿足

P=80+4后,。=32+120.設甲大棚的投入資金為x（單位：萬元），兩個大棚的總收入為〃尤）（單位：萬

元），則〃x）的最大值為（）

A.282B.228

C.283D.229

解析：A當甲大棚的投入資金為x（單位：萬元）時，乙大棚的投入資金為200-元（單位：萬元），所以/（x）

,_1._fx>40,廣

=80+4岳+士（200-尤）+120=-々+41+250,由《可得40WxW160,令f=《，貝（

44I

（200-%>40

2

ze[2V10,4V10],g（r）=-i?+4V2r+250=-;（t-8A/2）+282,因為8&G，4VIU],所以當

r=8V2,即x=128時，/（x）最大，為282.故選A.

解題技法

構建二次函數模型解決實際問題的注意點

（1）確定二次函數模型的解析式時，一般是借助已知點來確定，常用待定系數法；

（2）二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；

（3）解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題.

0訓練

某城市對一種每件售價為160元的商品征收附加稅，稅率為R%（即每銷售100元征稅R元），若年銷售量為

（30-|我）萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,100%]

解析：A根據題意，要使附加稅不少于128萬元，則（30-翔X160XR%2128,整理得N-12R+32W0,解

得4WRW8.所以R的取值范圍是[4,8],故選A.

對勾函數模型的應用

考點三

（師生共研過關）

【例3]在城市舊城改造中，某小區為了升級居住環境，擬在小區的閑置地中規劃一個面積為200m2的矩形區

域（如圖所示），按規劃要求：在矩形內的四周安排2m寬的綠化，綠化造價為200元/n?,中間區域地面硬化以

方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/n?,設矩形的長為x（m）.

（1）求總造價y（元）關于長度x（m）的函數；

(2)當尤(m)取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.

解：(1)由矩形的長為xm,得矩形的寬為出m,則中間區域的長為(尤-4)m,寬為(迎-4)m,定義域為xG

(4,50).

貝iJy=100(x-4)-4)+200X[200-(x-4)與-4)],

整理得y=18400+400(%+警)，(4,50).

(2)因為x+變N2.%=20也當且僅當尸變，即x=10迎e(4,50)時取等號.

xyXX

所以當尤=10近時，總造價最低為(18400+8000V2)元.

解題技法

應用函數模型/(X)="+;(M>o)的關鍵點

(1)明確對勾函數是由正比例函數/(x)=QX與反比例函數/(x)=g疊加而成的；

(2)解決實際問題時一般可以直接建立了(%)=ax+^(。。>0)的模型，有時可以將所列函數關系式轉化為了

(x)=ax+-Cab>0)的形式；

X

(3)利用模型/(x)=辦+5(4>0)求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件.

。學習講義“第頁|57

0訓練

某專營店經銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預計當一袋桃酥的售價為x元

(9WxWll)時,一年的銷售量為上萬袋，并且全年該桃酥食品共需支付3x萬元的管理費，一年的利潤=一年

%-5

的銷售量X售價-(一年銷售桃酥的成本+一年的管理費)(單位：萬元).

(1)求該專營店一年的利潤工(單位：萬元)與每袋桃酥食品的售價X的函數解析式；

(2)當每袋桃酥的售價為多少元時，該專營店一年的利潤L最大，并求出L的最大值.

解：(1)由題意知，該專營店一年的利潤乙(單位：萬元)與售價x的函數解析式為

x-5

(6X—+3x)=48(X-6)-3x,尤e[9,11].

x-5x-5

z、48(X-6)48z48z

(2)L=--------------3x=48----------3(JV-5)-15=33----------3(x-5),

x-5%-5x-5

因為9WxWll,所以a+3(x-5)22--3(x-5)=24,當且僅當上=3(x-5),

x-5x-5x-5

即x=9時，取等號，此時L最大，為9萬元.

故當每袋桃酥的售價為9元時，該專營店一年的利潤最大，且最大利潤為9萬元.

指數、對數函數與幕函數模型的應用

考點四

(師生共研過關)

[例4](1)(多選)(2023?新高考I卷10題)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,

定義聲壓級。=20義館里，其中常數po(po>0)是聽覺下限閾值，°是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車iom處測得實際聲壓分別為Pl,P2,P3,貝II(ACD)

A.p會P2B.02>10p3

C.p3=lOOpoD.piW10022

(2)一個容器裝有細沙acn?,細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地漏出，rmin后剩余的細沙量為

(cnP),經過&min后發現容器內還有一半的沙子，則再經過16min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.

解析：(1)由，=20XlgJ得A=R)X10私由題表中的數據可知poXUWpW’oXlO"R)X105W〃2Wa)><103,

Po

03=夕0義1O2=1OO〃O,故A、C正確；因為10〃3=10X1OO〃O=R)X1O32P2,故B錯誤；因為

5

pQXlO2^1OOp2^poX10,所以piWlOO,2,故D正確.故選A、C、D.

(2)當才=8時，y=ae~Sb=-a,所以e-勖=士容器中的沙子只有開始時的八分之一，即丁=恁-初=工〃，e-bt=-=

2288

(e-防)3=e-2%貝卜=24.所以再經過16min容器中的沙子只有開始時的八分之一.

解題技法

利用指數函數、對數函數與賽函數模型解題，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數據代入驗證，確

定參數，求解時要準確進行幕、指、對運算，靈活進行指數與對數的互化.

0訓練

1.我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB),對于一

個強度為/的聲波，其音量的大小n可由如下公式計算：n=ioig7(其中/。是人耳能聽到聲音的最低聲波強度)，

則70dB的聲音的聲波強度ly是60dB的聲音的聲波強度/2的()

A.箱B.屈倍C.10倍D.ln絹

OOO

rri,

解析：C由n=101g；得/=7oio而，所以/1=/01。7,/2=/OK)6,所以勺=10,所以70dB的聲音的聲波強度/1是60

7012

dB的聲音的聲波強度，2的10倍.

2.某地鎰礦石原有儲量為。萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的機（0（根<1,且“為常數）倍，那么第n

（“GN*）年開采完成后剩余儲量為。（1-機）"萬噸，按該計劃方案使用10年時間開采到原有儲量的一半.若開采

到剩余儲量為原有儲量的70%,則需開采約（參考數據：或M.4）（）

A.4年B.5年

C.6年D.8年

解析：B設第〃（”eN*）年開采完成后剩余儲量為y萬噸，則y=a（l-M",當”=10時，y—^a,所以，=。

1nn

（1-m）10,又〃>0,所以之=（1-m）叱1-進而產碓）1。.當y=70%〃時，卷=0°，

n

w=（2）10,即2=1。9是=1唯學1限1.4=現2企嚀，故土5,故選B.

3.眾所周知，大包裝商品的成本要比小包裝商品的成本低.某種品牌的餅干，其100克裝的售價為1.6元，其400克

裝的售價為4.8元，假定該商品的售價由三部分組成：生產成本、包裝成本、利潤.生產成本與餅干質量成正比目

系數為m,包裝成本與餅干質量的算術平方根成正比且系數為n,利潤率為20%,則該種餅干900克裝的合理售價

為9.6元.

解析：設餅干的質量為x克，則其售價y（單位：元）與x之間的函數解析式為尸（3十〃?）（1+0.2）.由題

意得1.6=（lOOm+VlOOn）（1+0.2）,SP-=50m+5/i①，4,8=（400/n+V400n）（1+0.2）,即

100/n+5?=l②.由①②解得機=言，??產提十卷?當彳=900時，尸9.6.故這種餅干900克裝的合理售價

為9.6元.

關鍵能力分層施練素養重提升-----------課后練習

LI______課___時____?_跟____蹤___檢____測____」____-__-_-__-_-_________________________________________________1__________

A級?基礎達標

1.有一貨船從石塘沿水路順水航行，前往河口，途中因故障停留一段時間，到達河口后逆水航行返回石塘.假設貨

船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該貨船從石塘出發后所用的時間為尤（小時），貨船距石塘的距離為y

（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間函數關系的大致圖象是（）

解析：A分析圖象可知選項A正確.故選A.

2.某校擬用一種噴霧劑對宿舍進行消毒，需對噴霧完畢后空氣中每立方米藥物殘留量y（單位：毫克）與時間尤

（單位：時）的關系進行研究，為此收集部分數據并做了初步處理，得到如圖散點圖.現擬從下列四個函數模型中

選擇一個估計y與尤的關系，則應選用的函數模型是（）

w毫克

*

???

ol

A.y=〃x+b

B.y=a.G)+b(<7>0)

C.y=xa+b(A>0)

D.y=ax+-(a>0,b>Q)

解析：B由題圖可知，函數在(0,十8)上單調遞減，且散點分布在一條曲線附近，函數的圖象

為一條曲線，且當。>0時，該函數單調遞減，符合題意，故選B.

3.生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)

=吳+2苫+20(萬元).1萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業一個月應生產該商品的數量為()

A.36萬件B.18萬件

C.22萬件D.9萬件

解析：B利潤L(x)=2Qx-C(x)=-|(x-18)2+142,當尤=18時，L(無)有最大值.故選B.

4.在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，每名感染者平均可傳染的

人數.假設某種傳染病的基本傳染數為Ro,1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種

過疫苗《稱為接種率)，那么1個感染者傳染人數為中(N-V).已知某種傳染病在某地的基本傳染數Ro=4,為

了使1個感染者傳染人數不超過1,則該地疫苗的接種率至少為()

A.45%B.55%

C.65%D.75%

解析：D為了使1個感染者傳染人數不超過1,只需與(.N-V)<1,即(14)WL因為&=4,所以1-

可得(》：=75%.故選D.

5.北京時間2023年5月30日9時30分，神舟十六號載人飛船發射成功.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大

速度v(km/s)和燃料的質量M(kg)、火箭(除燃料外)的質量m(kg)的函數關系是v=2OOOln(1+?).按

照這個規律，當1000M=6〃z時，火箭的最大速度v約可達到(參考數據：In1.006=0.006)()

A.7.9km/sB.l1.2km/s

C.12km/sD.16.7km/s

解析：C因為v=2OOOln(1+竺)，當1000M=6加時，貝!|"=」一=0.006,所以v=2OOOln(1+0.006)=2

mm1000

OOOln1.006-2000X0.006=12km/s.故選C.

6.（多選）甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，它們的路程/（x）（=1,2,3,4）關

于時間X（尤20）的函數關系式分別為力（X）=2"-1"（X）=/，力（X）=X，A（X）=log2（x+1）,則下列

結論正確的是（）

A.當尤>1時，甲走在最前面

B.當x>1時，乙走在最前面

C.當0<尤<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面

D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲

解析：CD由題意知，甲、乙、丙、丁對應的函數模型分別為指數型函數模型、二次函數模型、一次函數模型、

對數型函數模型.當x=2時，fi（2）=3,拉（2）=4,所以A不正確；當x=5時，力（5）=31,f2（5）=25,所

以B不正確；根據四種函數的變化特點，對數型函數的增長速度是先快后慢，又當x=l時，甲、乙、丙、丁四個

物體走過的路程相等，從而可知，當0<x<l時，丁走在最前面，當x>l時，丁走在最后面，所以C正確；指數

型函數的增長速度是先慢后快，當運動的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數型函數模型運動的物體，

即一定是甲物體，所以D正確.

7.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣

告費A之間滿足關系R=a6（a為常數），廣告效應為D=ag-A那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，

投入的廣告費應為12（用常數。表示）.

2

解析：令00）,則.\D=at--（t--a\+-O2,「?當/=工〃，即A=%時，。取得最大值.

\2/424

8.生物學家為了了解抗生素對生態環境的影響，常通過檢測水中生物體內抗生素的殘留量來進行判斷.已知水中某

生物體內抗生素的殘留量y（單位：mg）與時間f（單位：年）近似滿足關系式尸4（1-3”），e0,其中力為

抗生素的殘留系數，當f=8時，y=',則4:.

y4

解析：因為（1-3-81）,所以3-8，W=3-2,解得4小

994

9.（2024?永州模擬）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克毫升）隨時間x（小時）變化的規律近似滿

2o<x<1

足表達式/（X）=,八、；——’《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量

Is（0，久>1，

不得超過0.02毫克星升，此駕駛員至少要過，小時后才能開車.（精確到1小時）

解析：當OWxWl時，由/（x）W0.02,得5*-2WO.O2,解得尤W2+log50.02=log50.5<0,不符合題意；當x>l

時，由了（無）W0.02,得|?GyW0.02,即31-xWO.l,解得-log3。」=l+log310.因為3<l+k?g310<4,所以

此駕駛員至少要過4小時后才能開車.

10.某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于年投資成本的10%時，則該企業就考慮轉

型，下表顯示的是該企業幾年來年利潤y（百萬元）與年投資成本X（百萬元）變化的一組數據：

年份2020202120222023…

年投資成本彳35917…

年利潤y1234…

給出以下3個函數模型：@y^kx+b(20)；②了=心(aWO,b>0,且6W1);③y=log.(x+b)(a>0,且

a#l).

(1)選擇一個恰當的函數模型來描述x,y之間的關系；

(2)試判斷該企業年利潤超過6百萬元時，該企業是否要考慮轉型.

解：(1)將(3,1),(5,2)代入y=fcc+6(50),

r(1

1=3k+b,k

得(解得《2???》=341

v2=5k+b',Ib=-2,

當x=9時，y=4,不符合題意；

將(3,I),(5,2)代入y=a"(aWO,b>0,且。Wl),

(._,3(_V2

1=Ctb^,ICL——B、_yx-3

得］解得|4.r,.y=y-(V2)=2..

2=abs,(b=V2,

9-3

當x=9時，y=2h=8,不符合題意；

將(3,1),(5,2)代入y=logq(x+b)Ca>0,且〃￥1),

1=log(3+b)

得a解得4

2=5

.?.y=log2(x-1).

當x=9時，y=log28=3；

當x=17時，y=log216=4.

故可用③來描述羽y之間的關系.

(2)令log2(x-1)26,貝1x265.

?,?該企業要考慮轉型.

B級?綜合應用

11.農業農村部發布2024年農區蝗蟲防控技術方案.為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的

日增長率為6%,最初有No只，則能達到最初的1200倍大約經過(參考數據：In1.06-0.0583,In1200-7.0901)

()

A.122天B.124天

C.130天D.136天

解析：A由題意可知，蝗蟲最初有M只且日增長率為6%.設經過〃天后蝗蟲數量達到原來的1200倍，則

n

N0(i+6%)=1200,；.L06"=l200,...w=logiod200=整翌刃21.614,：/CN*,.,.大約經過122天能達到最初

NQ°lnl.06

的1200倍.

12.(多選)某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血

液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.據進一步測定，當每毫升血液中含

藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，貝II()

A.〃=3

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小