學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精單元整合知識網絡專題探究專題一比較法比較法證明不等式的依據是：不等式的意義及實數比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形;③判斷結果的符號;④下結論．其中，變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方，可以因式分解,可以運用一切有效的恒等變形的方法．eq\x(應用1)設a≠b，求證:a2＋3b2＞2b(a＋b)．提示:用作差比較法證明．作差比較法的步驟是：①作差；②變形;③判斷差與0的大小關系；④下結論，其中最關鍵的步驟是②③。證明：(a2＋3b2)－2b（a＋b）＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2。因為a≠b，所以a－b≠0.從而(a－b）2＞0,于是(a2＋3b2)－2b（a＋b）＞0.所以a2＋3b2＞2b(a＋b）．eq\x(應用2）若a＝eq\f(ln2,2）,b＝eq\f(ln3,3）,c＝eq\f（ln5,5），則（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c提示:作商比較法的步驟是:①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④下結論．其中②③是關鍵步驟，同時要注意分子、分母的正負．解析：∵eq\f(b,a）＝eq\f（2ln3，3ln2）＝log89＞1，且a＞0,b＞0，∴b＞a.又∵eq\f（a,c）＝eq\f(5ln2，2ln5)＝log2532＞1，且a＞0,c＞0，∴a＞c。∴c＜a＜b。答案：C專題二綜合法綜合法證明不等式的依據:已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時要注意:作為依據和出發點的幾個重要不等式(已知或已證）成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當且僅當……時，取等號"的理由要理解掌握．綜合法證明不等式的思維方面是“順推”，即由已知的不等式出發，逐步推出其必要條件(由因導果）,最后推導出所要證明的不等式成立．eq\x（應用）已知a，b,c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca)提示:應用余弦定理解決．證明：設a，b兩邊的夾角為θ，則由余弦定理，得：cosθ＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）因為0＜θ＜π，∴cosθ＜1,∴eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＜1,即a2＋b2－c2＜2ab。同理可證：b2＋c2－a2＜2bc,c2＋a2－b2＜2ac將上面三個同向不等式相加，即得：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）專題三分析法分析法證明不等式的依據：不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆求”（但絕不是逆推)，即由待證的不等式出發，逐步逆求使其成立的充分條件(執果索因）,最后得到充分條件是已知(或已證)的不等式．當要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更為有效．分析法是“執果索因",步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因導果”，逐步推導出不等式成立的必要條件，兩者是對立統一的兩種方法，一般說來,對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法可結合使用．eq\x(應用）設a＞0,b＞0，求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3.提示:此題可以用分析法、綜合法和比較法來證明,這里我們用分析法證明．證明：要證a5＋b5≥a3b2＋a2b3成立，即證(a5－a3b2）＋（b5－a2b3）≥0成立，即證a3(a2－b2）＋b3(b2－a2）≥0成立,即證(a3－b3）(a2－b2)≥0成立．而a＞0,b＞0,當a≥b＞0或b≥a＞0時，a3－b3與a2－b2的符號都相同，所以（a3－b3)（a2－b2）≥0成立．所以原不等式成立．專題四反證法運用反證法證明不等式，主要有以下兩個步驟：①作出與所證不等式相反的假設;②從條件和假設出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明原不等式成立．反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現的命題．涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題,也常用反證法．eq\x（應用)用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半．解：已知：如圖，在△ABC中，∠CAB＞90°,D是BC的中點．求證:AD＜eq\f（1,2）BC。證明：假設AD≥eq\f(1，2）BC.(1）若AD＝eq\f(1，2)BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么，這條邊所對的角為直角”，知∠CAB＝90°，與題設矛盾．所以AD≠eq\f(1,2）BC。（2）若AD＞eq\f(1,2）BC，因為BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，所以在△ABD中，AD＞BD，從而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD.所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD,即∠B＋∠C＞∠CAB。因為∠B＋∠C＝180°－∠CAB，所以180°－∠CAB＞∠CAB，則∠CAB＜90°，這與題設矛盾．由（1）(2)知AD＜eq\f（1,2）BC.專題五放縮法在證明不等式時，有時我們要把所證不等式的一邊適當地放大(或縮小)以方便化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯,從而得到欲證的不等式成立，這種證明的方法稱為放縮法．它是證明不等式的特殊方法．eq\x(應用）已知a，b，c為三角形的三邊，求證:eq\f（a，1＋a),eq\f(b,1＋b)，eq\f（c,1＋c)也可以構成一個三角形．證明:設f（x)＝eq\f(x,1＋x），x∈(0，＋∞）,0＜x1＜x2,則f（x2）－f(x1)＝eq\f（x2,1＋x2）－eq\f（x1，1＋x1）＝eq\f(x2－x1，（1＋x2)(1＋x1))＞0，f（x2）＞f(x1）,∴f(x）在(0，＋∞）上為單調增函數．∵a，b，c為三角形三邊，∴a＋b＞c,∴eq\f（c，1＋c)＜eq\f（a＋b,1＋(a＋b)）＝eq\f（a，1＋a＋b）＋eq\f（b,1＋a＋b)＜eq\f(a，1＋a）＋eq\f（b，1＋b)，即eq\f(c,1＋c)＜eq\f(a，1＋a)＋eq\