學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.4函數與方程2.4。1函數的零點5分鐘訓練1。觀察下面的四個函數圖象，則在(-∞，0）內,函數y=fi(x）(i=1,2,3，4）有零點的是(）A。①B.①②C。①②③D.②④答案：B解析：在區間（-∞，0）內，函數f1(x）、f2(x）的圖象與x軸有交點.2.函數y=2x2-4x-3的零點個數是(）A。0B。1C。2答案：C解析：∵Δ=（—4)2—4×2×(-3)=40〉0,∴方程2x2—4x-3=0有兩個不相等的實根，即函數y=2x2—4x-3有2個零點.3。函數f（x)=x3—x2-x+1在［0，2］上()A.有三個零點B.有兩個零點C。有一個零點D。沒有零點答案:C解析：由于f(x）=x3-x2-x+1=（x-1)2(x+1)，令f（x)=0得x=±1,因此函數在［0,2］上有一個零點。4.若函數f(x）的圖象是連續不間斷的，根據下面的表格，可以斷定f（x)的零點所在的區間為______________。（只填序號)①(-∞，1］;②[1,2］；③［2，3］;④［3,4］；⑤［4,5］；⑥［5,6］；⑦［6，+∞)。x123456f(x）136.12315.542-3.93010.678-50。667—305.678答案：③④⑤10分鐘訓練1。已知函數f（x)=2ax+4，若在區間[-2，1]上存在x0,使f（x0）=0，則實數a的取值范圍是（)A.（-∞，—2］∪[1，+∞）B.［-1，2］C。［—1,4］D。［—2,1]答案：A解析：f（-2）f（1）≤0(-4a+4)（2a+4）≤0a≤-2或a≥1.2.函數f（x)=x3-2x2+3x-6在區間[-2，4］上的零點必定在內.（）A。[-2，1］B。［，4]C。［1，］D.［,］答案：D解析：由于f（—2）＜0，f（4)＞0,=f（1）＜0，＞0，＜0，∴零點介于［］內。故選D.3。函數y=—x2+8x—16在區間［3，5］上(）A.沒有零點B.有一個零點C。有兩個零點D。有無數個零點答案：B解析：函數y=-(x—4)2有一個二重零點4，故在區間［3,5］上有一個零點.4.若函數f(x）=ax+b有一個零點是2，那么函數g（x)=bx2-ax的零點是()A。0，2B.0，C。0,D。2,答案：C解析：∵2a+b=0,b=—2a，∴g（x)=-2ax2—ax=—a(2x2+x)=—ax(2x+1）?！嗪瘮礸(x）的零點是0，.5。已知y=x2+ax+3有一個零點為2,則a的值是_____________。答案：解析：由題意可知x=2是方程x2+ax+3=0的一個根，代入可得a=.6.判定方程（x—2）(x-5）=1有兩個相異的實數解,且一個大于5，一個小于2。解：考慮函數f(x）=（x—2)（x—5）—1,有f（5）=（5-2）(5—5）-1=-1，f(2）=（2—2)(2-5）—1=-1。又因為f（x)的圖象是開口向上的拋物線(如圖),所以拋物線與橫軸在（5，+∞）內有一個交點,在（—∞,2）內也有一個交點。所以方程(x—2)（x—5)=1有兩個相異的實數解，且一個大于5，一個小于2.30分鐘訓練1.已知方程（m-1）x2+3x—1=0的兩根都是正數，則m的取值范圍是(）A。＜m＜1B.≤m＜1C。＜m≤1D。m≤或m＞1答案:B解析：利用方程根與系數的關系求解。2。已知f（x）=（x-a）（x-b）-2,并且α、β是方程f（x)=0的兩根，則實數a、b、α、β的大小關系可能是（)A。α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜bC.a＜α＜b＜βD。α＜a＜β＜b答案：A解析：f（a）=—2，f（b)=-2,f（α)=f（β)=0，f（x）的開口向上,所以a、b在α、β之間.3。已知函數f（x）是定義在（-∞，0)∪（0,+∞）上的偶函數,在(0，+∞)上單調遞減，且f（）>0〉f（—3)，則函數y=f(x）的零點的個數為（)A.0B.1C答案：C解析:由于函數是偶函數，且在（0,+∞）上單調遞減，因此在（-∞，0)上遞增。又因為f(）〉0〉f（）=f（),所以函數f(x）在(,)上與x軸有一個交點，必在（,）上也有一個交點，故函數y=f（x)的零點的個數為2.4。二次函數y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表：x—3—2-101234y60-4-6—6—406則不等式ax2+bx+c＞0的解集是________________。答案：(—∞，—2)∪(3,+∞）解析：由于y=ax2+bx+c是二次函數，由圖表聯想到二次函數的有關性質，不難獲得答案，函數的零點就是此函數的分水嶺,所以找出函數的零點-2、3是解決本題的關鍵.5.（創新題）若函數f（x)=x2-ax-b的兩個零點是2和3，則函數g（x)=bx2—ax—1的零點是__________.答案：,解析:由題意可得a=2+3=5，b=-6.所以g(x)=—6x2—5x-1=-(2x+1）（3x+1），零點為,.6.奇函數f（x)的定義域為R,在（0，+∞)上,f(x)為增函數,若-3是f（x）的一個零點，則f(x）另外的零點是______________。答案：0,3解析：因為f（x）是定義在R上的奇函數，有f（0)=0.因為f(—3）=—f（3)=0,所以f（3）=0。所以f（x）另外的零點是0,3。7.已知m∈R時，函數f（x）=m（x2-1）+x-a恒有零點，則實數a的取值范圍是______________。答案：-1≤a≤1解析：（1）當m=0時，f（x）=x-a=0，得x=a恒有解，此時x∈R。（2）當m≠0時，f（x)=0，即mx2+x—m—a=0恒有解，∴Δ1=1-4m（—m—a)≥0恒成立，即4m2∴Δ2=16a2—16≤0，解得—1≤a≤1。因此對m∈R，函數恒有零點，有—1≤a≤1。8.若關于x的方程3x2-5x+a=0的一個根在(—2,0）內,另一個根在（1,3)內，求a的取值范圍。解：設f(x)=3x2-5x+a，則f（x)為開口向上的拋物線(如圖所示）.∵f（x）=0的兩根分別在區間（-2,0)，(1,3）內,∴即解得-12〈a〈0.所求a的取值范圍是—12<a<0。9.(探究題)試找出一個長度為1的區間,在這個區間上函數y=至少有一個零點。解:函數f（x）=的定義域為（—∞,）∪（,+∞）。取區間［，］?！遞（)=<0,f（）=〉0,∴在區間［，］內函數f（x）至少有一個零點.∴［，]就是符合條件的一個區間.10。求函數f(x）=x3-x的零點,并畫出它的圖象。解：因為x3—x=x(x2—1)=x(x-1)(x+1），令f(x)=0,即x(x