第4章冪函數、指數函數和對數函數4.2.1指數爆炸和指數衰減4.2.2指數函數的圖象與性質課標要求1.通過具體實例,了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念.2.運用指數爆炸和指數衰減類的函數模型解決簡單的實際問題,理解該模型所蘊含的運算規律.3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指數函數的單調性與特殊點.4.能夠應用指數函數的圖象及性質解決問題.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一指數函數的概念1.在冪的表達式au中,讓底數為常數而使

為自變量x,則得到一類新的函數y=ax(x∈R),這叫作指數函數,其中

.

2.指數函數的特征:(1)底數a>0,且a≠1;(2)ax的系數是1.名師點睛根據指數函數的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數才叫指數函數,如

都不是指數函數,它們的函數表達式含有指數式,應將它們看作復合函數.指數a>0且a≠1過關自診指數函數為什么要規定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如

無意義;如果a=0,那么當x>0時,ax=0,當x≤0時,ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個常數函數,沒有研究的必要.所以規定a>0,且a≠1,此時x可以是任意實數.知識點二指數爆炸和指數衰減1.當底數a>1時,指數函數值隨自變量的增長而增大,底數a較大時指數函數值增長速度驚人,被稱為指數爆炸.2.當底數a滿足0<a<1時,指數函數值隨自變量的增長而縮小以至無限接近于0,這叫作指數衰減.3.指數增長(縮小)百分比把自變量x看成時間,在長為T的時間周期[u,u+T]中,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的值從au變化到au+T,變化率為(au+T-au)÷au=aT-1,增長(縮小)百分比是一個常量,當a>1時,這個量就被描述為指數式增長,也稱指數增長.過關自診1.下列函數是指數函數的是

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①④2.若函數y=2x,求其在區間[2,6]上的增長百分比.解

增長百分比為(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.知識點三指數函數的圖象與性質表達式y=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象

定義域(-∞,+∞)值域

性質函數圖象過定點(0,1),即a0=1在R上遞減可用冪運算基本不等式加以論證在R上遞增(0,+∞)過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)指數函數y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數.(

)(2)指數函數y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數,也不是偶函數.(

)(3)所有的指數函數圖象過定點(0,1).(

)(4)函數y=a|x|與函數y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)2.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當a>1時,圖象具有上升趨勢,且當x>0時底數a的值越大,函數圖象“越陡”,函數值增長得越快;當0<a<1時,圖象具有下降趨勢,且當x<0時,底數a的值越小,函數減少得越快.×√√×重難探究·能力素養速提升探究點一指數函數的概念【例1】

(1)如果指數函數y=f(x)的圖象經過點,那么f(4)f(2)等于

.

64(2)已知函數y=(a2-3a+3)ax是指數函數,求a的值.規律方法

指數函數是一個形式定義,其特征如下:變式訓練1下列以x為自變量的函數是指數函數的為(

)A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2A解析

π-1為正實數,A是指數函數;B式中,1-π<0,B不是指數函數;C式中,指數位置不是x,C不是指數函數;D式中,自變量不在指數上,D不是指數函數.探究點二指數爆炸和指數衰減【例2】

(1)將一張足夠大的紙進行對折,如果不考慮折疊過程中的阻力,那么對折100次之后,紙的厚度約為

km(假設一張紙的厚度大約是0.08mm).

解析

2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)一種放射性物質不斷變化成其他物質,每經過一年的殘留量是原來的76%,則經過12年后,殘留量約為原來的

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解析

0.7612≈0.037,即殘留量約為原來的3.7%.1.02×10233.7%規律方法

1.通過例2(1)我們可以體會出指數爆炸的威力,它反映了當a>1時,指數函數的值的增長速度是非常大的,另外“人口增長”“病毒繁殖”都是這一模型.2.例2(2)是一個指數衰減問題,它是0<a<1的指數函數模型,隨著自變量x的增大,函數值y無限接近于0,關于“能量衰退”的相關問題都是這一模型.變式訓練2(1)某種細胞每小時分裂一次,即第一次由1個分裂成2個,第2次由2個分裂成4個,第3次由4個分裂成8個,如此下去,則24小時后得到

個細胞.(不需算出具體數字)

224(2)清洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過原有污垢的1%,則至少要清洗

次.

4探究點三指數函數的圖象及應用1.指數型函數圖象過定點問題【例3】

已知函數f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點P,則點P的坐標是

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(-1,4)解析

∵當x+1=0,即x=-1時,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(-1,4).變式探究若將本例中的函數改為f(x)=5a3x-2+3呢?規律方法

指數型函數圖象過定點問題的解法因為函數y=ax的圖象恒過定點(0,1),所以對于函數f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).即令指數等于0,解出相應的x,f(x),則點(x,f(x))為所求點.2.指數函數圖象的識別【例4】

函數f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數,則下列結論正確的是(

)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的圖象單調遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故選D.規律方法

指數函數圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點,如指數函數的圖象過定點、特殊點的函數的值的符號等;(2)利用圖象變換,如函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數的奇偶性與單調性,奇偶性確定函數的對稱情況,單調性決定函數圖象的走勢.變式訓練3已知1>n>m>0,則指數函數①y=mx,②y=nx的圖象為(

)C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是減函數,故排除A,B;作直線x=1與兩個圖象相交(圖略),交點在下面的是函數y=mx的圖象.C符合題意.3.畫指數函數的圖象【例5】

畫出函數y=的圖象,這個圖象有什么特征?你能根據圖象指出它的值域和單調區間嗎?∴原函數的圖象關于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調遞增區間是(-∞,0),單調遞減區間是(0,+∞).規律方法

指數函數y=ax與y=(a>0,且a≠1)的圖象關于y軸對稱.處理函數圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點;二是利用圖象的變換;三是利用函數的奇偶性與單調性.變式訓練4畫出下列函數的圖象,并說明它們是由函數f(x)=2x的圖象經過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖1,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.(2)如圖1,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.(3)如圖1,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關于x軸對稱.(4)函數y=2|x|為偶函數,圖象關于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖2所示.圖1圖2探究點四利用指數函數的單調性比較冪值大小【例6】

比較下列各題中兩個值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(單調性法)由于2.53與2.55.7的底數是2.5,故構造函數y=2.5x,而函數y=2.5x在R上是增函數.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中間量法)由指數函數的性質,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當1<a<2時,(a-1)1.3>(a-1)2.4.規律方法

比較冪的大小的常用方法

變式訓練5利用指數函數的性質,比較下列各題中兩個值的大小:(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1.解

因為0.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值,所以考察函數y=0.8x,由于這個函數在實數集R上是減函數,又因為-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.解

因為2.5a與