專題2.4特殊三角形（一）（軸對稱、等腰三角形與逆命題（定理）十大題型）重難點題型注意：該部分包含2.1節2.5節的重難點題型題型1軸對稱圖形的性質與辨別【方法技巧】掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應注意兩點：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。1．（2022·重慶八中七年級期末）2022年北京冬奧會會徽“冬夢”以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術形態，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現代風格融為一體．以下是參選的會徽設計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北承德·八年級期末）在下列給出的幾何圖形中，是軸對稱圖形的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·浙江金華·八年級階段練習）下面所給的標志圖中屬于軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．4．（2022·河南新鄉·七年級階段練習）如圖，與關于直線對稱，若，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖，若與關于直線對稱，交于點，則下列說法中，不一定正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，直線m，l相交于點O，P為這兩直線外一點，且OP＝1.3．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型2軸對稱性質的運用方法技巧：常見應運用有：折疊（剪紙）、臺球桌面、光的反射和鏡面對稱等問題。折疊問題中，折痕就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關于對稱軸對稱。1．（2022·河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋2．（2022·湖南湘潭·中考真題）如圖，一束光沿方向，先后經過平面鏡、反射后，沿方向射出，已知，，則_________．3．（2022·無錫市積余實驗學校八年級月考）小明站在河岸邊看見水中的自己胸前球衣的號碼是，則實際的號碼為____．4．（2022·廣西防城港·八年級期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為、，若CD//BE，，則的度數是________．6．（2022·浙江·浦江縣第五中學一模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（）A． B． C． D．題型3線段垂直平分線性質與判定及運用【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等垂直平分線的性質判定：到一條直線兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點；外心性質：外心到該三角形三頂點的距離相等。1．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖，若記北京為地，莫斯科為地，雅典為地．若想建立一個貨物中轉倉，使其到、、三地的距離相等，則中轉倉的位置應選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點2．（2022·四川八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圓規在邊AB上確定一點D，則∠ADC＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°3．（2022·內蒙古通遼·八年級期末）如圖，，C為OB上的定點，M，N分別為射線OA、OB上的動點．當的值最小時，的度數為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南懷化市·八年級期末）如圖．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圓規作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．5．（2021·石家莊九年級二模）如圖，在中，D為BC中點，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．（1）求證：；（2）若，，求AF的長．6．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，與相交于點，的周長為6．（1）與的數量關系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．題型4角平分線的運用【解題技巧】角平分線的性質：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。1．（2022·湖南·長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校二模）如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區域，某地區決定在這個三角形區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（

）A．三個角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點2．（2022·河北·圍場滿族蒙古族自治縣中小學教研室八年級期末）如圖，已知、的角平分線、相交于點P，，，垂足分別為M、N．現有四個結論：①平分；②；③；④．其中結論正確的是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④3．（2022·廣東汕頭·八年級期末）如圖，的三邊，，長分別是，，，其三條角平分線將分為三個三角形，則：：等于（

）A．：：B．：：C．：：D．：：4．（2022·山東棗莊·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．15 B．7.5 C．8 D．95．（2021·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點E；(要求尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．6．（2020·湖南長沙·中考真題）人教版初中數學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：求作：的平分線做法：（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N，（2）分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點C（3）畫射線OC，射線OC即為所求．請你根據提供的材料完成下面問題：（1）這種作已知角平分線的方法的依據是______(填序號)．①

②③

④（2）請你證明OC為的平分線．題型5等腰三角形的性質與判定【解題技巧】掌握等腰三角形的性質：1）等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）。3）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）。1．（2022年江蘇省蘇州市中考數學真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．2．（陜西省西安市高新一中20212022學年八年級下學期期末考試數學試題）如圖，中，于點D，于點E，于點F，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（陜西省榆林市高新區20212022學年七年級下學期期末數學試題）習題課上，張老師和同學們一起探究一個問題∶“如圖，在中，分別是上的點，與相交于點，添加下列哪個條件能判定是等腰三角形？"請你判斷正確的條件應為（

）A． B． C． D．4．（陜西省西安市西安交通大學附屬中學20212022學年七年級下學期期末考試數學試題）已知中，，在AB邊上有一點D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．5．（陜西省咸陽市武功縣20212022學年八年級下學期期末數學試題）如圖，E為的外角平分線上的一點，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長．6．（四川省廣元市劍閣縣20202021學年八年級上學期期末數學試題）如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA＝DF，延長BF交AC于E．(1)求證：△FBD≌△ACD；(2)求證：△ABC是等腰三角形；(3)求證：CEBF．題型7等邊三角形的性質與判定【解題技巧】掌握等邊三角形的性質與判定：1）三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。2）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。3）三個角都相等的三角形是等邊三角形。4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．（河南省周口市西華縣20212022學年八年級上學期期中數學試題）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．（陜西省安康市紫陽縣20212022學年八年級上學期期末考試數學試題（A卷））如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2022年湖南省湘潭市中考數學真題）（多選題）如圖，小明在學了尺規作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點、為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧相交于點、；②連接、，作直線，且與相交于點．則下列說法正確的是（

）A．是等邊三角形B．C．D．4．（河北省廊坊市大城縣20212022學年八年級上學期期末數學試題）如圖，已知△ABD是等邊三角形，，E是AD上的點，，與BD交于點F．則下列結論正確的有（

）①連接AC，則AC垂直平分線段BD；②△DEF是等邊三角形；③若，則；④若AB＝8，DE＝2，則CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④5．（2022年湖南省懷化市中考數學真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結果用含a的代數式表示）．6．（江西省景德鎮市樂平市20212022學年八年級下學期期中數學試題）如圖，在中，，于點D，于點E．AD交B于點F，點G為BC邊的中點，作交直線FG于點H．(1)如圖1，當，時，______，______．(2)如圖2，當時，試探索AF與BH的數量關系，并證明．(3)如圖3，當時，（2）中AF與BH的數量關系______成立（填“仍然”或“不再”）．請說明理由．題型8軸對稱作圖1．（2022·湖南·中考模擬）在邊長為1的小正方形網格中，△AOB的頂點均在格點上．（1）B點關于y軸的對稱點坐標為；（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；（3）在（2）的條件下，A1的坐標為．2．（2022·云南·三模）在平面直角坐標系中的位置如圖所示．、、三點在格點上．（1）作出關于軸對稱的，并寫出點的坐標；（2）作出關于對稱的，并寫出點的坐標．3．（2022·浙江寧波·模擬預測）在下面的方格紙中，的三個頂點都在格點上，（1）在圖1中畫出與成關于BC成軸對稱的格點三角形；（2）在圖2的格點中標出使與面積相等的點D的位置（除點C外）4．（2022·河南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，其中，點、、的坐標分別為、、.5．（2022·山東濟南·七年級期末）（1）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C均在小正方形的頂點上．①在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△A'B'C′；②在直線l上找一點P，使得△APC的周長最小；③求△ABC的面積．（2）如圖是5×5的正方形網格，請以DE為一邊作兩個位置不同的格點三角形(三角形的頂點在網格的交點上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)與△ABC全等．6．（2022·陜西安康·八年級期末）已知：方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，1），(1)請以y軸為對稱軸，畫出與△對稱的△，并直接寫出點、、的坐標；(2)點（a+1，b1）與點C關于x軸對稱，則____________，____________．題型9等腰三角形與全等三角形綜合題1．（2021·重慶南開中學八年級期末）如圖，在銳角△ABC中，點D在線段CA的延長線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點E，交∠BAC的平分線于點M，交BAD的平分線于點N，過點C作AM的垂線分別交AM于點F，交MN于點O，過點O作OG⊥AB于點G，點G恰為AB邊的中點，過點A作AI⊥BC于點I，交OC于點H，連接OA、OB，則下列結論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號）2．（2021·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點．（1）求證：；（2）如圖2，若點是線段上一點，平分交所在直線于點．求證：．（3）如圖3，若點是線段上一點（不與點重合），連接，在下方作邊交所在直線于點．猜想：三條線段之間的數量關系，并證明．3．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點A作AH∠BC于點H，交BO于點P．（1）求線段OP的長度；（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交線段A延長線于N點，則S△BDM－S△ADN的值是否發生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．4．（2021·江蘇景山中學八年級期末）（1）如圖1，等邊△ABC中，點D為AC的中點，若∠EDF＝120°，點E與點B重合，DF與BC的延長線交于F點，則DE與DF的數量關系是；BE＋BF與的BC數量關系是；（寫出結論即可，不必證明）（2）將（1）中的點E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點，DF交BC的延長線于F點，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數量關系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數量關系？寫出你的結論并加以證明；（3）將（1）中的點E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點，DF交BC的延長線于F點（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數量關系是．（直接寫出結論即可）5．（2021·南師附中樹人學校九年級月考）如圖1，若△DEF的三個頂點D，E，F分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內接三角形．（1）如圖2，點D，E，F分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，是否存在△ABC的內接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點D為角的頂點任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點E，DF交AC于點F．我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點F與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合．在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點E與點B、點C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，FF″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請根據以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，請作出△ABC的內接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）6．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點，D為BC邊上一動點，將AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，連接CE、DE、ME．（1）求證：CD＋CE＝CA；（2）求出點M到CE所在直線的距離；（3）當ME＝時，求CE的值．7．（2021·四川）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標注推導理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）