2025屆山西省晉城市數學高二上期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.32．現有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統抽樣的方法從中抽取6瓶進行檢驗，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，303．已知橢圓與橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等4．等比數列的各項均為正數，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.5．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.6．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.7．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.9．已知等差數列的公差，記該數列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19810．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.11．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知，為雙曲線的左，右頂點，點P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在圓M：中，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________.14．歐陽修在《賣油翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是_______15．若“”是真命題，則實數的最小值為_____________.16．正方體，點分別是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）設為的導數，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數的最小值.19．（12分）已知；對任意的恒成立.（1）若是真命題，求m的取值范圍；（2）若是假命題，是真命題，求m的取值范圍.20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.21．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，設，求函數的單調區間.22．（10分）在等差數列中，（1）求數列的通項公式；（2）設，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.2、A【解析】求得組距，由此確定正確選項.【詳解】，即組距為，A選項符合，其它選項不符合.故選：A3、C【解析】利用，可得且，即可得出結論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關系是有相等的焦距故選：C4、C【解析】利用數量積運算性質、等比數列的性質及其對數運算性質即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數列的性質可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點睛】本題考查數量積運算性質、等比數列的性質及其對數運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題5、C【解析】過點在平面內作，過點在平面內作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點在平面內作，過點在平面內作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，，則，因為，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因為四邊形為平行四邊形，且，故四邊形為矩形，所以，，因為，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因為，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.6、A【解析】求出，分析可得，可得出關于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯立，可得，則，易知點、關于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.7、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯誤，利用不等式性質可判斷D【詳解】A.當時，，但，故A錯；B.當時，，故B錯；C.當時，，但，故C錯；D.若，則，D正確故選：D8、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.9、A【解析】根據等差數列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A10、C【解析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.11、B【解析】設，根據兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據圓的幾何性質，即可得答案.【詳解】設，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B12、A【解析】根據給定條件求出點P的坐標，再代入雙曲線方程計算作答.【詳解】由雙曲線對稱性不妨令點P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因為等腰三角形，且頂角為，則有，，有，于是得，即點，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而可得點在圓內，即可得到過點的最長弦、最短弦弦長，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點，則，所以點在圓內，所以過點的最長弦，又，所以最短弦，所以故答案為：14、【解析】分別求出圓和正方形的面積，結合幾何概型的面積型計算公式進行求解即可.【詳解】因為銅錢的面積為，正方形孔的面積為，所以隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是.故答案為：【點睛】本題考查了幾何概型計算公式，考查了數學運算能力,屬于基礎題.15、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數在的最大值因為函數在上為增函數，所以，函數在上的最大值為1，所以，，即實數的最小值為1.所以答案應填:1.考點：1、命題；2、正切函數的性質.16、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據異面直線所成角的向量求法可求得結果.【詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體棱長為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由題可得，利用導數與單調性關系分類討論即得；（2）由題可得，利用函數的單調性及極值求函數最值即得.【小問1詳解】由題可得的定義域為，若，恒有，當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，若，令，得，若，恒有在上單調遞增，若，當時，；當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，若，當時，；當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述，當，在上單調遞增，在上單調遞減，當，在和上單調遞增，在上單調遞減，當，在上單調遞增，當，在和上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】由（1）知，時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當a=1時，，，，∴.又，，∴.由題意得，，∴.18、（1）（2）1【解析】（1）先求導數，根據導數的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變為函數的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變為，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調遞增，又，則在上恒成立；②當，即時，當時，，則在上單調遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.19、（1）（2）【解析】（1）為真命題，則都為真命題，求出為真命題時的m的取值范圍，并求交集，即為結果；（2）若是假命題，是真命題，則一真一假，分兩種情況進行求解，最后求并集即為結果.【小問1詳解】由題意得：為真命題，則要滿足，解得：，對任意的恒成立，結合開口向上，所以要滿足：，解得：，要保證是真命題，則與取交集，結果為【小問2詳解】是假命題，是真命題，則一真一假，結合（1）中所求，當真假時，與取交集，結果為；當假真時，與取交集，結果為，綜上：m的取值范圍是.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件推導證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標系，借助空間向量求解面面角作答【小問1詳解】連結BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由(1)知，，，，，，，，設平面AMP的法向量為，則，令，得，設平面BMP的法向量為，則，令，得，設二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.21、（1）；（2）增區間為，減區間為.【解析】(1)根據導數的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導數，導數同分分解因式，討論